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第七章 不等式 第一节第一节 简单不等式及其解法简单不等式及其解法 一 选择题 1 2009 安徽卷理 下列选项中 p 是 q 的必要不充分条件的是 A p ac b d q a b 且 c d B p a 1 b 1 q 01 x f xab aa 且的图像不过第二象限 C p x 1 q 2 xx D p a 1 q log 01 a f xx aa 且在 0 上为增函数 答案 A 解析 由a b 且 c d ac b d 而由ac b d a b 且 c d 可举反例 选 A 2 2009 安徽卷文 是 且 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得abcd 时必有acbd 若acbd 时 则可能有adcb 选 A 3 2009 四川卷文 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 显然 充分性不成立 又 若a c b d和c d都成立 则同向不等式相加得a b 即由 a c b d a b 4 2009 天津卷理 ab 10 若关于 x 的不等式 2 xb 2 ax的解集中的整数恰有 3 个 则 A 01 a B 10 a C 31 a D 63 a 答案 C 5 2009 四川卷理 已知 a b c d为实数 且cd 则 ab 是 acbd 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点定位 本小题考查不等式的性质 简单逻辑 基础题 同文 7 答案 B 解析 ba 推不出acbd 但bdcbadbca 故选择 B 解析 2 令2 1 3 5abcd 则13 5 8acbd 由acbd 可得 abcd 因为cd 则0cd 所以ab 故 ab 是 acbd 的必要而不 充分条件 6 2009 重庆卷理 不等式 2 313xxaa 对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围为 A 1 4 B 2 5 C 1 2 D 1 2 答案 A 解析 因为 2 4314313xxxxaa 对对任意 x 恒成立 所以 22 343041aaaaaa 即 解得或 二 填空题 7 2009 年上海卷理 若行列式 4 1 7 5 x x 3 8 9 中 元素 4 的代数余子式大于 0 则 x 满足的条件是 答案 8 3 x 解析 依题意 得 1 2 9x 24 0 解得 8 3 x 三 解答题 8 2009 江苏卷 本小题满分 16 分 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品单件成本为a元 如果他卖出该产品的单 价为m元 则他的满意度为 m ma 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度 为 n na 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为 1 h和 2 h 则他对这两种交易的综合满意 度为 1 2 hh 现假设甲生产 A B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为 A m元和 B m元 甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为h 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h 1 求h 和h 关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h h 2 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最 大的综合满意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 和 0 hh 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 解析 本小题主要考查函数的概念 基本不等式等基础知识 考查数学建模能力 抽 象概括能力以及数学阅读能力 满分 16 分 1 当 3 5 AB mm 时 2 3 5 3 5 20 5 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 2 3 5 3 20 5 20 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 h h 2 当 3 5 AB mm 时 2 2 11 20511 20 5 1 1 100 251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5 20 20 5 B B m m 得 故当 11 20 B m 即20 12 BA mm 时 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 3 方法一 由 2 知 0 h 10 5 由 0 10 1255 AB AB mm hh mm 甲 得 1255 2 AB AB mm mm 令 35 AB xy mm 则 1 1 4 xy 即 5 14 1 2 xy 同理 由 0 10 5 hh 乙 得 5 1 14 2 xy 另一方面 1 1 4 xy 141xx 5 1 4y 2 5 1 y 2 2 55 1 4 1 1 1 4 22 xyxy 当且仅当 1 4 xy 即 A m B m时 取等号 所以不能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 和 0 hh 同时成立 但等号不同时成立 第一部分 五年高考荟萃 2009 年高考题 2005 20082005 2008 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 2008 天津 已知函数 2 0 2 0 xx f x xx 则不等式 2 f xx 的解集是 A 1 1 B 2 2 C 2 1 D 1 2 答案 A 2 2008 江西 若 12121212 0 01aabbaabb 且 则下列代数式中值最大 的是 A 1 122 aba b B 121 2 a abb C 1 22 1 aba b D 1 2 答案 A 3 2008 浙江 已知a b都是实数 那么 22 ba 是 a b 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 D 4 2008 海南 已知 123 0aaa 则使得 2 1 1 i a x 1 2 3 i 都成立的x取值范 围是 A 0 1 1 a B 0 1 2 a C 0 3 1 a D 0 3 2 a 答案 B 5 2008 山东 不等式 2 5 2 1 x x 的解集是 A 1 3 2 B 1 3 2 C 1 113 2 D 1 113 2 解析 本小题主要考查分式不等式的解法 易知1x 排除 B 由0 x 符合可排除 C 由3x 排除 A 故选 D 也可用分式不等式的解法 将 2 移到左边直接求解 答案 D 6 2007 广东 设 a bR 若 0ab 则下列不等式中正确的是 A 0ba B 33 0ab C 22 0ab D 0ba 解析 利用赋值法 令1 0ab 排除 A B C 选 D 答案 D 7 2007湖南湖南 不等式 2 0 1 x x 的解集是 A 1 12 B 12 C 1 2 D 12 答案 D 8 2007 福建 已知集合 A x xa B 12 xx 且 R ABR 则实数a 的取值范围是 A 2a B a2 答案 C 9 2007 安徽 若对任意 xR 不等式x ax 恒成立 则实数 a 的取值范围是 A a 1 B a 1 C a 1 D a 1 答案 B 10 2007 浙江 x 1 是 x2 x 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 11 2007 湖南 1 不等式 2 xx 的解集是 A 0 B 01 C 1 D 0 1 答案 D 12 2007 广东 已知集合 M x 1 x 0 N x 0 则 M N 1 1 A x 1 x 1 B x x 1 C x 1 x 1 D x x 1 答案 C 13 2006 安徽 不等式 11 2x 的解集是 A 2 B 2 C 0 2 D 2 2 答案 D 解 由 11 2x 得 112 0 22 x xx 即 2 0 xx 故选 D 14 2006 山东 设f x 1 2 3 2 2 log 1 2 x ex xx 则不等式f x 2 的解集为 A 1 2 3 B 10 C 1 2 10 D 1 2 答案 C 15 2006 江西 若 a 0 b 0 则不等式 b 1 x a 等价于 A 1 b x 0 或 0 x 1 a B 1 a x 1 b C x 1 a 或 x 1 b D x 1 b 或 x 1 a 答案 D 解析 故选 D 16 2006 上 海 如果0 0ab 那么 下列不等式 中正确的是 A 11 ab B ab C 22 ab D ab 答案 A 解析 如果0 0ab 那么 11 0 0 ab 11 ab 选 A 答案 A 17 2006 上海春 若bacba R 则下列不等式成立的是 A ba 11 B 22 ba C 11 22 c b c a D cbca 答案 C 解析 应用间接排除法 取 a 1 b 0 排除 A 取 a 0 b 1 排除 B 取 c 0 排除 D 故应该选 C 显 11bx b00 1 xx ba 11axx a00 xx 1 x0 x xbx10 11 b xx x 1ax01ba xx0 a 或 或 或 然 对不等式 a b 的两边同时乘以 立得 成立 18 2006年陕西 已知不等式 1 9 a xy xy 对任意正实数 x y 恒成立 则正实数a的最小值为 8 6 C 4 D 2 答案 D 19 2005 福建 不等式0 13 12 x x 的解集是 A 2 1 3 1 xxx或B 2 1 3 1 xx C 2 1 xxD 3 1 xx 答案 A 20 2005 辽宁 在 R 上定义运算 1 yxyx 若不等式1 axax对任意实数x成立 则 A 11 aB 20 aC 2 3 2 1 aD 2 1 2 3 a 答案 C 21 2005 山东 01a 下列不等式一定成立的是 A 1 1 log 1 log 1 2 aa aa B 1 1 log 1 log 1 aa aa C 1 1 log 1 log 1 aa aa 1 1 log 1 log 1 aa aa D 1 1 log 1 log 1 aa aa 1 1 log 1 log 1 aa aa 答案 A 二 二 填空题填空题 22 2008 上海 不等式11x 的解集是 答案 0 2 23 2008 山东 若不等式 3x b 4 的解集中的整数有且仅有 1 2 3 则b的取值范围 答案 5 7 24 2008 江西 不等式 3 1 1 2 2 x x 的解集为 答案 3 0 1 25 2007 北京 已知集合 1Ax xa 2 540Bx xx 若AB 则实数a的 取值范围是 2 3 26 2006 江苏 不等式3 6 1 log2 x x的解集为 思路点拨 本题考查对数函数单调性和不等式的解法 答案 32 2 32 2 1x 解析 1 6 8 22 log3log x x 0 1 68x x 1 2 1 60 x x x x 解得 32 2 32 2 1x 27 2006 浙江 不等式 1 0 2 x x 的解集是 答案 x 1 或 x 2 解析 1 0 2 x x x 1 x 2 0 x 1 或 x 2 28 2006 上海 不等式0 1 21 x x 的解集是 答案 解析 应用结论 不等式 等价于 1 2x x 1 0 也就是 所以 从而应填 三 解答题三 解答题 29 2007 北京 记关于x的不等式0 1 xa x 的解集为P 不等式11x 的解集为Q I 若3a 求P II 若QP 求正数a的取值范围 解 I 由 3 0 1 x x 得 13Pxx II 1102Qx xxx 由0a 得 1Pxxa 又QP 所以2a 即a的取值范围是 2 30 2007 湖北湖北 已知 m n 为正整数 用数学归纳法证明 当 x 1 时 1 x m 1 mx 对于 n 6 已知 2 1 3 1 1 n n 求证 mn n m 2 1 3 1 m 1 1 2 n 求出满足等式 3n 4m n 2 m n 3 n的所有正整数 n 解 证 当 x 0 或 m 1 时 原不等式中等号显然成立 下用数学归纳法证明 当 x 1 且 x 0 时 m 2 1 x m 1 mx 1 i 当 m 2 时 左边 1 2x x2 右边 1 2x 因为 x 0 所以 x2 0 即左边 右边 不等式 成立 ii 假设当 m k k 2 时 不等式 成立 即 1 x k 1 kx 则当 m k 1 时 因为 x 1 所以 1 x 0 又因 为 x 0 k 2 所以 kx2 0 于是在不等式 1 x k 1 kx 两边同乘以 1 x 得 1 x k 1 x 1 kx 1 x 1 k 1 x kx2 1 k 1 x 所以 1 x k 1 1 k 1 x 即当 m k 1 时 不等式 也成立 综上所述 所证不等式成立 证 当 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 6 m n mm nn nmn 而由 3 1 3 1 1 n m n m 2 1 3 1 1 3 1 m n mn nn m 解 假设存在正整数 00 3 2 436 00 00 0 nnnn nnn 成立 即有 0 3 3 0 n n 00 3 2 3 4 0 0 0 nn n n n 1 又由 可得 0 3 3 0 n n 0000 3 1 1 3 1 3 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 nnnn n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 0 000 1 0 n nnn n 与 式矛盾 故当 n 6 时 不存在满足该等式的正整数 n 故只需要讨论 n 1 2 3 4 5 的情形 当 n 1 时 3 4 等式不成立 当 n 2 时 32 42 52 等式成立 当 n 3 时 33 43 53 63 等式成立 当 n 4 时 34 44 54 64为偶数 而 74为奇数 故 34 44 54 64 74 等式不成立 当 n 5 时 同 n 4 的情形可分析出 等式不成立 综上 所求的 n 只有 n 2 3 第二部分第二部分 三年联考题汇编三年联考题汇编 20092009 年联考题年联考题 一 选择题 1 山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习 已知 a b为非零实数 且ab 则下列命题成立的是 A 22 ab B 22 a bab C 220 ab D 11 ab 答案 C 2 若ab 则 安徽省示范高中皖北协作区 2009 届高三第一次联考试题 下列不等式中正确的是 A 11 ab B 22 ab C 22 acbc D 22 22 abab 答案 D 3 福建省福州市普通高中 09 年高三质量检查 已知 0 2 0 0 0 fxfxRxxxf且时当是奇函数 则不等式 0 xf的解集是 A 2 0 B 2 C 2 0 2 D 2 2 答案 C 4 安徽省合肥市 2009 届高三上学期第一次教学质量检测 不等式 2 1x 的解集为 A 11 xx B 1 x x C 1 x x D 11 x xx 或 答案 C 5 北京市朝阳区北京市朝阳区 2009 年年 4 月高三一模理月高三一模理 蔬菜价格随着季节的变化而有所变化 根据对农贸市场蔬菜价格 的调查得知 购买 2 千克甲种蔬菜与 1 千克乙种蔬菜所需费用之和大于 8 元 而购买 4 千克甲种蔬菜 与 5 千克乙种蔬菜所需费用之和小于 22 元 设购买 2 千克甲种蔬菜所需费用为A元 购买 3 千克乙种 蔬菜所需费用为B元 则 A AB B AB C AB D A B 大小不确定 答案 A 6 北京市西城区北京市西城区 20092009 年年 4 4 月高三一模抽样测试理月高三一模抽样测试理 设 a b R 且 1 0b ab 1 b cB b a cC b c aD c a b 答案 B 9 2009 龙岩一中理 若不等式 4 3 xxa 的解集为非空集合 则实数a的取值范围是 A 7a B 17a C 1a D 1a 答案 C 10 2009 龙岩一中文 已知 a b R 且 a b 则下列不等式中恒成立的是 A a2 b2B 2 1 a 0D b a 1 答案 B 11 2009 泉州市 0 04 abab 若 且则下列不等式中恒成立的是 11 2 A ab 11 1B ab 2Cab 22 11 8 D ab 答案 D 12 2009 广州一模 已知 p 关于 x 的不等式 x2 2ax a 0 的解集是 R q 1 a的解集为 答案 1 1 3 x xx 14 北京市东城区北京市东城区 20092009 年年 3 3 月高中示范校高三质量检测理月高中示范校高三质量检测理 已知函数 f x 的定义域为 2 部分 对应值如下表 x f 为 f x 的导函数 函数 xfy 的图象如右图所示 若两正数 a b 满足 1 2 baf 则 3 3 a b 的取值范围是 答案 3 7 5 3 15 北京市东城区北京市东城区 20092009 年年 3 3 月高中示范校高三质量检测文月高中示范校高三质量检测文 若关于x的不等式62 ax的解集为 2 1 则实数a的值等于 答案 4 16 北京市丰台区北京市丰台区 20092009 年年 3 3 月高三统一检测文月高三统一检测文 不等式02 1 x 的解集是 答案 2 1 0 17 2009 龙岩一中文 当 12 x 时 不等式 2 40 xmx 恒成立 则m的取值范围是 答案 5m 18 山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习 设 p 实数 x 满足 22 430 xaxa 其中0a 命题 q实 数x满足 2 2 60 280 xx xx 若1 a 且pq 为真 求实数x的取值范围 若p 是 q的充分不必要条件 求实数x的取值范围 解解 由 22 430 xaxa 得 3 0 xa xa 又0a 所以3axa 当1a 时 1 3x 即p为真时实数x的取值范围是 1 3x 2 分 由 2 2 60 280 xx xx 得23x 即q为真时实数x的取值范围是23x 4 分 若pq 为真 则p真且q真 2 x y O x204 f x 1 11 所以实数x的取值范围是23x 6 分 p 是q 的充分不必要条件 即p q 且q p 8 分 设 A xp B xq 则AB 又 A xp 3 x xaxa 或 B xq 23xx 或 10 分 则 0ac是b c的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件 答案 D 4 2008 江苏省启东中学高三综合测试四 不等式 x x1 log2 1 的解集为 A 1 B 1 C 0 1 D 01 答案 C 5 2008 江西省五校 2008 届高三开学联考 设 2 sin1sin2sin 222 n n n a 则对任意正整数 m n mn 都成立的是 A 2 nm m n aa B 2 nm mn aa C 1 2 nm n aa D 1 2 nm n aa 答案 C 12 sin 1 sin 2 sin 222 nm nnm nnm aa 12 sin 1 sin 2 sin 222 nnm nnm 11 12 11 11111 22 1 22222 1 2 nm nnmnm 1 2 n 故应选 C 6 陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考 设1 2 1 2 1 2 1 ab 那么 A aba baa B baa aba C aab baa D aab aba 答案 C 7 四川省乐山市 2008 届第一次调研考试 已知 a b c满足0c b aac 则下列选项中不一定能成立 的是 A bc aa B 0 b a c C 22 ba cc D