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第1章解三角形复习教案 教学设计整体设计教学分析 首先了解新课标对本章的定位解三角形作为三角系列的最后一章，突出了基础性、选择性与时代性本章重在研究三角形边角之间的数量关系，如正弦定理、余弦定理等正弦定理、余弦定理更深刻地反映了三角形的度量本质，成为解三角形的主要工具本章的数学思想方法是一条看不见的暗线，数学思想方法是数学的精髓在初中，教科书着重从空间形式定性地讨论三角形中线段与角之间的位置关系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系，从而较清晰地解决了三角形的确定性问题本章对两个定理的推导引入中十分强调这一量化思想方法，并选择了更有教育价值的正弦定理和余弦定理的证明方法本章中融合了学生已学过的大部分几何知识，将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，为学生理解数学中的量化思想，进一步学习数学奠定了基础三维目标 1熟练掌握三角形中的边角关系2通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力3注重思维引导及方法提炼，展现学生的主体作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心重点难点 教学重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用，及将实际问题转化为数学问题并正确地解出这个数学问题课时安排 1课时教学过程导入新课 (直接引入)本节课我们将对全章的知识、方法进行系统的归纳总结；系统掌握解三角形的方法与技巧由此展开新课的探究推进新课 新知探究提出问题 1 本章我们学习了哪些知识内容？请画出本章的知识结构图 2 解斜三角形要用到正弦定理、余弦定理，那么正弦定理、余弦定理都有哪些应用？ 3 在解三角形时应用两个定理要注意些什么问题？若求一个三角形的角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，怎样选择较好？ 4 本章中解三角形的知识主要应用于怎样的一些问题？ 5 总结从初中到高中测量河流宽度和物体高度的方法.活动：教师引导学生画出本章知识框图，教师打出课件演示：从图中我们很清晰地看出本章我们学 习了正弦定理、余弦定理以及应用这两个定理解三角形，由于本章内容实践性很强，之后又重点研究了两个定理在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用教师与学生一起回忆正弦定理、余弦定理的内容及应用如下：正弦定理、余弦定理：asinAbsinBcsinC，a2b2c22bccosA，b2c2a22accosB，c2a2b22abcosC.正弦定理、余弦定理的应用：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题已知两角和任一边，求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角在求解一个三角形时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，要尽量选择运算量较小，不产生讨论的方法求解若求边，尽量用正弦定理；若求角，尽量用余弦定理除了正弦定理、余弦定理外，我们还学习了三角形面积公式S12bcsinA12acsinB12absinC，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积教师利用多媒体投影演示课件如下：解斜三角形时可用的 定理和公式适用类型备注余弦定理a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2b2a22bacosC(1)已知三边(2)已知两边及其夹角类型(1)(2)有解时只有一解正弦定理asinAbsinBcsinC2R(3)已知两角和一边(4)已知两边及其中一边的对角类型(3)在有解时只有一解，类型(4)可有两解、一解和无解三角形面积公式S12bcsinA 12acsinB 12absinC(5)已知两边及其夹角教师点拨学生，以上这些知识与初中的边角关系、勾股定理等内容构成三角形内容的有机整体实际上，正弦定理只是初中“三角形中大角对大边，小角对小边”的边角关系的量化余弦定理是初中“已知两边及其夹角，则这两个三角形全等”的量化，又是勾股定理的推广本章的应用举例也是在初中学习的一些简单测量的基础上，应用了正弦定理、余弦定理解关于斜三角形的问题在应用两个定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题时，需注意以下几点：在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在(0，)内不严格单调，所以角的个数可能不唯一，这时应注意借助已知条件加以检验，务必做到不漏解，不多解在运用正弦定理与余弦定理进行有关三角形内角证明时，余弦定理会省去取舍的麻烦，但同时要注意在根据三角函数求角时，应先确定其范围在进行边角，角边转换时，注意运用正弦定理和余弦定理的变形形式讨论结果：(1)、(2)、(5)略(3)在应用两个定理求解时，注意与平面几何知识的融合若求解一个三角形时两个定理都可用，则求边宜选正弦定理，求角宜选余弦定理，但要具体问题具体分析，从中选择最优解法(4)本章知识主要应用测量、航海、建筑等在日常生活中与三角形有关的问题 应用示例例1判断满足下列条件的三角形形状(1)acosAbcosB；(2)sinCsinAsinBcosAcosB.活动：教师与学生一起探究判定三角形形状的方法有哪些学生思考后可得出确定三角形的形状主要有两条途径：(1)化边为角，(2)化角为边鼓励学生尽量一题多解，比较各种解法的优劣解：(1)方法一：用余弦定理， 得ab2c2a22bc bc2a2b22ca.c2(a2b2)a4b4(a2b2)(a2b2)a2b2或c2a2b2.三角形是等腰三角形或直角三角形方法二：用正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B.A、B为三角形的内角，2A2B或2A2B180.AB或AB90.因此三角形为等腰三角形或直角三角形(2)方法一：先用正弦定理，可得cabcosAcosB，即c cosAc cosBab.再用余弦定理，得c b2c2a22bcc a2c2b22acab.化简并整理，得a3b3a2bab2ac2bc20，(ab)(a2b2c2)0.a0，b0，a2b2c20，即a2b2c2.三角形为直角三角形方法二：sinAsin(BC)，sinBsin(AC)，原式可化为sinC cosAcosB sinCsinAsinBsin(BC)sin(AC)sinB cosCcosB sinCsinA cosCcosA sinC.sinB cosCsinA cosC0，即cosC(sinAsinB)0.0A180，0B180，sinAsinB0.cosC0.又0C180，C90.三角形为直角三角形点评：第(1)题中的第2种解法得出sin2Asin2B时，很容易直接得出2A2B，所以AB.这样就漏掉了一种情况，因为sin2Asin2B中有可能推出2A与2B两角互补，这点应引起学生注意第(2)题中绕开正、余弦定理通过三角函数值的符号判定也是一种不错的选择，但学生不易想到，因此熟悉三角形中sinAsin(BC)，cosAcos(BC)等常见结论对解三角形大有益处变式训练 A BC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a52b，A2B，则cosB等于( )A.53 B.54 C.55 D.56答案：B解析：由题意得ab52sinAsinBsin2BsinB2cosB，cosB54.例2在ABC中，若ABC的面积为S，且2S(ab)2c2，求tanC的值活动：本题涉及三角形的面积，面积公式又是以三角形的三边a、b、c的形式给出，从哪里入手考虑呢？教师可 先让学生自己探究，学生可能会想到将三角形面积公式代入已知条件，但三角形面积公式S12absinC12acsinB12bcsinA有三个，代入哪一个呢？且代入以后的下一步方向又是什么呢？显然思路不明这时教师适时点拨可否化简等式右边呢？这样右边为(ab)2c2a2b2c22ab.用上余弦定理即得a2b2c22ab2abcosC2ab，这就出现了目标角C，思路逐渐明朗，由此得到题目解法解：由已知，得(ab)2c2a2b2c22ab2abcosC2ab212absinC.2(1cosC)sinC，22cos2C22sinC2 cosC2.0C180，0C290，即cosC20.tanC22.tanC2tanC21tan2C241443.点评：通过对本题的探究，让学生认识到拿到题目后不能盲目下手，应先制定解题策略，寻找解题切入口变式训练 在ABC中，tanA14，tanB 35.(1)求角C的大小；(2)若AB边的长为17，求BC边的长解：(1)C180(AB)，tanCtan(AB)1435114351.又0C180，C135.(2)tanAsinAcosA14，sin2Acos2A1,0A90，sinA1717.由正弦定理，得ABsinCBCsinA，BCAB sinAsinC2.例3将一块圆心角为120，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值活动：本题是北京西城区的一道测试题，解题前教师引导学生回忆前面解决实际问题的方法步骤，让学生清晰认识到解决本题的关键是建立数学模型，然后用相关的数学知识来解决解：按图(1)的裁法：矩形的一边OP在OA上，顶点M 在圆弧上，设MOA，则|MP|20sin，|OP|20cos，从而S400sincos200sin2，即当4时，Smax200.按图(2)的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设MOQ，在MOQ中，OQM9030120，(1) (2)由正弦定理，得|MQ|20sinsin1204032sin.又因为|MN|2|OM|sin(60)40sin(60)，所以S|MQ| |MN|1 60033sinsin(60)1 6003312cos60cos(260) 80033cos(260)cos60所以 当30时，Smax40033.由于40033200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为40033 cm2.点评：正弦定理、余弦定理在测量(角度、距离)、合理下料、设计规划等方面有广泛应用从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决变式训练 设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB3，bsinA4.(1)求边长a； (2)若ABC的面积S10，求ABC的周长l.解：(1)由acosB3与bsinA4，两式相除，得34acosBbsinAasinA cosBbbsinB cosBbcosBsinB.又acosB3，知cosB0，则cosB35，sinB45.则a5.(2)由S12acsinB10，得c5.由cosBa2c2b22ac35，解得b25.故ABC的周长labc1025.知能训练1在ABC中，若b2a，BA60，则A_.2在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2c2bca2，cb123，求A和tanB的值答案：130 解析：由正弦定理，知asinAbsinB，1sinA2sin A60 ，2sinAsin(A60)12sinA32cosA.tanA33.0A180，A30. 2解：由余弦定理和已知条件，得cosAb2c2a22bcbc2bc12，0A180，A60，且B180AC120 C.由正弦定理和已知条件，得sinCsinBsin 120B sinB3cosBsinB2sinB3cosB2sinB12123， tanB12.所求A60，tanB12.课本本章小结巩固与提高18.课堂小结先由学生总结本节课对全章的复习都有哪些收获和提高？解决本章的基本问题都有哪些体会？可让若干学生在课堂上介绍自己的复习心得教师进一步画龙点睛，总结解题思路：(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合 ，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘作业1巩固与提高9122自测与评估17设计感想本教案设计注重了优化知识结构，进一步加深对知识的巩固在此过程中， 学生对思想方法的领悟也更具深刻性；注重对学生抽象思维、发散思维的培养训练通过一题多解训练了学生对事物现象选择角度地观察，从而把握事物的本质本教案设计意图还按照习题的内容分类处理进行；注重了思维引导及方法提炼，展现了学生的主体作用，关注学生愉悦情感的积极体验，深挖了三角形本身内在美的价值，意在激发学生强烈的探究欲望，培养学生积极的向上心态备课资料一、与三角形计算有关的定理1半角定理在ABC中，三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系：tanA21pa pa pb pc p，tanB21pb pa pb pc p，tanC21pc pa pb pc p，其中p12(abc)证明：tanA2sinA2cosA2，因为sinA20，cosA20，所以sinA21cosA212 1b2c2a22bc a2 bc 24bc abc abc 4bc.因为p12(abc)，所以abc2(pb)，abc2(pc)所以sinA2 pb pc bc.而cosA21cosA212 1b2c2a22bc bc 2a24bc bca bca 4bcp pa bc，所以tanA2sinA2cosA2 pb pc bcp pa bc pb pc p pa 1pa pa pb pc p.所以tanA21pa pa pb pc p.同理，可得tanB21pb pa pb pc p，tanC21pc pa pb pc p.从上面的证明过程中，我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式：sinA2 pb pc bc，cosA2p pa bc.同理，可得sinB2 pa pc ac，sinC2 pa pb ab，cosB2p pb ac，cosC2p pc ab.2用三角形的三边表示它的内角平分 线设在ABC中(如图)，已知三边a、b、c，如果三个角A、B和C的平分线分别是ta、tb和tc，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：ta2bcbcp pa ；tb2acacp pb ；tc2ababp pc ，其中p12(abc)证明：设AD是角A的平分线，并且BDx，DCy，那么，在ADC中，由余弦定理，得ta2b2y22bycosC，根据三角形内角平分线的性质，得cbxy，所以cbbxyy.因为xya，所以cbbay.所以yabbc.将代入，得ta2b2(abbc)22b(abbc)cosCb2 bc 2b2c22bca22a(bc)cosC因为cosCa2b2c22ab，所以ta2b2 bc 2a2b2c22bc2a(bc) a2b2c22abbc bc 2(b2c22bca2)bc bc 2(abc)(bca)bc bc 2 2p 2(pa)4 bc 2 bcp(pa)所以ta2bcbcp pa .同理，可得 tb2acacp pb ，tc2ababp pc .这就是已知三边求三角形内角平分线的公式3用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在ABC中，已知三边a、b、c，那么用已知边表示外接圆半径R的公式是Rabcp pa pb pc .证明：因为Ra2sinA，S12bcsinA，所以sinA2Sbc.所以Ra2sinAabc4Sabcp pa pb pc .二、备选习题1在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，abc335，则2sinAsinBsinC等于 ( )A15 B23 C.35 D不是常数2ABC的周长等于20，面积是103，A60，A的对边为( )A5 B6 C7 D83在ABC中，AB3，AC2，BC10，则AB AC等于( )A32 B23 C.23 D.324已知在ABC中，B30，b6，c63，则a_，SABC_.5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3bc)cosAacosC，则cosA_.6对ABC，有下面结论：满足sinAsinB的ABC一定是等腰三角形；满足sinAcosB的ABC一定是直角三角形；满足asinAbsinBc的ABC一定是直角三角形则上述结论正确命题的序号是_7在ABC中，D在边BC上，且BD2，DC1，B60，ADC150，求AC的长及ABC的面积8在ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosBccosCacosA，试判断ABC的形状参考答案：1C 解析：设a3k，则b3k，c5