2017届南京市高三综合复习数学试题(解析版).doc

2017届高三数学综合题一、填空题1如图正ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别为边AC与BC的中点，现将ABC沿CD翻折，使平面ADC平面DCB，则棱锥EDFC的体积为 EADBCEFFCDAB【答案】【提示】SDFCSABC(22)，E到面DFC的距离h等于AD VEDFCSDFCh【说明】平面图象的翻折，多面体的体积计算2已知函数f(x)sin(x)cosx (0)若函数f(x)的图象关于直线x2对称，且在区间，上是单调函数，则的取值集合为 【答案】，【提示】f(x)sin(x)，因为f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(2)1，则2k，所以，kZ因为函数f(x)在区间，上是单调函数，所以周期T2()，即，解得02，所以或或或当时，f(x)sin(x)，x，时，x，此时f(x)在区间，上为增函数；当时，f(x)sin(x)，x，时，x，此时f(x)在区间，上为增函数；当时，f(x)sin(x)，x，时，x，此时f(x)在区间，上为增函数；当时，f(x)sin(x)，x，时，x，此时f(x)在区间，上不是单调函数；综上：，【说明】考查两角和差公式及三角函数的图象与性质3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a不是最大边，已知a2b22bcsinA，则tanA9tanB的最小值为【答案】2【提示】由余弦定理，a2b2c22bccosA及a2b22bcsinA，得c22bccosA2bcsinA，即c2bcosA2bsinA，再由正弦定理，得sinC2sinBcosA2sinBsinA，即sin(AB)2sinBcosA2sinBsinA，即sinAcosBcosAsinB2sinAsinB，所以tanAtanB2tanAtanB所以tanB，所以tanA9tanBtanA(2tanA1)5252（当且仅当(2tanA1)，即tanA1时取“”）【说明】本题考查正弦定理、余弦定理、三角变换及基本不等式4在平面直角坐标系xOy中，M为圆C：(xa)2(y1)2上任意一点，N为直线l：axy30上任意一点，若以M为圆心，MN为半径的圆与圆C至多有一个公共点，则正数a的最小值为_【答案】2【提示】因为圆M与圆C至多有一个公共点，所以MC|MN|，即|MN|，解得MN，又MN的最小值为，所以有，解得a2，所以正数a的最小值为2【说明】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，求解时先要能根据两圆的位置关系，确定MN，由于M，N两点均是任意的，于是只要保证MN的最小值不小于即可 5在平面直角坐标系xOy中，M为直线x3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2xy100距离的最大值为_【答案】3【提示】设M(3，t)，P(x0，y0)，因为OPPM，所以0，可得x02y023x0ty00 又圆M截x轴所得的弦长为4，所以4t2(x03)2(y0t)2，整理得x02y026x02ty050 由得x02y025，即点P在圆x2y25上，于是P到直线2xy100距离的最大值为3【说明】本题应该是通过，联立方程组，把P的坐标用t表示出来，从而可以建立P到直线2xy100距离关于t的函数，再求函数的最大值即可但是实际操作时，要注意观察，把，联立方程组后很容易消去t，得到x0，y0之间的关系，也即得到点P所在的曲线，进而求出距离的最大值，注意从形到数，再从数到形之间的转换 6数列an中，an2n1，现将an中的项依原顺序按第k组有2k项的要求进行分组：（1，3），（5，7，9，11），（13，15，17，19，21，23），则第n组中各数的和为 【答案】4n3【提示】设数列an前n项和为Sn，则Snn2，因为242nn( n1)n2n，242( n1)n( n1)n2n所以第n组中各数的和Sn2nSn2n( n2n)2(n2n)24n3【说明】考查等差数列前n项和7已知椭圆C：mx2y21 (0m1)，直线l：yx1，若椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，则椭圆C的离心率e的取值范围 【答案】(，1)【提示】设AB中点P，由中点弦问题可知kABkOPm，kAB1，kOPm，联立直线l与直线OP可得P(，)，由点在椭圆内m()()21，得m(0，)离心率e(，1)【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆中点弦问题、点与椭圆位置关系*8已知函数f(x)(x2)3，数列an是公差不为0的等差数列，若f(ai)0，则数列an的前11项和S11为 【答案】22【提示】f(x)(x2)3为增函数，且关于点(2，0)中心对称，则f(2x)f(2x)0设数列an公差为d，若a62，则f(a6)0，f(a5)f(a7)f(a6d)f(a6d)f(2d)f(2d)0，即f(a5)f(a7)0，同理，f(a4)f(a8)0，f(a1)f(a11)0，则f(ai)0；同理，若a62，则f(ai)0，所以a62所以S1111a622【说明】考查函数的性质及等差数列的运算*9在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，AB2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点（不包括端点），若，则的最小值为 ABCDMN【答案】：【提示】：以AB为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，设B(2，0)，C(1，t)，M(，t)，N(x0，y0)，因为N在线段BC上，所以y0(x02)，即y0t(2x0)，因为，所以1x0，tty0，tty0tt(2x0)，因为t0，所以1(2x0)2x02(1)所以344，这里，均为正数，所以4()(34)()31215227， 所以，(当且仅当，即，时取等号)所以的最小值为【说明】本题考查平面向量的线性运算，基底法与坐标法，基本不等式求最值10已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当1x3时，f(x)若函数yf(x)m|x|恰有10个不同零点，则实数m的取值范围为 【答案】(，82)【提示】作出函数f(x)与ym|x|的图象【说明】考查函数的零点，利用分段函数的性质与图象数形结合，分析两个函数图象的位置关系*11已知a0，函数f (x)(a1)x2xsinxa2，xR记函数f(x)的值域为M，函数f (f (x)的值域为N，若MN，则a的最大值是_【答案】2【提示】f(x)2(a1)x1cosx，f(x)2(a1)sinx0恒成立，于是f(x)单调递增，又f(0)0，所以当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0；即f (x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增 所以f (x)的最小值为f (0)a2，于是f (x)值域为a2，) 若a20，则f (f (x)的值域为f (0)，)，即a2，)，此时MN成立； 若a20，则f (f (x)的值域为f (a2)，)， 因为 f (a2)f (0)a2，故此时有f (a2)，) a2，)，即NM，不合题意 因此0a2，所以a的最大值是2【说明】这里需要注意的是遇到f (f (x)的问题，要能分级处理，即先研究内层函数f (x)，再把内层函数f (x)看作一个整体，然后研究f (f (x)，另外本题还要注意简单的分类讨论*12已知函数f(x)xlnxax在(0，e)上是增函数，函数g(x)|exa|，当x0，ln3时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为，则a的值为 【答案】【提示】由f (x)(lnx1)a0在(0，e)上恒成立，即alnx1，得a2当2a3，g(x) g(x)在0，lna上递减，lna，ln3上递增，且g(0)g(ln3)，所以Mmg(0)g(lna)a1，解得a；当a3，g(x)aex，g(x)在0，ln3上递减，所以Mmg(0)g(ln3)2，舍去【说明】考查用导数研究函数的性质，分段函数的最值对a进行分类讨论，研究g(x)的单调性与最值二、解答题1某银行柜台有从左到右编号依次为1，2，3，4，5，6的六个服务窗口，其中1，2，3，4，5号服务窗口办理A类业务，6号服务窗口办理B类业务 （1）每天12：00至14：00，由于需要办理A类业务的顾客较少，现从1，2，3，4，5号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务，求“1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率； （2）经统计，在6号窗口办理B类业务的等候人数及相应概率如下：排队人数012344人及4人以上概率0.10.160.30.30.10.04 求至少2人排队等侯的概率解：（1）由题意，有如下基本事件（ (i，j)表示第i，j号窗口暂停服务）：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)， 因此，共有10个基本事件记事件A“1号窗口或2号窗口暂停服务”，事件A包括：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，因此，共有7个基本事件，故P(A)答：暂停服务的三个窗口恰有两个连在一起的概率为（2）记事件“6号窗口办理B类业务的等候人数为k”记为Bk，（kN），则事件Bk两两互斥记事件“至少2人排队等侯”为B，则事件“排队等侯人数为0或1”，所以P()P(B0)P(B1) 0.10.160.26，所以P(B)1P()10.260.74答：至少2人排队等侯的概率为0.74【说明】考查古典概型及互斥事件发生的概率2ABC中，SABC（SABC表示ABC的面积）（1）若BC2，求ABC外接圆的半径； （2）若BC，求sinB的值解：（1）ABACcosA，SABCABACsinA，因为SABC，所以ABACcosAABACsinA，即：cosAsinA，又因为cos2Asin2A1，A(0，)解得：sinA，cosA设ABC外接圆的半径为R，则2R，所以R，即ABC外接圆的半径为（2）因为ABC，所以sin(BC)sin(A)sinA，cos(BC)cos(A)cosA，则cos2Bcos(BC)(BC)cos(BC)cos(BC)cossin(BC)sin又cos2B12sin2B，所以sin2B，又因为B(0，)，所以sinB0，所以sinB【说明】考查平面向量数量积、三角形面积公式、同角三角函数关系、正弦定理、两角和差公式及二倍角公式等OABMN3如图所示，某公路AB一侧有一块空地OAB，其中OA3 km，OB3 km，AOB90当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且MON30（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小试确定M的位置，使OMN的面积最小，并求出最小面积解：（1）在OAB中，因为OA3，OB3，AOB90，所以OAB60在OAM中，由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcosA7， 所以OM，所以cosAOM， 在OAN中，sinONAsin(AAON) sin(AOM90)cosAOM在OMN中，由，得MN（2）解法1：设AMx，0x3在OAM中，由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcosAx23x9， 所以OM，所以cosAOM， 在OAN中，sinONAsin(AAON) sin(AOM90)cosAOM由，得ON所以SOMNOMONsinMON，0x3令6xt，则x6t，3t6，则SOMN(t9)(29)当且仅当t，即t3，x63时等号成立，SOMN的最小值为所以M的位置为距离A点63 km处，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2解法2：设AOM，0在OAM中，由，得OM在OAN中，由，得ON所以SOMNOMONsinMON，0当2，即时，SOMN的最小值为所以应设计AOM，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2【说明】考查以解三角形为背景的数学建模应用，灵活选择自变量建立目标函数求解最值4某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q（x0）已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和 （1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ 解：（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q4.5）万元， 每件销售价为150%25%年销售收入为(150%25%)Q(32Q)x年利润W(32Q)x(32Q)x(32Q)x16Qx16x，(x0) （2）令x1t（t1），则W16(t1)643t673()t1，24，即W55，当且仅当，即t8时，W有最大值55，此时x7 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元【说明】函数应用题，基本不等式求最值5已知椭圆M：1(ab0)的左右顶点分别为A，B，一个焦点为F(1，0)，点F到相应准线的距离为3经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点（1）求椭圆M的方程；（2）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值解：（1）由焦点F(1，0)知c1，又c3，所以a24，从而b2a2c23所以椭圆M的方程为1（2）若直线l的斜率不存在，l的方程为x1，此时S1S2，|S1S2|0；若直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x1)，k0，C(x1，y1)，D(x2，y2)联立消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1x2，x1x2此时|S1S2|AB|y1|y2|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k|(x1x2)2|2|k|2|2|k|因为k0，所以|S1S2|，当且仅当4|k|，即k时取等号所以|S1S2|的最大值为【说明】考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，最值问题等突出基本量运算、用基本不等式求最值等方法6如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：1(ab0)内一点A(0，1)的动直线l与椭圆相交于M，N两点，当l平行于x轴和垂直于x轴时，l被椭圆C所截得的线段长均为2（1）求椭圆C的方程；xyOMNA（2）是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点A的动直线l都满足？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）当l垂直于x轴时，2b2，从而b当l平行于x轴时，点(，1)在椭圆C上，所以1，解得a2所以椭圆C的方程为1（2）设存在与点A不同的定点B满足当l平行于x轴时，AMAN，所以BMBN，从而点B在y轴上，设B(0，t)；当l垂直于x轴时，不妨设M(0，)，N(0，)由可得，解得t1（舍去）或t2，即B(0，2)下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l都满足设直线l的方程为ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，得(12k2)x24kx20，所以x1x2，x1x2因为，要证，只要证，只要证x12(1k2)x222kx21)x22(1k2)x122kx11)，即证2kx12x22kx22x1x22x120，即证(x1x2)2kx1x2(x1x2)0因为2kx1x2(x1x2)2k0，所以所以存在与点A不同的定点B(0，2)，使得对任意过点A的动直线l都满足【说明】考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定点的探求等突出基本量运算、代数式恒等变形、由特殊到一般等方法7. 已知函数f (x)exsinxcosx，g (x)xcosxex ，其中e是自然对数的底数.（1）判断函数yf (x)在(0，)内零点的个数，并说明理由；（2）任意x10，存在x20，使得不等式f (x1)g (x2)m成立，试求实数m的取值范围；（3）若x1，求证：f (x)g (x)0.解：（1）函数yf (x)在(0,)上的零点的个数为1，理由如下：因为f (x)exsinxcosx，所以f(x)exsinxexcosxsinx.因为x(0，)，所以f (x)0.所以函数f (x)在(0，)上是单调递增函数.因为f (0)10，f ()e0，根据函数零点存在性定理得函数yf (x)在(0，)上的零点的个数为1.（2）因为不等式f (x1)g (x2)m等价于f (x1)mg (x2)，所以任意x10，存在x20，使得不等式f (x1)g (x2)m成立，等价于f (x)min(mg (x)min，即f (x)minmg (x)max.当x0，时，f (x)exsinxexcosxsinx0，故f(x)在区间0，上单调递增，所以x0时，f (x)取得最小值1，又g(x)=cosxxsinxex，由于0cosx1，xsinx0，ex，所以g(x)0，故g (x)在区间0，上单调递减.因此，x0时，g (x)取得最大值.所以m1.（3）当x1时，要证f (x)g (x)0，只要证f (x)g (x)，只要证exsinxcosxxcosxex，只要证exsinxexcosxxcosx，由于sinx0，1x0只要证.下面证明x1时，不等式成立.令h(x)，则h(x)，当x(1,0)时，h(x)0，h(x)是单调递减；当x(0，)时，h(x)0，h(x)是单调递增.所以当且仅当x0时，h(x)取得极小值也就是最小值为1，即1，当x0时，取“”.又因为cosxsinxsin(x)，当x2k时，kZ时取“”.所以cosxsinx，即1，当x2k时，kZ时取“”.所以.综上所述，当x1时，f (x)g (x)0成立.【说明】考查函数零点问题、函数不等式的转化与证明，转化与化归的思想。8已知函数f (x)xlnxx （1）设g (x)f (x)|xa|，aRe为自然对数的底数 当a时，判断函数g (x)零点的个数； 当x，e时，求函数g (x)的最小值 （2）设0mn1，求证：f (n)0解：（1）当a时，g (x)xlnxx|x|xlnx，g(x)1lnx，当0x时，g(x)0；当x时，g(x)0；因此g (x)在 (0，)上单调递减，在(，)上单调递增，又g ()0，g ()0，g (1)0，所以g (x)有且仅有两个零点（i）当a时，g (x)xlnxxxaxlnxa，因为x，e，g(x)1lnx0恒成立，所以g (x)在，e上单调递增，所以此时g (x)的最小值为g ()a（ii）当ae时，g (x)xlnxxaxxlnx2xa，因为x，e，g(x)lnx10恒成立，所以g (x)在，e上单调递减，所以此时g (x)的最小值为g (e)ae（iii）当ae时，若xa，则g (x)xlnxxaxxlnx2xa，若axe，则g (x)xlnxxxaxlnxa，由（i），（ii）知g (x)在，a上单调递减，在a，e上单调递增，所以此时g (x)的最小值为g (a)alnaa，综上有：当a时，g (x)的最小值为a；当ae时，g (x)的最小值为alnaa；当ae时，g (x)的最小值为ae （2）设h(x)，则当x(0，1)时，h(x)0，于是h(x)在(0，1)单调递增，又0mn1，所以h(m)h(n)，从而有f (n)f (n)h(n)n(lnn1)设(x)lnx1，x0 则(x)0，因此(x)在(0，)上单调递增，因为0n1，所以(n)(1)0，即lnn10，因此f (n)n(lnn1)0，即原不等式得证【说明】本题（1）中两问考查了函数的零点及带有绝对值问题的分类讨论，第（2）问是二元函数不等式的证明，需要有消元意识，利用函数h(x)的单调性，将所证不等式转化为f(n)h(n)0是解决该问的关键9若各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且2an1 (nN*)（1）求数列an的通项公式；（2）若正项等比数列bn，满足b22，2b7b8b9，求Tna1b1a2b2anbn（3）对于(2)中的Tn，若对任意的nN*，不等式(1)n(Tn21)恒成立，求实数的取值范围；解：（1）因为4Sn(an1)2，且an0，由4a1(a11)2得a11，又4Sn1(an11)2，所以4an14Sn14Sn(an11)2(an1)2， (an1an) (an1an)2(an1an)0，因为an0，所以an1an0，所以an1an2，所以an是公差为2的等差数列，又a11，所以an2n1（2） 设bn的公比为q，因为2b7b8b9，2qq2，所以q1(舍)或q2，b11，bn2n1记Aa1b1a2b2anbn1132522(2n1)2 n1， 2A12322523(2n1)2n，A12(2222n1)(2n1)2n，A(2n1)2n12(2222n1)(2n1)2n12(2n2)(2n3)2n3所以Tna1b1a2b2anbn(2n3)2n3（3）不等式(1)n(Tn21)可化为(1)n(n) 当n为偶数时，(n)，记g(n)(n)所以g(n)min g(n2)g(n)22，n2时，g(n2)g(n)，n4时，g(n2)g(n)，即g(4)g(2)，n4时，g(n)递增，g(n)ming(4)，即当n为奇数时，(n)，记h(n)(n)，所以h(n)maxh(n2)h(n)22，n1时，h (n2)h(n)，n3时，h(n1)h(n)，即h(3)h(1)，n3时，h(n)递减，h(n)maxh(3)3，所以3综上所述，实数的取值范围为(3，) 【说明】等差数列与等比数列的判定，基本量计算，数列求和，求数列的最大项与最小项，数列与不等式综合10已知数列an的前n项和为Sn，把满足条件an1Sn(nN*)的所有数列an构成的集合记为M （1）若数列an通项为an，求证：anM； （2）若数列an是等差数列，且annM，求2a5a1的取值范围；（3）若数列an的各项均为正数，且anM，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列an的通项；若不存在，说明理由解:（1）因为an，所以Sn1()n，所以an1Sn()n11()n()n110，所以an1Sn，即anM（2）设an的公差为d，因为annM，所以an1n1(a11)(a22)(ann) （*）特别的当n1时，a22a11，即d1，由（*）得a1ndn1na1d，整理得n2(a1d)na110，因为上述不等式对一切nN*恒成立，所以必有0，解得d1，又d1，所以d1，于是(a11)na110，即(a11)(n1)0，所以a110，即a11，所以2a5a12(a5a1)a18da18a19，因此2a5a1的取值范围是9，) （3）由an1Sn得Sn1SnSn，所以Sn12Sn，即2，所以2n，从而有Sn1S12na12n， 又an1Sn，所以an2Sn1a12n，即ana12n2(n3)，又a2S1a1222，a1a1212，所以有a