源于数学故事的竞赛题.doc

精品文档源于数学故事的竞赛题这是发生在古代俄罗斯的故事彼德和瓦西里合伙贩卖家畜有一次，他们把共有的一群牛卖掉，把卖得的钱买回了一群羊“我们把这群羊平分了吧!”彼德提议于是，他俩就合计着，怎么分得公平合理：已知每头牛卖得的卢布个数就等于牛的总数，用卖牛的钱买回的羊，每只10卢布，钱数的零头则搭配了一只小羊这些羊他们两人平分，彼德多得了一只大羊瓦西里得了那只小羊“我找给你2卢布钱吧!这样就合理了”彼德对瓦西里说“行啊，行”瓦西里点头同意可是，找的钱为什么是2卢布呢?我们首先来解决这个问题设牛的头数为x头，则每头牛的价格是x卢布所以牛群的总价，也就是买回一群大羊和那只小羊的总钱数是x2卢布，是一个完全平方数既然有一个伙伴多得了一只大羊，说明大羊的只数是一个奇数；这就是说，x2里所含的10的个数也是一个奇数那么x2的个位数就是小羊的价格设x的个位数字为b，十位及以的数字是a，则x=10a十b，x2=(10a+b)2=100a2+20ab+ b2=102(5a2+ ab)+b2这里所含的10的个数有一部分是2(5a2+ ab)，而还有一部分包含在b2里，因为2(5a2+ ab)是一个偶数，所以只有在b2里所含的10的个数是奇数时，x2里所含的10的个数才能是奇数因为b只能取0、l、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数它们的平方分别是：0、1、4、9、16、25、36、49、64、81其中，只有16和36所含的l0的个数是奇数，而且这两个数的末位数都是6由此可见，x2只有末位数是6时，其所含的10的个数才能是奇数这就是说，买小羊花了6卢布所以分得小羊的瓦西里比彼德吃亏了4卢布要分得公平，只要彼德找给瓦西里2卢布就行了因此找的钱是2卢布下面我们来看一条源于这个数学故事的竞赛题2003年北京市中学生数学竞赛初中二年级初赛试题：兄弟二人养了一群羊当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取10元，弟弟再取10元；这样依次反复进行最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等问这顶草帽值多少钱? 为什么说这是一条源于这个数学故事的竞赛题呢?因为竞赛题中的羊相当于故事中的牛竞赛题中的哥哥先取10元，弟弟再取10元；这样依次反复进行的分钱方法相当于故事中的两人轮流分大羊竞赛题中的最后哥哥先取10元，弟弟再取不足10元相当于故事中的彼德多得了一只大羊，瓦西里得了那只小羊这样这道竞赛题就转化为上面的数学故事竞赛题的解法如下：设羊的只数为x只，则每只羊的价钱是x元所以这群羊全部卖了x2元，是一个完全平方数既然最后，哥先取10元，弟弟再取不足10元这就是说，x2里所含的10的个数是一个奇数那么x2的个位数就是弟弟最后分得的钱设x的个位数字为b，十位及以上的数字是a，则x=10a+b，x2=(10a+b)2=100a2+20ab+ b2 =102(5a2+ ab)+b2这里所含的10的个数有一部分是2(5a2+ ab)，而还有一部分包含在b2里，因为2(5a2+ ab)是一个偶数，所以只有在b2里所含的10的个数是奇数时，x2里所含的10的个数才能是奇数因为b只能取0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数它们的平方分别是：0、1、4、9、16、25、36、49、64、81其中，只有16和36所含的10的个数是奇数，而且这两个数的末位数都是6由此可见，x2只有末位数是6时，其所含的10的个数才能是奇数这就是说，弟弟最后分得的钱是6元所以弟弟比哥哥吃亏了4元因为兄弟二人平分卖羊得来的钱所以哥哥应该找弟弟2元钱，由于哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等所以这顶草帽值2元钱从上面的两道题目的内容和解法可知，它们完全是同出一辙从这数学故事，我们可以进一步改编改变这道数学题目的分钱方法 变式题：兄弟二人养了一群羊当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取5元，弟弟再取5元；这样依次反复进行最后，哥哥先取5元，弟弟再取