拉普拉斯积分变换PPT课件.ppt

1 拉普拉斯 Laplace 积分变换 2 1 拉氏变换的概念 定义设函数 当 时有定义 而且积分 s是一个复参量 在s的某一域内收敛 则由此积分所确定的函数 称为函数 的拉普拉斯变换式 简称拉氏变换式 记为 F s 称为 的拉氏变换 或称为象函数 一 拉氏变换 3 若F s 是 的拉氏变换 则称 为F s 的拉 氏逆变换 或称为象原函数 记为 可以看出 的拉氏变换 实际上就是 的傅氏变换 4 例1求单位阶跃函数 的拉氏变换 解由拉氏变换的定义 此积分在 时收敛 且 所以 5 例2求指数函数 的拉氏变换 k为 解 积分在 时收敛 且有 所以 实数 6 2 拉氏变换的存在定理 可以看出 拉氏变换存在的条件要比傅氏变换存在的条件弱得多 对于一个函数 满足什么条件时 它的拉氏变换一定存在呢 7 当 时 的增长速度不超过某一指数函 使得 成立 满足此条件的函数 称它的增大是指数级 的 c为它的增长指数 拉氏变换的存在定理若函数 满足下列条件 在 的任一有限区间上分段连续 数 亦即存在常数M 0及 8 则 的拉氏变换 在半平面 上一定存在 右端的积分在 上绝对收敛而且一致收敛 并且在 的半平面内 为解析函数 9 例3求正弦函数 k为实数 的拉 解 同样可得余弦函数的拉氏变换 氏变换 10 例6求单位脉冲函数 的拉氏变换 利用性质 有 解 11 例7求函数 的拉氏变换 解 在实际工作中 求函数的拉氏变换可通过拉氏变换表查得 12 3 拉氏变换的性质 为了叙述方便起见 假定要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c 以下均设 13 a 线性性质若 是常数 则有 根据定义 利用积分性质就可推出这个性质 此性质表明 函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合 14 b 微分性质 证由定义并利用分部积分法得 这个性质表明 一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s 再减去函数的初值 15 推论 特别 当初值 时 有 此性质使我们有可能将 的微分方程转化为F s 的 代数方程 因此它对分析线性系统有着重要的作用 16 例求函数 的拉氏变换 解由于 由微分性质有 即 移项化简得 17 例求函数 的拉氏变换 其中m是正整数 解由于 而 所以 18 即 而 所以 由拉氏变换存在定理 可得到象函数的微分性质 一般地 有 19 例求函数 的拉氏变换 解因为 根据象函数的微分性质 同理可得 20 c 积分性质 证设 则有 且 由微分性质 有 即 这个性质表明 一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s 21 重复应用积分性质可得 此外 由拉氏变换存在定理 还可以得到象函数的积分性质 或 一般地 有 22 例求函数 的拉氏变换 解因为 据象函数的积分性质可知 23 其中 这一公式 常用来计算某些积分 存在 在象函数的积分性质公式中取s 0 则有 如果积分 24 例求积分 解因为 且 所以 25 d 位移性质若 则有 证 上式右方只是在 中把s换成 所以 这个性质表明 一个象原函数乘以指数函数 eat的拉氏变换等于其象函数作位移a 26 例求 解因为 利用位移性质 可得 27 例求 解因为 由位移性质得 28 5 延迟性质若 又 时 则对于任一非负实数 有 或 证 2020 3 22 29 30 由于 时 所以上式右端第一 个积分为零 对于第二个积分 令 则 31 函数 与f t 相比 f t 是从t 0开始有非零数值 而 是从 开始才有非零数值 即延迟了一个 时间 从它们的图象来讲 的图象是由f t 的 图象沿t轴向右平移距离而得 象函数乘以指数因子 这个性质表明 时间函数延迟 的拉氏变换等于它的 32 例求函数 的拉氏变换 解由于 根据延迟性质 有 33 二 拉氏逆变换 在实际应用中常会碰到的问题是 已知象函数 求它的象原函数f t 由拉氏变换的概念可知 函数的拉氏变换就是的傅氏变换 34 于是 当 满足傅氏积分定理的条件时 按傅氏积分公式 在 连续点处有 35 等式两边乘以 并考虑到它与积分变量无关 则 令 有 这就是从象函数F s 求它的象原函数f t 的一般公式 右端的积分称为拉氏反演积分 36 此公式是一个复变函数的积分 通常计算起来比较困难 但当F s 满足一定条件时 可以用留数学方法来计算这个反演积分 特别当F s 为有理函数时更为简单 37 定理 若是函数的所有奇点 适当选取使这些奇点全在的范围内 且当时 则有 即 38 例1 求 的逆变换 解 F s 有两个一级极点 由拉氏反演积分公式得 39 例2 求 的逆变换 解 s 0为一级极点 s 1为二级极点 拉氏反演积分公式得 40 例3 求 的逆变换 解 利用部分分式的方法将F s 化成 所以 41 卷积 拉氏变换的卷积性质 不仅被用来求某些函数的逆变换及一些积分值 而且在线性系统的分析中起着重要的作用 42 1 卷积的概念 傅氏变换中两个函数的卷积是指 在拉氏变换中函数如果都满足条件 当t 0时 则上式可写成 今后如不特别声明 都假定这些函数在t 0时恒为零 43 例1求函数和的卷积 即求 解 根据定义得 44 卷积的性质 45 2 卷积定理 假定 满足拉氏变换存在定理中的条件 且 则的拉氏变换一定存在 且 或 46 推论 若满足拉氏变换存在定理中的条件 且 则有 在拉氏变换的应用中 卷积定理起着十分重要的作用 下面举例说明它在求函数的逆变换中的应用 47 例2设 求f t 解 令 则 根据卷积定理和例1得 48 例3设 求f t 解 所以 49 例4设 求f t 解 根据位移性质 所以 50 51 微分方程的拉氏变换解法 利用拉氏变换的线性性质和微分性质来解常微分方程 其方法是先取拉氏变换把微分方程化为象函数的代数方程 根据这个代数方程求出象函数 然后再对象函数取逆变换就得出原来微分方程的解 解法的的过程如下图所示 52 53 例1求方程的解 满足初始条件 解 设L y t Y s 在方程两边取拉氏变换 并考虑到初始条件 得 这是含未知量Y s 的代数方程 整理后解出Y s 得所求函数的拉氏变换 54 取它的逆变换便可以得出所求函数y t 取逆变换得到所求微分方程的解 55 例2求方程组 满足初始条件的解 解设L