第45讲 切比雪夫不等式

四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 1 概率论与数理统计 主讲主讲 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 3 第五章第五章第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 4 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 0 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 1 大数定律大数定律 2 中心极限定理中心极限定理 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 5 5 0 5 0 切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 6 四川大学四川大学 第第第第4545讲讲讲讲 切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式 牟尼沟牟尼沟 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 7 定理定理 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E X 和方差和方差D X 都都 存在存在 则对任意则对任意 0 0 都有都有 我们知道我们知道 随机变量随机变量X的方差的方差D X 描述的是描述的是 X的取值偏离其均值的取值偏离其均值E X 的程度的程度 下面这个定理给出了方差与均值满足的一个下面这个定理给出了方差与均值满足的一个 不等式不等式 2 D X P XE X 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 8 四川大学四川大学 2 0 D X P XE X 证证 连续型连续型 P XE X xEX f x dx 设设X的概率密度为的概率密度为 f x 2 2 x E X f x d x E x X 2 2 1 x E Xf x dx 非负函数积分范围越非负函数积分范围越 大大 积分值越大积分值越大 2 1 D x 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 9 证证 离散型离散型 P XE X k k xE X p 设设X的分布律为的分布律为 2 1 D X 1 2 kk pP Xxk 2 2 k k X k xE p xE X 2 2 1 1 kk k xE Xp 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 10 定理定理 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 2 0 D X P XE X 若记若记 E X D X 2 则以上不等式变成 则以上不等式变成 2 2 0 P X 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 11 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 2 2 0 P X X 的对立事件是的对立事件是 X 得切比雪夫不等式的另一形式得切比雪夫不等式的另一形式 2 2 1 0 P X 四川大学四川大学 即即X落入以均值落入以均值 为中心的为中心的 邻域邻域 的概率不低于的概率不低于 22 1 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 12 2 2 0 P X 也可以记为也可以记为 2 1 0 P X 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 13 定理定理 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 2 0 D X P XE X 切比雪夫不等式的意义切比雪夫不等式的意义 在随机变量在随机变量X的分布未知的分布未知 而只知道而只知道X的均的均 值和方差值和方差 或已知分布但很复杂或已知分布但很复杂 的情况的情况 下下 切比雪夫不等式给出了概率切比雪夫不等式给出了概率 的一个估计范围的一个估计范围 PXEX 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 14 切比雪夫不等式可用于以下情形切比雪夫不等式可用于以下情形 在已知在已知E X D X 的情况下的情况下 1 对给定的对给定的 0 估计估计 X E X 的概率的概率 2 对给定的概率对给定的概率 p 确定所需的区间长度确定所需的区间长度 即确定满足不等式即确定满足不等式 的的 P XE Xp 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 15 切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫 1821 1894 1821 1894 ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev 俄罗斯数学家俄罗斯数学家 力学家力学家 他一生发表了他一生发表了70多篇科学论多篇科学论 文文 内容涉及内容涉及数论数论 概率论概率论 函数逼近论函数逼近论 积分学积分学等方面等方面 他证明了他证明了贝尔特兰贝尔特兰公式公式 自自 然数列然数列中中素数分布素数分布的定理的定理 大数定律大数定律的一般公式以及的一般公式以及中中 心极限定理心极限定理 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 16 例例 子子 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 17 例例1 设设X是掷一颗骰子所出现的点数是掷一颗骰子所出现的点数 若给定若给定 1 和和 2 试实际计算概率试实际计算概率 并验证切比雪夫不等式并验证切比雪夫不等式 P XE X 解解X的分布律为的分布律为 1 6 1 2 6 P Xkk 1 1 2 3 4 5 6 6 E X 7 2 22 DXEXEX 2222222 1 123456 6 E X 91 6 2 917 62 35 12 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 18 设设X是掷一颗骰子所出现的点数是掷一颗骰子所出现的点数 若给定若给定 1 和和 2 试实际计算概率试实际计算概率 并验证切比雪夫不等式并验证切比雪夫不等式 P XE X 7 2E X 3512D X 1 时 7 1 2 P X 77 1 1 22 P XP X 95 22 P XP X 1 2 5 6 P X 4 6 2 3 2 351235 112 D X 7 21 P X 2 3 切比雪夫不等式成立切比雪夫不等式成立 四川大学四川大学 可见这个估计是比较粗糙的可见这个估计是比较粗糙的 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 19 设设X是掷一颗骰子所出现的点数是掷一颗骰子所出现的点数 若给定若给定 1 和和 2 试实际计算概率试实际计算概率 并验证切比雪夫不等式并验证切比雪夫不等式 P XE X 7 2E X 3512D X 2 时 7 2 2 P X 77 2 2 22 P XP X 113 22 P XP X 1 6 P X 2 6 1 3 2 351235 448 D X 7 22 P X 1 3 切比雪夫不等式成立切比雪夫不等式成立 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 20 四川大学四川大学四川大学四川大学 例例2 随机地掷随机地掷6枚骰子枚骰子 利用切比雪夫不等式利用切比雪夫不等式 估计估计6枚骰子的点数之和在枚骰子的点数之和在15点到点到27点之间的点之间的 概率概率 解解 以以 Xi 记第记第 i 枚骰子出现的点数枚骰子出现的点数 i 1 2 6 则则X1 X2 X6相互独立相互独立 126 XXXX 7 2 i E X 由例由例1 35 12 i D X 1 6 E XE X 1 2 6 i 21 由独由独 立性立性 1 6 D XD X 35 2 点数之和点数之和 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 21 随机地掷随机地掷6枚骰子枚骰子 利用切比雪夫不等式估计利用切比雪夫不等式估计6 枚骰子的点数之和在枚骰子的点数之和在15点到点到27点之间的概率点之间的概率 126 XXXX 1 6 E XE X 21 由独由独 立性立性 1 6 D XD X 35 2 点数之和点数之和 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 1527 PX 26 1 P X 2 1 6 D X 35 2 1 36 37 72 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 22 例例3 若随机变量若随机变量X服从参数为服从参数为 2 的的泊松分布泊松分布 用切比雪夫不等式估计用切比雪夫不等式估计 P X 2 4 解解 2 2XE XD X 2 4P X 4 P XE X 2 D X PXEX 2 4 D X 2 16 18 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 1 8 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 23 例例4 设随机变量设随机变量X在区间在区间 1 b 上服从上服从均匀分均匀分 布布 且由切比雪夫不等式得且由切比雪夫不等式得 P X 1 2 3 求求 b 和和 解解 2 212 a bb a XU a bE XD X 1P X 1 2 b E X 1 3b 2 3 1 12 D X 4 3 2 1 DX P X 2 1 D X 2 4 3 1 2 3 2 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 24 例例5 证明方差的性质证明方差的性质4 教材教材103页页 第第41讲讲 设设 0 1D XP XE X 证证 充分性充分性 教材教材103页页 1P XE X 则则 22 1P XE X 2 E X 2 EX 2 E X 22 D XE XE X 0 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 25 证明方差的性质证明方差的性质 0 1D XP XE X 必要性必要性 教材教材106页页 设 设 0D X 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 0 2 1 D X P XE X 1 1P X E X 即即 0 但但 0 0aa 得得 0 1P X E X 0 1P X E X 1P XE X 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 26 例例6 设某电网有设某电网有10000盏电灯盏电灯 夜间每一盏灯夜间每一盏灯 开灯的概率都是开灯的概率都是0 7 假设电灯开假设电灯开 关时间彼关时间彼 此独立此独立 试估计夜晚同时开着的电灯数在试估计夜晚同时开着的电灯数在6800 与与7200盏之间的概率盏之间的概率 解解 用用X表示在夜晚开着的电灯的盏数表示在夜晚开着的电灯的盏数 则则X服从参数服从参数n 10000 p 0 7的二项分布的二项分布 k 0 1 n P Xk 1 kkn k n C pp 第第14讲讲 68007200 PX 10000 7199 10000 6801 0 7 0 3 kkk k C 计算量太大计算量太大 下面用切比雪夫不等式估计概率下面用切比雪夫不等式估计概率 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 27 设某电网有设某电网有10000盏电灯盏电灯 夜间每一盏灯开灯的概夜间每一盏灯开灯的概 率都是率都是0 7 假设电灯开假设电灯开 关时间彼此独立关时间彼此独立 试估试估 计夜晚同时开着的电灯数在计夜晚同时开着的电灯数在6800与与7200盏之间的盏之间的 概率概率 用用X表示在夜晚开着的电灯的盏数表示在夜晚开着的电灯的盏数 则则X服从参数服从参数n 10000 p 0 7的二项分布的二项分布 68007200 PX 1 Xb n pE Xnp D Xnpp 7 00 0 E Xnp 平均有平均有7000盏灯开着盏灯开着 2 1 2100D Xnpp 20020000 70PX 2 0 0 P X 2 2 1 200 2100 0 1 4000 0 95 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 28 例例7 一机床加工长为一机床加工长为50cm的零件的零件 由于随机扰由于随机扰 动动 零件长度有一定误差零件长度有一定误差 统计表明统计表明 零件的长度的均方差为零件的长度的均方差为 0 25cm 按要求按要求 零件的实际长度在零件的实际长度在49 25cm到到50 75cm 之间算合格之间算合格 试用切比雪夫不等式估计该机床加工这种零件试用切比雪夫不等式估计该机床加工这种零件 的合格率的范围的合格率的范围 解解 设设X表示零件的长度表示零件的长度 由题设由题设 可以认为可以认为 E X 50 cm 又又 均方差均方差 0 25 cm X 的分布未知的分布未知 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切比雪夫不等式 29 一机床加工长为一机床加工长为50cm的零件的零件 由于随机扰动由于随机扰动 零件零件 长度有一定误差长度有一定误差 统计表明统计表明 零件的长度的均方差为零件的长度的均方差为 0 25cm 按要求按要求 零件的实际长度在零件的实际长度在49 25cm到到 50 75cm之间算合格之间算合格 试用切比雪夫不等式估计该机试用切比雪夫不等式估计该机 床加工这种零件的合格率的范围床加工这种零件的合格率的范围 设设X表示零件的长度表示零件的长度 X 的分布未知的分布未知 由题设由题设 可以认为可以认为 E X 50 cm 又又 均方差均方差 0 25 cm 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 49 2550 75 PX 50 0 75P X 2 2 0 1 75 2 2 0 25 0 1 75 8 9 0 89 四川大学四川大学 四川大学四川大学第45讲 切