高三数学对称问题教案19.doc

高三数学对称问题教案19 7.6对称问题一、明确复习目标1掌握求已知曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法.2掌握判断曲线(或曲线间)对称的方法.二建构知识网络1.点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。2.点关于直线的对称点即对称轴为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，方法：设点(x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x,y)，则3.曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0（2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P0(x0,y0)，在已知曲线f(x,y)=0上，由两点关于直线对称的解法，求得x0,y0，代入f(x0,y0)=0，即得对称曲线方程。4、常用的对称关系点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x的对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m的对称点(m-b,m-a).三、双基题目练练手1. (2004全国II)已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为 ( )A.(x1)2y21 B.x2y21 C.x2(y1)21 D.x2(y1)212.方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线 ( )A.关于x轴对称但不关于y轴对称 B.关于y轴对称但不关于x轴对称C.关于原点对称 D.以上都不对3.(2004全国II)函数yex的图象 ( )A.与yex的图象关于y轴对称 B.与yex的图象关于坐标原点对称C.与yex的图象关于y轴对称 D.与yex的图象关于坐标原点对称4曲线x24y24关于点M（3，5）对称的曲线方程为_.5. 光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程。6. 直线 交x、y轴于A、B两点，试在直线 上求一点P，使 最小，则P点的坐标是_ 简答:1-3.CCD；4.（x6）2+4（y10）2=4；5.解： A（-3，4）关于x轴的对称点 （-3，-4）在经x轴反射的光线上；A1（-3，-4）关于y轴的对称点 （3，-4）在经过射入y轴的反射的光线上， = 所求直线方程为 ，即 6.(0,0)四、经典例题做一做【例1】求直线a：2x+y4=0关于直线l：3x+4y1=0对称的直线b的方程.分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时ABl，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.2x+y4=0，3x+4y1=0， 方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为2，直线l的斜率为 .则 = .解得k= .代入点斜式得直线b的方程为y（2）= （x3），即2x+11y+16=0.方法二：在直线a：2x+y4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），3 +4 1=0，= ，解得B（ ， ）.由两点式得直线b的方程为= ，即2x+11y+16=0.方法三：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y1=0的对称点Q（x0，y0），则有3 +4 1=0，= .解得x0= ，y0= .Q（x0，y0）在直线a：2x+y4=0上，则2 + 4=0，化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.方法四：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，42x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y1=0对称，则有= ，= .消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y4=0（舍）.提炼方法：1.方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程;2.方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数.【例2】.已知ABC中点A(3,-1),AB边上的中线为:6x+10y-59=0,B的平分线为:x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.解:设B(a,b),在B的平分线上,则a-4b+10=0 又AB的中点 在CM上,有: 解,得B(0,5).设B平分线交AC于点T. ,由 BC的方程为2x+9y-65=0.法2:(1)求B的坐标; (2)求A关于B的平分线对称的点A,写出A的方程即为所求(BC).【例3】已知点M（3，5），在直线： 和y轴上各找一点P和Q，使 的周长最小。解：可求得点M关于 的对称点为 （5，1），点M关于y轴的对称点为 （-3，5），则的周长就是 ，连 ，则直线 与y轴及直线 的交点P、Q即为所求。直线 的方程为 ，直线 与y轴的交点坐标为 ，由方程组 得交点 ，点 、 即为所求。特别提示：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。【例4】已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1 x4 2，求tan的取值范围.解：设P1B=x，P1P0B=，则CP1=1x，P1P2C、P3P2D、AP4P3均为，tan= =x.又tan= = =x，CP2= = 1.而tan= = = =x，DP3=x（3 ）=3x1.又tan= = = =x，AP4= = 3.依题设1 AP4 2，即1 3 2，4 5， . tan .【研讨.欣赏】已知抛物线y=ax21上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组 有两组不同的实数解，即得方程ax2x（1+b）=0. 判别式=1+4a（1+b）0.由得x0= = ，y0=x0+b= +b.Ml，0=x0+y0= + +b，即b= ，代入解得a .解法二：设同解法一，由题意得将代入，并注意到a0，x1x20，得由二元均值不等式易得2（x12+x22）（x1+x2）2（x1x2）.将代入上式得2（ + ）（ ）2，解得a .解法三：同解法二，由，得y1y2=a（x1+x2）（x1x2）.x1x20，a（x1+x2）= =1.x0= = .M（x0，y0）l，y0+x0=0，即y0=x0= ，从而PQ的中点M的坐标为（ ， ）.M在抛物线内部，a（ ）2（ ）10.解得a .（舍去a0，为什么?）五提炼总结以为师1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等同步练习 7.6对称问题 【选择题】1.已知直线l1: x+my+5=0和直线l2:x+ny+P=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是( )A、 B、p=-5 C、m=-n且p= -5 D、 且p=-52.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为 （ ）A（a，b） B（b，a）C（a，b） D（b，a）3.方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆 （ ）A、关于x轴对称 B、关于y轴对称C、关于直线x-y=0对称 D、关于直线x+y=0对称【填空题】4.直线 关于定点 对称的直线方程是_5.直线2xy4=0上有一点P，它与两定点A（4，1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是_.6如果直线axy+3=0与直线3xyb=0关于直线xy+1=0对称，则a= , b= 答案提示：13.CBD；4. ；5.解：易知A（4，1）、B（3，4）在直线l：2xy4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.答案：（5，6）6.答案：1/3, 5说明：掌握k=1时，求对称点的方法【解答题】7.一条光线经过P(2,3)点，射在直线 ：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1)（1）求入射光线所在的直线方程（2）求这条光线从P到Q的长度。解：(1)设Q(1,1)关于：x+y+1=0的对称点 ，易证 入射光线所在直线方程 ，即5x-4y+2=0（2） 是 的垂直平分线，因而 即为所求8. 已知ABC的一个顶点A（1，4），B、C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.解：设点A（1，4）关于直线y+1=0的对称点为A（x1，y1），则x1=1，y1=2（1）（4）=2，即A（1，2）.在直线BC上，再设点A（1，4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A（x2，y2），则有（1）=1，+ +1=0. x2=3，y2=0，即A（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得 = ，即x+2y3=0为边BC所在直线的方程.9. 已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y2=0，在直线l上求一点P.（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|PB|最大.解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）. +2 2=0， （ ）=1. x1= ，y1= .由两点式求得直线A1B的方程为y= （x4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（ ， ）.由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.（2）由两点式求得直线AB的方程为y1=（x4），即x+y5=0.直线AB与l的交点可求得为P（8，3），它使|PA|PB|最大.10若抛物线y=2x2上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称且x1x2= ，求m的值解：设直线AB的方程为y=x+b，代入y=2x2得2x2+xb=0，x1+x2= ，x1x2= = b=1，即AB的方程为y=x+1设AB的中点为M（x0，y0），则x0= = ，代入y0=x0+1，得y0= 又M（ ， ）在y=x+m上， = +m m= 【探索题】已知椭圆方程为 ，试确定实数