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高考数学抛物线复习教案 1 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2 抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距： 通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。顶点平分焦点到准线的垂线段： 。焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3 抛物线标准方程的四种形式： 4 抛物线 的图像和性质：焦点坐标是： ，准线方程是： 。焦半径公式：若点 是抛物线 上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是： ，焦点弦长公式：过焦点弦长 抛物线 上的动点可设为P 或 或P 5 一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk 0时开口向右(k/4,0)x= k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= k/4的距离k 0时开口向左x2=kyk 0时开口向上(0,k/4)y= k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= k/4的距离k 0时开口向下抛物线的定义： 例1：点M与点F (4，0)的距离比它到直线l：x6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义答案：y2=16x例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长分析：这是灵活运用抛物线定义的题目基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和解：如图831，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x1由 消去y得x26x+1=0设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6又A、B两点到准线的距离为 ， ，则点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程；(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；(3) 已知抛物线方程为y=mx2 (m 0)求它的焦点坐标和准线方程；(4) 求经过P (4，2)点的抛物线的标准方程；分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p 0)特别是(3)题，要先化为标准形式： ，则 (4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解答案：(1) ， (2) x2=12y (3) ， ；(4) y2=x或x2=8y例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线x2y4=0上 分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论 解：（1）设所求的抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0），过点（3，2），4=2p（3）或9=2p 2 p= 或p= 所求的抛物线方程为y2= x或x2= y，前者的准线方程是x= ，后者的准线方程是y= （2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2） 当焦点为（4，0）时， =4，p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，2）时， =2，p=4，此时抛物线方程为x2=8y 所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y，对应的准线方程分别是x=4，y=2 常用结论 过抛物线y22px的焦点F的弦AB长的最小值为2p 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y22px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2p2 设A， B是抛物线y22px上的两点，O为原点， 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)例5：过抛物线y2=2px (p 0)的顶点O作弦OAOB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=4p2分析：由OAOB，得到OA、OB斜率之积等于1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程从这几个关系式可以得到y1、y2的值证：由OAOB，得 ，即y1y2=x1x2，又 ， ，所以： ，即 而y1y20所以y1y2=4p2弦的问题例1 A,B是抛物线y2=2px(p 0)上的两点，满足OA OB(O为坐标原点) 求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点 (3)作OM AB于M，求点M的轨迹方程 解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OA OB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值) (2)直线AB的斜率k= = = , 直线AB的方程为yy1= (x ),即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y= (x2p),直线AB过定点C(2p,0) (3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y= (x2p) (i),又AB OM, 故两直线的斜率之积为1, 即 = 1 (ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x 0) 解法2: 由OM AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,又设点A，B，M在准线 :x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,x= (x1+x2)= (|AF|+|BF| ) (|AB| )= 等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x ) 由 得16k2x28(k2+2)x+k2=0 依题意|AB|= |x1x2|= = =3,k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= = y= 即M( , ), N( , ) 例3 设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线 相交于B、C两点,点B、C在 轴上的射影分别为 , P是线段BC上的点,且适合 ,求 的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形 解析: 设 , , 由 得 又 代入式得 由 得 代入式得: 由 得 或 , 又由式知 关于 是减函数且 , 且 所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): ( 且 )例4 已知抛物线 ,焦点为F,一直线 与抛物线交于A、B两点,且 ,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) 求抛物线方程; 求 面积的最大值 解: 设 , AB中点 由 得 又 得 所以 依题意 , 抛物线方程为 由 及 , 令 得 又由 和 得: 例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,又设点A，B，M在准线 :x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,x= (x1+x2)= (|AF|+|BF| ) (|AB| )= 等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x ) 由 得16k2x28(k2+2)x+k2=0 依题意|AB|= |x1x2|= = =3,k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= = y= 即M( , ), N( , ) 综合类(几何)例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ/x轴，为此，将方程 联立，解出 直线OP的方程为 即 令 ，得M点纵坐标 得证由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐思路二：利用命题“如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那么 ”来证设 、 、 ，并从 及 中消去x，得到 ，则有结论 ，即 又直线OP的方程为 ， ，得 因为 在抛物线上，所以 从而 这一证法运算较小思路三：直线MQ的方程为 的充要条件是 将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立，它的解（x ,y）就是点P的坐标，消去 的充要条件是点P在抛物线上，得证这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求RAB的最大面积分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可解：设AB所在的直线方程为 将其代入抛物线方程 ，消去x得 当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，RAB的面积有最大值设直线l方程为 代入抛物线方程得 由 得 ，这时 它到AB的距离为 RAB的最大面积为 例3 直线 过点 ，与抛物线 交于 、 两点，P是线段 的中点，直线 过P和抛物线的焦点F，设直线 的斜率为k（1）将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ；（2）求出 的定义域及单调区间分析： 过点P及F，利用两点的斜率公式，可将 的斜率用k表示出来，从而写出 ，由函数 的特点求得其定义域及单调区间解：（1）设 的方程为： ，将它代入方程 ，得设 ，则 将 代入 得： ，即P点坐标为 由 ，知焦点 ，直线 的斜率 函数 （2） 与抛物线有两上交点， 且 解得 或 函数 的定义域为 当 时， 为增函数例4 如图所示：直线l过抛物线 的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0设C、D的坐标分别为 与 则 l的方程为 直线l平分弦CDCD的中点 在直线l上，即 ，化简得： 由 知 得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线焦点F在直线l上， 由抛物线定义， 到抛物线的准线 的距离相等 ，CD的垂直平分线l： 与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略例5 设过抛物线 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点 ；待求得 的关系后再用动点坐标 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算解法一：设 则： ， ， 即 ， 把N点看作定点，则AB所在的直线方程为： 显然 代入 化简整理得： ， 由、得： ，化简得 用x、y分别表示 得： 解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设 ，则以OA为直径的圆方程为： 设 ，OAOB，则 在求以OB为直径的圆方程时以 代 ，可得 由得： 例6如图所示，直线 和 相交于点M， ，点 ，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形， ， ，且 ，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程解：以 为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系由题意，曲线段C是N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点设曲线段C满足的抛物线方程为： 其中 、 为A、B的横坐标令 则 ， 由两点间的距离公式，得方程组： 解得 或 AMN为锐角三角形， ，则 ， 又B在曲线段C上， 则曲线段C的方程为 例7如图所示，设抛物线 与圆 在x轴上方的交点为A、B，与圆 在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点（1）求 （2）求ABQ面积的最大值分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出 解：（1）设 由 得： ，由 得 ，同 类似， 则 ， （2） ，当 时， 取最大值 例8 已知直线 过原点，抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴的正半轴上，且点 和点 关于直线 的对称点都在 上，求直线 和抛物线 的方程分析：设出直线 和抛物线 的方程，由点 、 关于直线 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程或设 ，利用对称的几何性质和三角函数知识求解解法一：设抛物线 的方程为 ，直线 的方程为 ，则有点 ，点 关于直线 的对称点为 、 ，则有 解得 解得 如图， 、 在抛物线上 两式相除，消去 ，整理，得 ，故 ，由 ， ，得 把 代入，得 直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 解法二：设点 、 关于 的对称点为 、 ，又设 ，依题意，有 ， 故 ， 由 ，知 ， 又 ， ，故 为第一象限的角 、 将 、 的坐标代入抛物线方程，得 ，即 从而 ， ， ，得抛物线 的方程为 又直线 平分 ，得 的倾斜角为 直线 的方程为 说明：(1)本题属于点关于直线的对称问题解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握例9 如图，正方形 的边 在直线 上， 、 两点在抛物线 上，求正方形 的面积分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力解：直线 ， ，设 的方程为 ，且 、 由方程组 ，消去 ，得 ，于是， ， (其中 ) 由已知， 为正方形， ， 可视为平行直线 与 间的距离，则有，于是得 两边平方后，整理得， ， 或 当 时，正方形 的面积 当 时，正方形 的面积 正方形 的面积为18或50说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 ，求这彗星与地球的最短距离分析：利用抛物线有关性质求解解：如图，设彗星轨道方程为 ， ，焦点为 ，彗星位于点 处直线 的方程为 解方程组 得 ，故 故 ，得 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点焦点到抛物线顶点的距离为 ，所以彗星与地球的最短距离为 或 ，（ 点在 点的左边与右边时，所求距离取不同的值）说明：(1)此题结论有两个，不要漏解；(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设 为抛物线 上一点，焦点为 ，准线方程为 ，依抛物线定义，有 ，当 时， 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点例11 如图，抛物线顶点在原点，圆 的圆心是抛物线的焦点，直线 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点，求 的值分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题解：由圆的方程 ，即 可知，圆心为 ，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为 ，设抛物线方程为 ， 为已知圆的直径， ，则 设 、 ， ，而 、 在抛物线上，由已知可知，直线 方程为 ，于是，由方程组消去 ，得 ， ，因此， 说明：本题如果分别求 与 则很麻烦，因此把 转化成 是关键所在，在求 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算11.已知抛物线y2=2px(p 0)，过焦点F的弦的倾斜角为(0),且与抛物线相交于A、B两点.（1）求证：|AB|= ;(2)求|AB|的最小值.（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（ ,0）.设过焦点、倾斜角为的直线方程为y=tan （x- ）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得tan2 x2-(2p+ptan2)x+ =0.此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2= .设A、B到抛物线的准线x=- 的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .（2）解析：因|AB|= 的定义域是0 ，又sin21，所以，当= 时，|AB|有最小值2p.12.已知抛物线y2=2px(p 0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证： 为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论？解析：（1）当ABx轴时，m=n=p， = .（2）当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x- ),A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,m= +x1,n= +x2.将AB方程代入抛物线方程，得k2x2-(k2p+2p)x+ =0, = = .本题若推广到椭圆，则有 = （e是椭圆的离心率）；若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有 = (e为双曲线的离心率).13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?|MA|=|MB|.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹方程.（1）证明：设M（y02,y0），直线ME的斜率为?k