直线与圆的关系.ppt

直线与圆的位置关系 三年二班 讨论 在Rt ABC中 C 90 AC 3cm BC 4cm 以C为圆心 r为半径作圆 1 当r满足 时 C与直线AB相离 2 当r满足 时 C与直线AB相切 3 当r满足 时 C与直线AB相交 B C A D 4 5 d 2 4cm 3 0cm r 2 4cm r 2 4cm r 2 4cm 在Rt ABC中 C 90 AC 3cm BC 4cm 以C为圆心 r为半径作圆 想一想 当r满足 时 C与线段AB只有一个公共点 r 2 4cm B C A D 4 5 3 d 2 4cm 或3cm r 4cm 1 直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为d 圆的半径为r 1 利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断 直线与圆的位置关系 2 利用直线与圆的公共点的个数进行判断 2 圆与圆的位置关系 O1 O2半径r1 r2 d O1O2 友情提醒 代数法判断两圆的位置关系有一定缺陷 外切和内切对应的方程都只有一解 而相离和内含对应的方程都无解 所以在判断圆与圆的位置关系时一般用几何法 3 切线方程 利用d R或 0 公式 切点P x0 y0 在圆x2 y2 R2上则切线方程为 x x0 y y0 R2 若圆方程为 x a 2 y b 2 R2则切线方程为 x a x0 a y b y0 b R2 1 当时表示过A B两点的圆系方程但不包含2 当时表示两圆的公共弦所在的直线方程 5 若直线y kx b与圆C f x y 0相交于两点 则弦长公式为代数法 几何法 其中r为圆的半径 d为圆心到该直线的距离 即弦心距 解决直线与圆的位置关系的问题时 要注意运用数形结合思想 既要充分运用平面几何中有关圆的性质 又要结合待定系数法运用直线方程中的基本数量关系 养成勤画图的良好习惯 课堂互动讲练 例1 1 试分析直线x y 1 0与圆 x a 2 y2 1位置关系 2 直线mx 2y m 2 0与圆x2 y2 9的位置关系是 思考 同学们能提出一个与 2 类似的问题吗 相交 已知圆试判断两圆的位置关系 例2 1 求圆的切线的方法 1 求圆的切线方程一般有两种方法 代数法 设切线方程为y y0 k x x0 与圆的方程组成方程组 消元后得到一个一元二次方程 然后令判别式 0进而求得k 课堂互动讲练 几何法 设切线方程为y y0 k x x0 利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d 然后令d r 进而求出k 提醒 在利用点斜式求切线方程时 不要漏掉垂直于x轴的切线 即斜率不存在时的情况 课堂互动讲练 已知点P 5 0 和 O x2 y2 16 1 自P作 O的切线 求切线的长及切线的方程 2 过P任意作直线l与 O交于A B两相异点 求弦AB中点M的轨迹 例3 Q 解 1 设过P的圆O的切线切圆于点Q PQO是Rt 切线长PQ 连OQ 直线l与圆O相切 O到直线l的距离等于半径 即 解得 所求切线方程为 Q 设所求切线方程为 方法一 即 显然k存在 设所求切线方程为 方法二 Q 所求轨迹方程为 由题意 方法二 当y 0时 k 0此时x 0而 消去k得 解决圆有关的最大值与最小值问题关键在于画出图形利用数形结合的思想化动为定 等价转化为一个直观易懂的问题模式 同时要注意适当地运用圆的参数方程及动态分析 课堂互动讲练 2X 3Y 6 0 例4 过直线 x 3y 6 0上一点 x y 作圆 x 2 2 y 3 2 1的切线PT T为切点 求 PT 的最小值 分析 要 PT 最小 CT 4 即要 PC 最小 由此联想到把直线改为曲线 变式1 已知动点P x y 在双曲线上 若A点坐标为 5 0 的最小值是 提问 同学们能以椭圆或抛物线为素材提出一个类似的问题吗 变式2 从圆C x2 y2 4x 6y 12 0外一点P向圆引切线PT T为切点 且 PT PO O为原点 1 求P点的轨迹方程 2 求 PO 的最小值 x y 2 3 A 2X 3Y 6 0 直线和圆的综合问题 涉及弦长问题 交点个数 向量问题 在解决这类问题时 利用直线方程和圆的方程的结合 借助于判别式求解一些参数取值范围 课堂互动讲练 例5 解题示范 本题满分12分 已知过点A 0 1 且方向向量为a 1 k 的直线l与 C x 2 2 y 3 2 1相交于M N两点 1 求实数k的取值范围 2 求证为定值 3 若O为坐标原点 求k的值 QQ 思路点拨 写出直线方程代入圆的方程 解 1 直线l过点 0 1 且方向向量为a 1 k 直线l的方程为y kx 1 将其代入 C x 2 2 y 3 2 1 得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 由题意 4 1 k 2 4 1 k2 7 0 得 C 练习与思考 3 两圆 x 1 2 y 2 2 1和 x 3 2 y 1 2 4的位置关系是 A 相离 B 外切 C 相交 D 内切 C C 4 在坐标平面上与点A 1 2 的距离为1且与点B 3 1 的距离为2的直线共有 条 2 5 若方程有解 则b的取值范围是 6 过点P 2 3 作圆C x 4 2 y 3 2 9的两条切线 切点分别为A B 求 1 经过圆心C 切点A B这三点的圆的方程 2 直线AB的方程 3 线段AB的长 解题回顾 1 要求过一定点的圆的切线方程 首先必须判断这点是否在圆上 若在圆上 则该点为切点 若在圆外 一般用 圆心到切线的距离等于半径长 来解题较为简单 切线应有两条 若求出的斜率只有一个 应找出过这一点而与x轴垂直的另一条切线 2 求圆的切线方程和与圆有关的轨迹 最值等问题时 应首先考虑圆的个性 圆的几何性质 利用其几何性质解题往往能避繁就简 但也应学会其通法通则 如把题中的圆改为其它圆锥曲线时 则只能用通法通则来解了 因此我们解题时应多归纳总结 这样才能事半功倍 3 求直线与圆锥曲线相交的有关问题时 应特别注意必须在的情况下进行 思考 已知圆C的方程为x2 y2 25 1 若AB为过点P0 1 2 且倾斜角为的弦求AB长 2 若弦AB被P0 1 2 平分 求直线AB的方程 5 若点P x y 在圆C上 求3x 4y的最值 4 若点P x y 在圆C上 求点P到直线3x 4y 30的最值 3 证明不论k为何值 直线kx y k 2 0与圆总有两个不同的交点 求当k取什么值时 直线被圆截得的弦最短 并求这最短弦的长 9 过圆C外一点P