高考数学（理科）一轮复习圆的方程学案（附答案）.doc

高考数学（理科）一轮复习圆的方程学案（附答案） 学案49 圆的方程导学目标： 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想自主梳理 1圆的定义在平面内，到_的距离等于_的点的_叫圆2确定一个圆最基本的要素是_和_3圆的标准方程(xa)2(yb)2r2 (r 0)，其中_为圆心，_为半径4圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是_，其中圆心为_，半径r_.5确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)_；(2)_；(3)_6点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2_r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2_r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2_r2.自我检测 1方程x2y24mx2y5m0表示圆的条件是( )A.14 m 1 Bm 1Cm 14 Dm 14或m 12(2011 南平调研)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)213点P(2，1)为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )Axy30 B2xy30Cxy10 D2xy504已知点(0,0)在圆：x2y2axay2a2a10外，则a的取值范围是_5(2011 安庆月考)过圆x2y24外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则APB的外接圆方程为_探究点一 求圆的方程例1 求经过点A(2，4)，且与直线l：x3y260相切于点B(8,6)的圆的方程 变式迁移1 根据下列条件，求圆的方程(1)与圆O：x2y24相外切于点P(1，3)，且半径为4的圆的方程；(2)圆心在原点且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程 探究点二 圆的几何性质的应用例2 (2011 滁州模拟)已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P，Q两点，且OPOQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径 变式迁移2 如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y3x分别相切于C、D两点(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度 探究点三 与圆有关的最值问题例3 已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值 变式迁移3 如果实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求yx的最大值与最小值1求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度2点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系d r时，点在圆内；dr时，点在圆上；d r时，点在圆外3本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011 重庆)在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A52 B102C152 D2022(2011 合肥期末)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是( )Aa 2或a 23 B23 a 0C2 a 0 D2 a 233圆x2y22x4y10关于直线2axby20 (a、bR)对称，则ab的取值范围是( )A.，14 B.0，14C.14，0 D.，144已知点P(2,1)在圆C：x2y2ax2yb0上，点P关于直线xy10的对称点也在圆C上，则实数a，b的值为( )Aa3，b3 Ba0，b3Ca1，b1 Da2，b15(2011 三明模拟)已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是( )A32 B32C322 D.322二、填空题(每小题4分，共12分)6(2010 天津)已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_7圆心在直线2x3y10上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3，0)两点，则圆的方程为_8设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a_.三、解答题(共38分)9(12分)根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心C在直线3x10y90上；(2)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.10(12分)(2011 舟山模拟)已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上(1)求xy的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y22x4y5的最大值和最小值11(14分)如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度|AB|20米，拱高|OP|4米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01米)(82528.72) 学案49 圆的方程自主梳理1定点 定长 集合 2.圆心 半径 3.(a，b) r4D2E24F 0 D2，E2 D2E24F25(1)根据题意，选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组 (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程 6.(1) (2) (3) 自我检测1D 2.A 3.A4(173，1)(12，173)5(x2)2(y1)25课堂活动区例1 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式解 方法一 设圆心为C，所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心CD2，E2.kCB6E28D2.由kCB kl1，6E28D2 131.又有(2)2(4)22D4EF0，又82628D6EF0.解，可得D11，E3，F30.所求圆的方程为x2y211x3y300.方法二 设圆的圆心为C，则CBl，从而可得CB所在直线的方程为y63(x8)，即3xy180.由A(2，4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)又kAB64821，AB的垂直平分线的方程为y1(x3)，即xy40.由联立后，解得x112，y32.即圆心坐标为112，32.所求圆的半径r1128232621252.所求圆的方程为x1122y3221252.变式迁移1 解 (1)设所求圆的圆心Q的坐标为(a，b)，圆Q的方程为(xa)2(yb)242，又OQ6，联立方程 0a 2 0b 262 1a 2 3b 216，解得a3，b33，所以所求圆的方程为(x3)2(y33)216.(2)如图，因为圆周被直线3x4y150分成12两部分，所以AOB120，而圆心(0,0)到直线3x4y150的距离d1532423，在AOB中，可求得OA6.所以所求圆的方程为x2y236.例2 解题导引 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算(2)本题利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值解 方法一 将x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：y1y24，y1y212m5.OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.96(y1y2)5y1y20，964512m50，m3，此时13634 0，圆心坐标为12，3，半径r52.方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，kO1M2.又圆心坐标为12，3，O1M的方程为y32x12，即y2x4.由方程组y2x4，x2y30，解得M的坐标为(1,2)则以PQ为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上(01)2(02)2r2，即r25，MQ2r2.在RtO1MQ中，O1M2MQ2O1Q2.1212(32)251 6 24m4.m3.半径为52，圆心为12，3.变式迁移2 解 (1)M的坐标为(3，1)，M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程为(x3)2(y1)21.设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM，则MAx轴，NCx轴，由题意知：M，N点都在COD的平分线上，O，M，N三点共线由RtOAMRtOCN可知，|OM|ON|MA|NC|，即23r1r r3，则OC33，则圆N的方程为(x33)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y33(x3)，即x3y30，圆心N到该直线的距离d32，则弦长为2r2d233.例3 解题导引 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题解 (1)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|20b|23，解得b26.所以yx的最大值为26，最小值为26.(2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为 20 2 00 22，所以x2y2的最大值是(23)2743，x2y2的最小值是(23)2743.变式迁移3 解 设P(x，y)，则P点的轨迹就是已知圆C：(x3)2(y3)26.而yx的几何意义就是直线OP的斜率，设yxk，则直线OP的方程为ykx.当直线OP与圆相切时，斜率取最值因为点C到直线ykx的距离d|3k3|k21，所以当|3k3|k216，即k322时，直线OP与圆相切即yx的最大值为322，最小值为322.课后练习区1B 圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，由圆的性质可知最长弦|AC|210，最短弦BD恰以E(0,1)为中心，设点F为其圆心，坐标为(1,3)故EF5，BD210 5 225，S四边形ABCD12AC BD102.2D 3.A 4.B 5.A6(x1)2y22 7.(x2)2(y1)22 8.09解 (1)AB的中垂线方程为3x2y150，由3x2y150，3x10y90，解得x7，y3.(3分)圆心为C(7，3)又|CB|65，故所求圆的方程为(x7)2(y3)265.(6分)(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得2D4EF20，3DEF10. (8分)又令y0，得x2DxF0，由|x1x2|6有D24F36.由解得D2，E4，F8或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0.(12分)10解 (1)设txy，则yxt，t可视为直线yxt的纵截距，所以xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2 3 t|21，解得t21或t21，所以xy的最大值为21，最小值为21.(4分)(2)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线方程为ykx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k 3 |1k21，解得k2233或k2233，所以yx的最大值为2233，最小值为2233.(8分)(3)x2y22x4y5，即x 1 2 y2 2，其最值可视为点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又因为圆心到定点(1,2)的距离为34，所以x2y22x4y5的最大值为341，最小值为341.(12分)11解 建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x2y2DxEyF0，由于圆心在y轴上，所以D0