1.3.1正弦定理、余弦定理的应用.docx

基础过关1. 已知锐角ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为_.2.在ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a24Sb2c2，则角A的大小为_.3.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为85，则这个三角形的面积为_.4.如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，如图所示，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为_km.5.在200米高的山顶上，测得山下一建筑物顶端与建筑物底端的俯角分别为30，60，则该建筑物高为_米.6.如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB2，BC6，CDDA4，求四边形ABCD的面积.7.在ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，2c22a2b2.(1)证明：2ccos A2acos Cb；(2)若a1，tan A，求ABC的面积S.1.解析SABCBCCAsin C3，sin C，C(0，90)，C60.答案602.解析4Sb2c2a22bccos A，4bcsin A2bccos A，tan A1，又A(0，180)，A45.答案453.解析设另两边长为8x，5x，则cos 60，解得x2.两边长是16与10，三角形的面积是1610sin 6040.答案404.解析因为A，B，C，D四点共圆，所以BD，由余弦定理得AC25232253cos D3430cos D，AC25282258cos B8980cos B，由cos Bcos D，得，解得AC7.答案75.解析如下图，设AB为山高，D，C分别为建筑物顶端与建筑物底端.在ABC中，由正弦定理，得AC(米).在ACD中，由正弦定理，得CD(米).答案6.解连结BD，如图，则四边形ABCD的面积为SSABDSCDBABADsin ABCCDsin C.AC180，sin Asin C，S(ABADBCCD)sin A(824)sin A16sin A.在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A2242224cos A2016cos A.在CDB中，由余弦定理得BD2CB2CD22CBCDcos C5248cos C.2016cos A5248cos C.cos Ccos A，64cos A32，cos A，又A(0，180)，A120，S16sin 1208.7.(1)证明2c22a2b2，2ccos A2acos C2c2ab.(2)解由(1)和正弦定理以及sin Bsin(AC)得2sin Ccos A2sin Acos Csin Acos Ccos Asin C，即sin Ccos A3sin Acos C，又cos Acos C0，tan C3tan A1，故C45.再由正弦定理及sin A得c，b22(c2a2)8，b2，Sabsin C1.能力提升8.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m. 9.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD，周长为18，则这个平行四边形的面积是_.10.在ABC中，A60，b1，其面积为，则_.11.如图所示，位于某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处，且cos .已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的航速为_海里/小时. 12.如图，在ABC中，AB2，cos C，D是AC上一点，AD2DC，且cosDBC.(1)求BDA的大小； (2)求.13.(选做题)在气象台A的正西方向300 km处有一台风中心，它以40 km/h的速度向东北方向移动，距离台风中心250 km以内的地方都会受其影响，问从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影响，持续多长时间？(取1.414，2.646)8.解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m).答案1009.解析在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos B65，即AB2AD22ABADcos B65，在ABD中，BD2AB2AD22ABADcos A17，又cos Acos B0，得AB2AD241，又ABAD9，AB5，AD4或AB4，AD5.cos A，A，sin A，这个平行四边形的面积S5416.答案1610.解析面积Sbcsin A1c，c4，a2b2c22bccos A124221413，a.答案11.解析因为cos ，045，所以sin，所以cos(45).在ABC中，BC280010022010340，所以BC2.故该货船的航速为4海里/小时.答案412.解(1)由已知cosDBC，cos C，得sinDBC，sin C.cos BDAcos(DBCC)cosDBCcos CsinDBCsin C，BDA.(2)设BCa，DCx(x0)，则AD2x，AC3x.在DBC中，由正弦定理，得，ax.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C，即4(3x)2(x)223xx，x1，|，|2.|cos(C)24.13.解如图，设台风从A的正西方向300 km处沿BE方向移动，AB300 km，ABE45，以A为圆心，以250 km为半径作圆，交BE于C，D两点，则ACAD250 km.设BCx1，BDx2，由余弦定理可知x1，x2都满足方程2