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14.2 矩阵与变换解答题1. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2y21在矩阵A对应的变换下得到曲线F，求F的方程解析 设P(x，y)是椭圆4x2y21上的任意一点，点P(x，y)在矩阵A对应的变换下变为点P(x，y)，则有 ，即所以.又因为点P(x，y)在椭圆4x2y21上，所以4()2y21，即x2y21.故曲线F的方程为x2y21.【点评】线性变换是基本变换，解这类问题关键是由A得到点P(x，y)与点P(x，y)的坐标关系2已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1,2)变成了点A(7,10)，点B(2,0)变成了点B(2,4)，求矩阵M.解析设M，则，即解得所以M.3求圆C：x2y24在矩阵A的变换作用下的曲线方程解析设P(x，y)是圆C：x2y24上的任一点，设P(x，y)是P(x，y)在矩阵A对应变换作用下新曲线上的对应点，则 ，即所以将代入x2y24，得y24，故方程为1.4在平面直角坐标系xOy中，直线l：xy20在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：xy40，求实数a，b的值解析在直线l：xy20上取两点A(2,0)，B(0，2)A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A、B.因为 ，所以点A的坐标为(2，2b)； ，所以点B的坐标为(2a，8)由题意，点A、B在直线m：xy40上，所以解得a2，b3.5求曲线C：xy1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线C1的方程解析设P(x0，y0)为曲线C：xy1上的任意一点，它在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(x，y)由，得解得因为P(x0，y0)在曲线C：xy1上，所以x0y01.所以1，即x2y24.所以所求曲线C1的方程为x2y24.6. 已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为求矩阵的逆矩阵解析 由矩阵属于特征值6的一个特征向量为，可得6，即； 由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得，即， 解得即，逆矩阵是.7在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(2，0)，C(2,1)，设k为非零实数，M，N，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求k的值解析由题设得MN.由， ， ，可知A1(0,0)，B1(0，2)，C1(k，2)计算得ABC的面积是1，A1B1C1的面积是|k|，则由题设知|k|212.所以k的值为2或2.8已知矩阵M，N.在平面直角坐标系中，设直线2xy10在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程解析由题设得MN ，设(x，y)是直线2xy10上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x，y)
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