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14.2 矩阵与变换解答题1. 在平面直角坐标系xOy中,设椭圆4x2y21在矩阵A对应的变换下得到曲线F,求F的方程解析 设P(x,y)是椭圆4x2y21上的任意一点,点P(x,y)在矩阵A对应的变换下变为点P(x,y),则有 ,即所以.又因为点P(x,y)在椭圆4x2y21上,所以4()2y21,即x2y21.故曲线F的方程为x2y21.【点评】线性变换是基本变换,解这类问题关键是由A得到点P(x,y)与点P(x,y)的坐标关系2已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下,点A(1,2)变成了点A(7,10),点B(2,0)变成了点B(2,4),求矩阵M.解析设M,则,即解得所以M.3求圆C:x2y24在矩阵A的变换作用下的曲线方程解析设P(x,y)是圆C:x2y24上的任一点,设P(x,y)是P(x,y)在矩阵A对应变换作用下新曲线上的对应点,则 ,即所以将代入x2y24,得y24,故方程为1.4在平面直角坐标系xOy中,直线l:xy20在矩阵M对应的变换作用下得到直线m:xy40,求实数a,b的值解析在直线l:xy20上取两点A(2,0),B(0,2)A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A、B.因为 ,所以点A的坐标为(2,2b); ,所以点B的坐标为(2a,8)由题意,点A、B在直线m:xy40上,所以解得a2,b3.5求曲线C:xy1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线C1的方程解析设P(x0,y0)为曲线C:xy1上的任意一点,它在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(x,y)由,得解得因为P(x0,y0)在曲线C:xy1上,所以x0y01.所以1,即x2y24.所以所求曲线C1的方程为x2y24.6. 已知矩阵,若矩阵属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量为求矩阵的逆矩阵解析 由矩阵属于特征值6的一个特征向量为,可得6,即; 由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得,即, 解得即,逆矩阵是.7在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(2,0),C(2,1),设k为非零实数,M,N,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1,A1B1C1的面积是ABC面积的2倍,求k的值解析由题设得MN.由, , ,可知A1(0,0),B1(0,2),C1(k,2)计算得ABC的面积是1,A1B1C1的面积是|k|,则由题设知|k|212.所以k的值为2或2.8已知矩阵M,N.在平面直角坐标系中,设直线2xy10在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F,求曲线F的方程解析由题设得MN ,设(x,y)是直线2xy10上任意一点,点(x,y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x,y)
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