高等数学(同济六版)下册期末总复习

高等数学(下册)期末总复习 一、 向量代数与空间解析几何 （一）向量代数 1、 点 (, ,)M xyz向量 (, ,)OM x y z xi yj zk=+JJJJG GG G； 2、 点 向量111 2 22(, ,),(, , )Ax y z Bx y z 212121(, ,AB x x y y z z= )JJJG； 3、 设 (, ,), (,)x yz xyzaaaabbbb=GG，则 (, ,)第 1 页 共 11 页 1x xy yz zab a ba ba b= GG(, ,)；x yzaaaa = G（ 为数）； n|cos(,)x xyyzab a b ab ab ab ab= = + +GGGGG Gz； x yzx yzijkab a a abbb=GGGGG， ； n(| | | | | sin( , ), , )ab ab abab bab a= GG GGGGGG G GGyx zx yzbb babaaa=GG& （对应坐标成比例）； 0ab ab=GGGG； ncos( , )|ababab=GGGGGG； nPrj | | cos( , )abb ab=GGG GG（二）曲面、空间曲线及其方程 1、 曲面及其方程 ，旋转曲面【绕谁不换谁， 正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】 ，柱面【 柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面 】 ，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】 ； 要熟悉常见的曲面及其方程并会作图 :(,)0Fxyz=2、 空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程； 3、 曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投 xOy 便消去 ，其余类似 z4、 会作简单立体图形 （三）平面方程与直线方程： 1、平面方程： 1）一般方程： ，其中 为其一法向量 0Ax By Cz D+= (, )nABC=G2）点法式方程：法向量 ，点(, )nABC=G000(, ,)Mx y z ，则000()()()Ax x By y Cz z 0 += 3）截距式方程： 1xyzabc+= 4）平面束方程：过直线 的平面束方程为 11 1 122 2 200Ax By Cz DAx By Cz D+=+=第 2 页 共 11 页 2)011 1 1 2 2 2 2()(Ax By Cz D Ax By Cz D+ += 2、直线方程： 1）对称式方程（点向式方程）：方向向量 ，点(,)smnp=G0000(, ,)M xyz L ，则000x xyyzzmnp = 2）参数式方程：000x xmty yntzz pt=+=+=+； 3 ）一般式方程：11 1 122 2 200Ax By Cz DAx By Cz D+ +=+ +=3、面面、线线、线面关系：确定了相应的法向量或方向向量之后，其夹角便转化为向量之间的夹角 1)面面：n 12 12 12 12122222 212111 2| | |cos | cos( , ) |n n AA BB CCnnnnABCABC+=+ +GGGGGG； 1212 12121200n n AA BB CC = + + =GG； 1112 1222/ /ABCnnABC =GG（或重合）122)线线：n 12 12 12 121222 2 2 21211 1 2 2 2| | |cos | cos( , ) |ss mm nn ppssssmnpmn p+=+ +GGGGGG2； 12 12 12121200LL ss mmnnpp= + + =GG； 1112 1222/ /mnpLL ssmnp=GG（或重合）123)线面：m22222| | |sin | cos( , ) |s n Am Bn CpsnsnABCmnp+=+ +GGGGGG2； ABCLsnmnp = =GG& ； ()L L s n Am Bn Cp+GG& 或在 上 0= 4、距离 点面：000222|Ax By Cz DdABC+=+点线：0|M Msds=JJJJJJGGG，其中 为直线的方向向量， sGM 为直线上任意一点 二、 多元函数的微分学及其应用 （一） 极限（求法与一元函数的类似，洛必达法则除外）： 002200(,)(,)lim ( , ) 0, 0, ( - ) ( ) ( , ) -xy x yfxy A xx y y fxy A = +当0 + 当 有极值， 极小， 0A 0A ） ：当 1p 时收敛，当 1p 时发散； 等比级数（几何级数）0nnaq=，当 |1q 时发散，当 |1q 【大的收，小的也收；小的发，大的也发】 ； 2）极限形式： lim (0 )nnnullv=+时发散；而当 1 = 时用此法不能判定其收敛性 5、 交错级数1( 1) ( 0, 1, 2, )nnnnuu n= ： nu 单调减少趋于零 6、 一般项级数1nnu=（nu 为任意常数） ：发散或收敛（绝对收敛，条件收敛） （二） 幂级数0nnnax=或00()nnnaxx=： 1、收敛半径： 1）若 0na 【不缺项】 ：1lim (lim | |)nnnnnnaaa+ = ，,0,1/ , 0 ,0, ;R+ = = 】 （三） 傅里叶级数 ：只复习 2T = 情形，一般周期 2Tl= 类似 1、 系数 ：1( ) cos ( 0,1, 2, )1()sin ( 1,2, )nnafxnxdnbfxxdn=2、 收敛性 ： 条件为 在一个周期内 1）处处连续或只有有限个第一类间断点； 2）只有有限个极值点 3、 和 ： 01(cos sin)2nnnaanxb x=+() ()() ()()2fx x fxfx fxxfx+=+为 的连续点为 的间断点4、 傅里叶级数展开式 ：01() ( cos sin )2nnnaf xanxbx=+ +， ()x C 其中() ()| () 2f xfxCxfx+= 5、 函数展开成傅里叶级数 ： 1）若 ()f x 为 2T = 的周期函数，则对 ()f x 验证收敛定理的条件，求出 ()f x 的间断点，利用收敛定理，写出 ()f x的傅氏级数的收敛性，再求出傅氏系数，最后写出所求的傅氏级数展开式注意：必须写出展开式成立的范围，在展开式不成立的点（必为间断点）必须指明傅氏级数的收敛性 2）若 ()f x 只在 , 上有定义，则必须对 ()f x 进行周期延拓，然后对周期延拓后所得的函数 ()Fx的傅氏级数展开式限制在 , 上讨论 3）若 ()f x 只在 0, 上有定义，对 ()f x 进行奇（偶）延拓再周期延拓，可得正弦（余弦）级数 注意：间断点或连续点的判定，必须为周期函数的！ 第 11 页 共 11 页 11五、 微分方程续 （一） 全微分方程 ： (, ) (, ) 0QPPxydx Qxydyx y += ， （ 1）曲线积分法； （ 2）偏积分法；参见前文 （二） 线性微分方程的解的结构 ： 1） 齐次 ： () () 0yPxyQxy +=， 通解 ：11 2 2() ()y Cy x Cy x=+，其中12(), ()y xyx为该方程线性无关的两个解 2） 非齐次 ： () () ()y Pxy Qxy f x += 通解： () *()y Yx y x=+ ，其中 ()Yx为对应的齐次方程的通解， *( )y x 为原方程的一个特解 3）设12*( ), *( )y xy x分别为1() () ()y Pxy Qxy f x += 与2() () ()y Pxy Qxy f x +=的特解，则12*()*()y yxyx= + 为12() () () ()y Pxy Qxy f x f x += 的特解 （三） 常系数线性微分方程 ： 1、 齐次 ： 0ypyqy +=，其中 ,p q都为常数 1）特征方程20rprq+=12,?rr= 2）通解：1211212 12,()(cos sin )rx rxrxxCe Ce r ryCCxe rreC xC xr i +=+ =+=2、 非齐次 ： ()y py qy f x += ，其中 ,p q都为常数 1） 先求出对应的齐次方程 0ypyqy +=的通解： ()YYx=