2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行垂直问题讲义新人教A版选修2.doc

3.2.2利用向量解决平行、垂直问题1用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmababa1a2，b1b2，c1c2(R)(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则lauau0a1a2b1b2c1c20.(3)证明面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uvuva1a2，b1b2，c1c2(R)由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可2用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2(a2，b2，c2)，则l1l2u1u2u1u20a1a2b1b2c1c20.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则luvuv(R)a1a2，b1b2，c1c2(R)(3)证明面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则uvuv0a1a2b1b2c1c20.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交()(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.()(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l1的方向向量为u1(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，1,2)，则两直线的位置关系是_(2)若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则直线l与平面的位置关系为_(3)已知两平面，的法向量分别为u1(1,0,1)，u2(0,2,0)，则平面，的位置关系为_(4)若平面，的法向量分别为(1,2,4)，(x，1，2)，并且，则x的值为_答案(1)垂直(2)垂直(3)垂直(4)10探究1利用空间向量解决平行问题例1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明(1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0，0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明【跟踪训练1】在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点求证：PQRS.证明证法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，(3,2,1)，(3,2,1)，即PQRS.证法二：，即RSPQ.探究2利用空间向量解决垂直问题例2如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2，BCE120.求证：平面ADE平面ABE.证明取BE的中点O，连接OC，则OCEB， 又AB平面BCE.以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.如图所示则由已知条件有C(1，0,0)，B(0，0)，E(0，0)，D(1,0,1)，A(0，2)设平面ADE的法向量为n(a，b，c)，则n(a，b，c)(0,2，2)2b2c0，n(a，b，c)(1，1)abc0.令b1，则a0，c，n(0,1，)AB平面BCE，ABOC，又OCEB，且EBABB，OC平面ABE，平面ABE的法向量可取为m(1,0,0)nm(0,1，)(1,0,0)0，nm，平面ADE平面ABE.拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点求证：EF平面B1AC.证明证法一：设a，c，b，则()()()(abc)，ab.(abc)(ab)(b2a2cacb)(|b|2|a|200)0.，即EFAB1，同理，EFB1C.又AB1B1CB1，EF平面B1AC.证法二：设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)(1,1,2)(2,2,1)(1，1,1)(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)，(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)，(1，1,1)(0,2,2)(1)0(1)2120.(1，1,1)(2,2,0)2200，EFAB1，EFAC.又AB1ACA，EF平面B1AC.证法三：同法二得(0,2,2)，(2,2,0)，(1，1,1)设面B1AC的法向量n(x，y，z)，则1n0，n0，即取x1，则y1，z1，n(1,1，1)，n，n，EF平面B1AC.探究3与平行、垂直有关的探索性问题例3如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得平面AMC平面BMC？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由解(1)证明：如图，以O为原点，以射线OD为y轴的正半轴，射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)，(0,3,4)，(8,0,0)，由此可得0，所以，即APBC.(2)假设存在满足题意的M，设，1，则(0，3，4)(4，2,4)(0，3，4)(4，23，44)，(4,5,0)设平面BMC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)由得即可取n1.由即得可取n2(5,4，3)，由n1n20，得430，解得，故，所以AM3.综上所述，存在点M符合题意，AM3.拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在【跟踪训练3】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)求证：BC1平面AB1C；(2)在AB上是否存在点D，使得AC1平面CDB1.解(1)证明：由已知AC3，BC4，AB5，因而ABC是ACB为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC1平面ABC，以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从而(3,0,0)，(0，4,4)，则(0，4,4)(3,0,0)0，则，所以BC1AC.又四边形BCC1B1为正方形，因而BC1B1C.又B1CACC，BC1平面AB1C.(2)假设存在点D(x，y,0)，使得AC1平面CDB1，(x，y,0)，(0,4,4)，设平面CDB1的法向量m(a，b，c)，则即令bx，则cx，ay，所以m(y，x，x)，而(3,0,4)，则m0，得3y4x0.由D在AB上，A(3,0,0)，B(0,4,0)得，即得4x3y12，联立可得x，y2，D，即D为AB的中点综上，在AB上存在点D，使得AC1平面CDB1，点D为AB的中点1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：建立空间直角坐标系；将直线的方向向量用坐标表示；将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：建立空间直角坐标系；将直线的方向向量用坐标表示；求平面的法向量；说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1已知线段AB的两端点坐标为A(9，3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()AxOy平行 BxOz平行CyOz平行 DyOz相交答案C解析因为(9,2,1)(9，3,4)(0,5，3)，所以AB平面yOz.2若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则()ABC，相交但不垂直D以上均不正确答案A解析v3u，.3已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()A3 B6 C9 D9答案C解析l，v与平面平行，uv，即uv0，1332z10，z9.4在三棱锥PABC中，CP，CA，CB两两垂直，ACCB1，PC2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB的法向量的是()A.B(1，1)C(1,1,1)D(2，2,1)答案A解析(1,0，2)，(1,1,0)，设平面PAB的一个法向量为n(x，y,1)，则x20，即x2；xy0，即yx2.所