线段和差最值问题.doc

专题一.线段和（差）的最值问题【知识依据】1 线段公理两点之间，线段最短；2 对称的性质关于一条直线对称的两个图形全等；对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3 三角形两边之和大于第三边；4 三角形两边之差小于第三边；5、 垂直线段最短。一、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使最小；（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A 是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使最小。（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形周长最短.变式二：已知点A位于直线 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点周长最短.二、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动： 点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动：点B在O上运动，在直线m上找一点P，使最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：过A点作m,且长等于长，连接,交直线m于向左移动长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1、在一条直线m上，求一点P，使与的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：（2）点A、B在直线m异侧：过B作关于直线m的对称点B,连接交点直线m于P,此时，最大值为专题精讲最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型 典型例题剖析一归入“两点之间的连线中，线段最短”“饮马”几何模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使的值最小模型应用：1如图，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点则的最小值是 2如图，O的半径为2，点A、B、C在O上，60，P是上一动点，则的最小值是 3如图，在锐角中，42，45，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 第1题 第2题 第3题 第4题4如图，在直角梯形中，90，4，5，6，点P是上一个动点，当的和最小时，的长为5如图，等腰梯形中，1，60，P是上底，下底中点直线上的一点，则的最小值为 第5题 第6题 第7题6如图，是半径为1的O的直径，点A在O上，30，B为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 7已知A(2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若长度最小，则最小值为 若长度最大，则最大值为 8已知：如图所示，抛物线yx2c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)（1）求抛物线的解析式；（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由台球两次碰壁模型已知点A位于直线m，n 的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使周长最短.变式：已知点A、B位于直线m，n 的内侧，在直线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形周长最短.模型应用：1如图，45，P是内一点，10，Q、R分别是、上的动点，求周长的最小值2如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，3），B(4，1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形的周长最短？若存在，请求出m，n （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由中考赏析：1著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，50、B到直线X的距离分别为10和40，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值2如图，抛物线yx2x3和y轴的交点为A，M为的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得的值最小(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：模型应用：1. 如图，抛物线yx 2xError! No bookmark name given.2的顶点为A，与y 轴交于点B(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：；(3)当最大时，求点P的坐标.2. 如图，已知直线yx1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx 2c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标yxCBADOEy 3. 如图，直线yx2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，A经过点B和点O，直线交A于点D（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段与之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标若不存在，请说明理由4. 已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，3，2，取的中点M，连接，把沿x轴的负方向平移的长度后得到（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作x轴于点Q，连接若以O、P、Q为顶点的三角形与相似，试求出点P的坐标；（3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得的值最大？若存在，则求出点T点的坐标；若不存在，则说明理由1 归入“三角形两边之差小于第三边”1. 直线24=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是 .2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶试确定下列情况下汽车（点P）的位置：（1）求直线的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形内的一点，求的最小值例题：如图，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60得到，连接、（1）求证：；（2）当M点在何处时，的值最小；当M