2013年高考数学试题(4)数列.doc

2013年全国高考数学试题分类解析数列部分1.(安徽理科第18题，文科第21题）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构 成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.解：（1）设这个实数组成的数列为，则，由等比数列的性质有，而这个数构成递增的等比数列，（2） 由可得：，所以所以2(安徽文科第7题）若数列的通项公式是,则（A） 15 (B) 12 (C ) (D) （7）A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题.【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：，故.故选A.3.（北京理科第11题）在等比数列中，则公比_；_。解：可求得，4.（北京理科第20题）若数列满足，数列为数列，记=.（1）写出一个满足，且的数列；（2）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（3）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。解；（1）可以用树图结构写出满足条件的数列，答案不唯一，如：等都是符合条件的数列。（2） 必要性：因为E数列是递增数列，所以，故是首项为12，公差为1的等差数列，充分性：由已知条件得：以上各式相加得：，又=2011，故以上各等号同时成立。故，从而数列为递增数列。（3） 令，以上各式相加得： ，因为，为偶数，为偶数=0则必须为偶数，即是4的倍数，或当时，数列满足条件，当时，数列满足条件，当时，满足条件的数列不存在。5.（北京文科12）在等比数列中，若则公比 ； . 答案：6.（北京文科20）若数列满足 ，则称为数列。记。（1）写出一个数列满足；（2）若，证明：数列是递增数列的充要条件是；（3）在的数列中，求使得成立的的最小值。 解：（1）0,1,0,1,0；0，-1,0,1,0等，答案不唯一。（2） 必要性：因为E数列是递增数列，所以，故是首项为12，公差为1的等差数列，充分性：由已知条件得：以上各式相加得：，又=2011，故以上各等号同时成立。故，从而数列为递增数列。（3） ，其中，因此对的数列中使得的而数列符合题意，故的最小值为9.7.（福建文科17）已知等差数列中，（I）求数列的通项公式；（II）若数列的前k项和，求k的值.解：（1）；（2）。8.（广东11）等差数列前9项的和等于前4项的和若，则 方法1：由得，求得，则，解得方法2：由得，即，即，即9.（广东文科11）已知是递增等比数列，,则此数列的公比 解：，即，又数列为递增数列，（舍）10.（湖北理科13）九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.【答案】解析：设该数列的首项为，公差为，依题意，即，解得，则，所以应该填.11.（湖北理科19）已知数列的前项和为，且满足：， N*，.（）求数列的通项公式； （）若存在，使得，成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论.解：（1）由已知可得：，两式相减可得：即，又，所以当时，数列为，当时，由已知，成等比数列时，数列的通项公式为（2） 对于任意的，且，成等差数列，证明如下： 由(1)知，当时，数列为，结论显然成立，当时， ，由，成等差数列知， ，化简得：，即 而，此时时， ， 即成等差数列。12.（湖北文科9）九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 A.1升 B.升 C.升 D.升答案：B13.（湖北文科17）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、。(I) 求数列的通项公式；(II) 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。解：（1）设成等差数列的三个数分别是，依题意得，解得，则数列的分别是，它们成等比数列，则，化简得：，解得：或，数列为正数数列，的分别是，公比为（2） 数列是以为首项，为公比的等比数列，其前项和为，所以数列是等比数列。14.（湖南理科12）设是等差数列的前项和，且，则答案：25解析：由可得，所以。15.（湖南文科20）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%（I）求第n年初M的价值的表达式；（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 因此，第年初，M的价值的表达式为。(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对M更新16.（江西理科5）已知数列的前项和满足:,且,那么 ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55答案：A 解析： 令，则，是等差数列，则有，17.（江西理科18）已知两个等比数列，满足.（1） 若=1，求数列的通项公式；（2） 若数列唯一，求的值.解：（1）当时，又为等比数列，不妨设公比为，由等比数列性质知： ，同时又有所以：（2） 要唯一，当公比时，由 且，(*) ，恒成立，此时(*)式有两个不同的实数解，若要使（*）式符合条件的解只有一个，则方程必有一个根为零，当公比时，。等比数列首项为，此时。综上：。18.（四川理科8）数列的首项为，为等差数列且 .若则，则 （A）0 （B）3 （C）8 （D）11答案：B解析：为等差数列，设公差为，则， 19.（四川理科20）设为非零实数，(1)写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设，求数列的前项和解析：（1） 当时，其中，将上式代入中得：，当时，上式对也成立，且，此时，数列是以为首项，为公比的等比数列；当时，时，不是等比数列。 （2）当时，当时，此时数列的前项和。当时， 式乘以得: 式得： ，综合以上两种情况可得： 。20.（四川文科9）数列的前项和为，若，（），则 （A） （B）（C）（D）答案：A解析：由，得（），相减得=3= 3，则（n2），而，则，选A21.（四川文科20）已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和（1）当、成等差数列时，求q的值；（2）当、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、也成等差数列本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力解：（1）由已知，因此， 当、成等差数列时，可得 解得（2）若，则的每项，此时、显然成等差数列若，由、成等差数列可得，即整理得因此，所以，、也成等差数列22.（江西文科5）.设为等差数列，公差，为其前项和.若，则=（ ） A.18 B.20 C.22 D.24答案：B 解析： ,则，23（江西文科21）(本小题满分14分） （1）已知两个等比数列，满足， 若数列唯一，求的值； （2）是否存在两个等比数列，使得成公差为 的等差数列？若存在，求 的通项公式；若存在，说明理由解：（1）是等比数列，设公比为，时，由 且， ，又，若数列唯一，则方程必有一根为，此时可推得。（2） 假设存在这样的等比数列的公比分别为，则 第一式乘以减去第二式：整理得，又或当时，由以上一式得：或，此时是常数列，公差为；当时，代入一式得：或，此时 不符合题意，所以不存在两个等比数列，使得成公差不为的等差数列。24.（浙江理科19）已知公差不为0的等差数列的首项为(),设数列的前项和为，且，成等比数列。（1）求数列的通项公式及（2）记，当时，试比较与的大小.解：（1）设数列的公差为，则由已知，成等比数列，所以，化简得：而，所以，。（2） 由（1）知，则 ， ， 当时， 所以，故当时，当时，。25（浙江文科17）若数列中的最大项是第项，则=_。【答案】4 【解析】设最大项为第项，则有，.26（浙江文科19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项且成等比数列。（）求数列的通项公式；（）对，试比较与的大小。解：（1）设数列的公差为，则由已知，成等比数列，所以，化简得：而，所以，（2） 由，则 ， (1)当时，; (2)当时，26（山东理20）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.（）=当为偶数时，当为奇数时，27（山东文20）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足： ，求数列的前项和.【解析】（）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.（）因为= 所以=2+=28（辽宁理17）已知等差数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。 解：（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得：，解得故数列的通项公式为；（2） 设数列的前项和为，即，故，所以当时，两式相减有： ，又所以 所以29（辽宁文5）若等比数列满足，则公比为（A）2 （B）4 （C）8 （D）16答案：B30（辽宁文15）Sn为等差数列的前项和，则_。答案：31（天津理4）已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为A B C90 D110答案:D32（天津理20）（本小题满分14分）已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（III）设证明：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分. （I）解：由可得又（II）证明：对任意，得将代入，可得，即又因此是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意， 33（天津文11）已知为等差数列，为其前项和，若则的值为_答案：11034（天津文20）已知数列满足 （）求的值； （）设，证明是等比数列； （）设为的前项和，证明本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。 （）解：由，可得又，当当 （）证明：对任意 -，得所以是等比数列。 （）证明：，由（）知，当时，故对任意由得因此，于是，故对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意 35（全国大纲理4、文6）设为等差数列的前项和，若，公差，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一，解得.解法二: ，解得.36（全国大纲20）设数列满足且. （1）求的通项公式； (2)设.【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明，考查考生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)由题设,即是公差为1的等差数列. 又,故.所以 (2) 由()得 ,12分【点评】2011年高考数学全国卷将数列题由去年的第18题后移,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.37（全国大纲文17）设等比数列的前项和为.已知求和.【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于和公比的方程，求出a1和，然后利用等比数列的通项公式及前项和公式求解即可。【解析】设的公比为,由题设得 3分解得或， 6分当时，；当时， 10分38（全国课标理17）等比数列的各项均为正数，且(I)求数列的通项公式.(II)设 求数列的前项和.【解析】（）设数列的公比为，由得所以.由条件可知,故.由得，所以.故数列的通项式为.（）故所以数列的前n项和为.39（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题【解】（方法一）设树苗放在第个树坑旁边（如图）， 1 2 19 20那么各个树坑到第i个树坑距离的和是，所以当或时，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是，所以路程总和最小为2000米.【答案】2000如图，从点P1（0，0）作轴的垂线交40（陕西理、文19）曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：；，记点的坐标为（）（1）试求与的关系（）；（2）求【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标；（2）尝试求出通项的表达式，然后再求和【解】（1）设点的坐标是，在点处的切线方程是，令，则（）（2），于是有，即41（陕西文10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ） （A）和 （B）和 (C) 和 (D) 和【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论【解】选D （方法一）选项具体分析结论A和(20) ：比较各个路程和可知D符合题意B(9)：(10)：=2000C(11)：=2000D(10)和(11)：路程和都是2000（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是，所以路程总和最小为2000米.42（全国课标文17）等比数列的各项均为正数，且(I)求数列的通项公式.(II)设 求数列的通项公式.【解析】（）设数列的公比为，由得,所以.由条件可知,故.由得，所以.故数列的通项式为.（）43（上海理18）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的面积（），则为等比数列的充要条件是（ ）（A）是等比数列 （B）或是等比数列（C）和均是等比数列（D）和均是等比数列，且公比相同【答案】D【解析】，若为等比数列，则定值，即数列的奇数项和偶数项分别为等比数列，且奇数项的公比和偶数项的公比相同44（上海理23）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列 求； 求证：在数列中但不在数列中的项恰为； 求数列的通项公式【解析】 ；证明:数列由、的项构成，只需讨论数列的项是否为数列的项对于任意是的项.7分下面用反证法证明：不是的项假设是的项，设，则，与矛盾结论得证分 分所以，综上， 分45（上海文23）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数