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学科知识是提升教学水平不可或缺的基础上海市静安区教育学院 曹培英一、教师专业知识的分类对于教师知识的研究始于上世纪70年代，它是认知心理学应用于教师研究的一种表现。为了搞清教师专业知识的构成，一项基础性工作就是分类。不同的研究者基于各自的研究角度与研究方式，对教师的专业知识作出了不同的分类。1.国内的一种分类国内较早给出的分类，侧重知识来源及其功能，将教师的知识归结为本体性知识、条件性知识和实践性知识 林崇德，申继亮，辛涛.教师素质的构成及其培养途径J.中国教育学刊，1996,(6).三个方面。 这一分类，比较简明，界定比较清晰，因此影响较大。此外，教师自然还必须具备“一般文化知识”，但可以不纳入“专业知识”范畴。所谓本体性知识，是指教师所教学科的知识。小学数学教师的本体性知识就是数学知识。条件性知识即教育理论知识，主要指教育学与心理学知识。如果将学科教学法看作教育学的分支，则条件性知识也包括学科教学法。实践性知识主要指教师面对具体教学内容与情境，根据实际情况作出分析、判断、决策并采取相应教学行为的知识。它是教师教学案例、教学经验、实践智慧的积累。如果说本体性知识与条件性知识，主要通过“书中学”获得，那么实践性知识，主要通过“做中学”获得。2.国外的一种分类国外的分类，影响大的当推美国著名教育家舒尔曼教授的分类。他认为有效的教师的专业知识由七部分组成，分别是：学科知识，一般教学知识，课程知识，学科教学知识，学习者及其特点的知识，教育情境知识，关于教育的目标、目的和价值以及它们的哲学和历史背景的知识。 Shulman L. Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harvard Educational Review, 1987. 57(1) 1-22.学科知识、学生知识课程、教学评价、背景等评价、PCK图1显然，“学科知识”相当于本体性知识。从本体性知识（subject-involved knowledge）、条件性知识（conditional knowledge ）和实践性知识（practical knowledge ）对应的英语看，很可能也是从国外引进的。比较而言，学科知识更为通俗，涵义不讲自明，再者，subject-involved knowledge译作“学科知识”也未尝不可。所以本文以下一概用它替代本体性知识。至于舒尔曼分类中的其他六类知识，有些可以归入条件性知识，有些则难以对应。好在有一非常直观的图示（教师专业知识结构的金字塔模型，如图1），可以帮助我们理解各类知识之间的关系。这一分类的重要意义在于，提出了“学科教学知识”（pedagogical content knowledge，缩写为PCK）的概念。从理论上看，早在上世纪初期，杜威就指出，科学家的学科知识与教师的学科知识是不一样的。不一样在哪里呢？杜威只是描述：教师必须把学科知识“心理学化”，以便学生能理解。舒尔曼进了一步，提炼出了教师特有的一类知识，与科学家的学科知识具有本质区别的知识，也是最能反映有经验教师与新手教师区别的知识，即学科教学知识。就实践而言，学科教学知识是教师个人拥有的学科知识、教育理论知识与教学经验的特殊整合，是与具体教学内容融合在一起的知识。强调它是教师知识的精华、“最有用的知识”，对于我们走出教师培训的误区，实实在在地促进教师的专业发展，具有重要意义。例如，多数通识培训，之所以效果不佳，究其原因，主要是脱离教学内容，且游离学科教学的实际。舒尔曼引入PCK概念的初衷，就是为了提醒人们注意摆脱这类“缺失的范式” 。与之相反，那些以课例为载体的培训，那些针对学科教学具体问题的专题研讨，之所以有实效，原因之一就是因为它能帮助教师生成、发展自己的PCK。回到本文探讨的主题上来。图1所示的“金字塔模型”，非常形象地揭示了支撑教师专业知识的底部，是学科知识与学生知识。离开了这一基础，学科教学知识就成了空中楼阁。二、学科知识迷失的国际视域1.“一叶障目”的量化研究在美国，学科知识迷失，由来已久。谁都知道，学生理解、掌握知识的质量是衡量教学绩效的一个重要指标。这一常识曾经引发不少学者去研究教师个人的学科知识与学生学业成绩的相关性。其中一个相当著名的研究是美国“全国数学教师理事会”（NCTM），于上世纪60年代在“全国数学能力纵向研究（NLSMA，这是一项持续5年，有11万多四至十二年级学生参加的超大型调研）”过程中，测算了教师所学数学课程数量与学生学习的相关系数，结论是教师的学科知识与学生成绩之间几乎不存在统计上的关系。 美D.A.格劳斯主编.数学教与学研究手册C.陈昌平等译.上海：上海教育出版社，1999：222.尽管有评论指出：“可能是不适当的知识测量与相对有限的研究方法隐蔽了原本存在着的教师知识与学生学习之间的相互关系。” 美D.A.格劳斯主编.数学教与学研究手册C.陈昌平等译.上海：上海教育出版社，1999：223.但由于随后进行的同类研究得出了类似的结论，从而在较长的一段时期内，对美国教师的培养目标与方式产生了很大影响，也令关心教育的数学家感到沮丧。2.“拨云见日”的质性研究有意思的是，到了上世纪末，舒尔曼教授的博士生，我国旅美学者马立平女士关于中美数学教师的一项比较研究，从一个侧面，论证了数学教师学科知识不可或缺的作用，给舒尔曼的观点“教师怎样理解学科知识对教学十分重要”，提供了具体的实证。因此，舒尔曼赞誉这项研究“更重要的是理论贡献，而不只是比较”，“它的关于内容的思想蕴涵着深刻的教学法。” 马立平.小学数学的掌握和教学M.李士锜等译.上海：华东师范大学出版社，2011：9.马立平的博士后导师、伯克利加利福尼亚大学的教授，在一封信中生动地描述了该研究的反响：“它是一个轰动性的作品，是我所知道的、受到数学战争 主要指数学家与数学教育家之间的争论。在美国，这种争论由来已久。最近一次爆发是由200多位著名数学家和科学家签署、附议的一封公开信，批评教育部推荐十项数学课程教材所引起的。华尔街日报评论文章的题目就是“数学战争”。两派都关注和赞同的唯一手稿。许多世界级的数学家对这本书表示出了狂喜之情，在数学年会上，许多人为该书奔走相告。这是因为，它声称造成差异的原因是数学内容知识的掌握。” 马立平.小学数学的掌握和教学M.李士锜等译.上海：华东师范大学出版社，2011：11.什么研究能使众多数学家“狂喜”、“奔走相告”？原来，马立平博士的研究，选取了退位减法、多位数乘法、分数除法、周长与面积的关系四个内容，就中美教师对知识的理解，加以比较分析，揭示了教师自身的知识水平对数学教学的影响。值得反思的是，我们对自己曾经的强项不以为然，我们精简了多位数乘法、分数除法的内容，周长与面积的关系更是在绝大多数教材中不见了踪影。上海青浦区的一项研究也声称：“我们发现不论是活动式的教学结构还是接受式的教学结构，学科知识都具有决定性的、奠基性的作用。” 徐章韬，龚建荣.学科知识与学科教学知识在课堂教学中的有机融合J. 教育学报，2007,(6).三、学科知识迷失的案例分析案例1：三角形三边关系三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，本是初中数学的学习内容，现在把它下放到了小学。原来在初中教学，5分钟解决问题，现在小学要用40分钟，还常常效果不佳。比如让学生用三根小棒围三角形，其中的一个难点是当两边之和等于第三边时，由于小棒不够细，经常让学生以为也能围成三角形（如图2）。图2图3一次课堂教学展评活动，各地选送的课，有三节课教学这一内容。其中一节课以其精致的学具设计与课件演示等特点，被公认为“总算突破了难点”。不妨设想一个实验：三角形水池的一个顶点处有一只狗，无论在另外哪个顶点处扔一根肉骨头，狗会跑哪条路去啃呢？可预见的结论：狗只会跑一条边去啃，而不会跑两条边。为什么小狗都有的本能，在我们的课堂上竟成了难点？过去初中教学时，通常是由线段的基本性质（公理）“两点之间，线段最短”直接推出结论。也就是说，三角形是已知的，学生只需看图发现公理的推论。逻辑上，结论只是三角形的必要性。然后再应用结论，选择能围成三角形的三边长度。图4但在小学，几乎清一色地实施反方向探究：怎样的三条线段，才能围成三角形？两相比较：已知三角形发现三边关系（必要性）构造三角形选择三边长度（充分性）原来，小学生是在探究三边关系对于三角形的“充分性”、“构造性”,难度自然就上去了。 本来，为了加大探究学习的挑战性，放着山前大道不走，引领学生山后攀登，无可厚非。问题是当它成为公认的“难点”时，仍然“一条道走到黑”，这就不能不引起反思。有的教材，给出了明显的提示（图4），先看图发现规律，再实验验证规律。但似乎大家都不欣赏这一教学思路，都忘了有多种处理方式可供选择。这里，固然有将课改理念当教条的原因，也不可否认存在学科知识迷失的原因，即忽视了知识间的内在联系，忘了三角形的三边关系是线段公理的直接推论。事实上，只要理解了线段公理，就能直接应用于三角形。案例2：抛硬币实验这个实验，很多老师的教学感受是“想说爱你不容易”，实验能否“成功”（验证等可能性）全凭运气。常常好不容易组织小组实验，统计了全组的试验结果，再全班交流、汇总，得到的却是令人尴尬的结果，全班累计正面朝上次数与总次数一半的差，大于小组的、大于个人的。面对这样的统计数据，怎么让学生相信“抛的次数越多，正面朝上次数越接近一半”的结论呢？好在早有预设，请出已故数学家，看：试验者抛币次数正面朝上次数反面朝上次数费勒1000049795021皮尔逊240001201211988罗曼诺夫斯基806403969940941通常，学生也就信服了。确实，这些数学家的精神令人佩服。但若动笔计算，同样“出乎意料”：罗曼诺夫斯基抛的最多，“误差”却没有缩小，反而最大。有两位细心的数学教师发现了罗曼诺夫斯基“运气”不佳，参加骨干教师培训时希望得到解释：为什么抛8万多次的误差是抛1万次的30倍（算式是（4032039699）（50004979）30）？难道“抛币次数越多，正面朝上的可能性越接近二分之一”这句话错了吗？其中一位老师没学过概率论，另一位只记得有条大数定理叫贝努里大数定律。首先必须指出，这里不应计算绝对误差，而应计算相对误差。不讲大数定律，退回来想：抛两次，一正一反，误差为0；再抛，次数越多，越不可能误差为0，误差忽大忽小很自然。讲大数定理，最基本的贝努里大数定律，它的数学含义是事件发生的频率依概率趋近于事件的概率。简单地说，当时，误差偏大的可能性越来越小。因此，“抛币次数越多，正面朝上的可能性越接近二分之一”只是一种通俗的、大致的说法。两位老师通过培训，知道了古典概型、几何概型、统计概型的含义；知道了古典概型的等可能性是先验的，往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的；知道了随机试验必须在相同条件下进行，全班学生抛的硬币、动作都可能不相同，累加不科学。回校后，大胆地改进了实验教学。共同点是，实验目的不再是验证等可能性；两人都先让学生思考，准备实施的随机实验有哪几种可能结果，各种结果出现的可能性是否相等，然后进行实验。不同的是，实验器具、方式的设计，既有古典概型，又有统计概型。一位老师将抛硬币改为同桌两人互抽扑克牌（红、黑各一张）。每人抽若干次（放回、对方手背身后洗牌、再抽），每次抽后全班举手统计，不但便捷，误差也似乎有所减小。学生通过自己的实验，确实看到了全班统计数一次、一次的累加，抽到红色花样的次数在趋近总次数的一半。学生既体验了随机性，又感悟了偶然性里包含着必然性。另一位老师让学生用一次性纸杯做实验，规定纸杯放手下落的大致高度。通过实验、统计，使学生看到机会不均等的三种情况，出现的可能性有大有小。从中初步体会到有很多随机现象，各种结果出现的可能性不相等，可以通过实验统计，来估计可能性的大小。几位数学家的抛硬币实验仍然介绍，着重点改为：不同数学家、不同时间、地点的相同实验，揭示了随机现象的统计规律。以上两个案例，内容不同，分属图形与几何、统计与概率两个领域，但都反映了学科知识对于提升教学水平的必要性。新一轮课程改革推进到今天，从最初充满激情到产生困惑，再到去除浮燥、回归常识，让我们意识到了仅仅讨论课改的理念性问题是不够的，还必须关注学科领域内的知识性问题。四、学科知识迷失的原因分析近年来，教师的学历水平有了较大幅度的提高，这是不争的事实。然而，学科知识迷失的现象却有增无减。缘由何在？实事求是地说，目前小学数学教师的学科知识主要来源于第一学历。职后的学历教育，真正学数学教育大专、本科的凤毛麟角。长期以来，一种相当普遍的认识是，小学数学那点内容，中等师范的课程足以应对。一些学者的实证研究也支持这样的看法，如申继亮、李琼的研究（2000）结论是：小学数学教师对学科知识的掌握是比较好的。 申继亮，李琼. 从中小学教师的知识状况看师范教育的课程改革J. 课程.教材.教法，2001,(11).问题在于测试的内容，如果用小学生能做的数学题去测，那么任何时候小学数学教师的掌握都是比较好的。因此，有必要对一般教师的学科知识，是否适应当前教学实际需要的真实状况，作更深入的研究。1.外部原因研究表明，从外部看，“有增无减”的两个主要原因都与课改有关。原因之一，本次课改内容更新的力度较大，特别是新增了图形变换与概率统计等内容，从而暴露出小学数学教师学科知识的一些盲点。因为在职前的师范教育数学课程中，有些内容没有讲授或不被重视。原因之二，现在的课堂已经不再是教师准备多少，就讲多少，所能完全掌控的。课改以来课堂上的明显变化，学生质疑问难、节外生枝的现象比过去多得多，于是，教师学科知识迷失的显露，也在同步增长。 曹培英.小学数学教师本体性知识的缺失及其对策研究J.课程.教材.教法，2006，（6）.两个原因，其实都源于职前数学教育的不足。因此，两个原因常常可以在一个案例中同时得到反映。案例3：摩天轮座舱的运动一次，教学平移与旋转当讨论到摩天轮的运动时，大家都认定它在旋转。始料不及，一名学生发言说：我坐过摩天轮，我坐在上面，始终是头朝上、脚朝下，所以我认为人坐在上面是平移，不是旋转。教师的应对是，小组讨论。结果可想而知，众说纷纭，莫衷一是。这一小学生提出的问题“摩天轮在旋转，上面的座舱，在平移，还是旋转”，不仅难倒了小学数学教师，也难倒了中学数学教师。近年来，笔者每次参加职称评审，只要有中学老师教学平移或旋转（上海市的小学数学课程不安排这两个内容），面试答辩题之一就是上述源自小学课堂的问题，至今未有一位教师能够作出令人满意的回答。进一步的问题，为什么说等距变换只有旋转、轴反射和平移三种？哪怕加以提示（能否给出一种分类来说明），也无人能够回答。早在1000多年前的唐代，韩愈就在师说中指出了教师的基本职责：“传道、授业、解惑”。看来这是一个不低的要求，即便是为小学生解惑，教师也要有足够的知识储备。“给学生一杯水，教师要有一桶水”的隐喻并没有过时。为什么数学教师关于平移与旋转的知识储备，并不比学生多多少？因为职前没有学，职后又没有补。顺便提一句，现在的师范教育已由中师升格为本科，但有些师范大学小学教育专业的“大学数学”课程，仍然没有较系统地讲授几何变换。也就是说，教师进修学校还得继续为师范大学补缺漏，不能不承认这是中国的国情。 2. 内部原因从内部看，主要原因除了学历教育阶段由于数学课程内容、学习时间的局限性造成数学素养不足之外，更重要的是教师思维的“童化”，即伴随教师重建儿童心智的努力，而出现的学科知识与学科思维的退化。每位老师都有以下经历与体验：刚踏上讲台，最担心自己的讲解学生听不懂。因此，最希望带教的老教师告诉自己儿童是怎样思维的，同时也最关注老教师怎样用儿童能理解的方式表达教学内容。慢慢地，掌握了教学中常用的儿童语言，也能设身处地想象儿童的思维了。比如，拿到一张试卷，一看就知道自己的学生哪些题会做，哪些题有“陷阱”，哪几个学生会“上当”。这是教师胜任小学教育的必由之路。然而，就在教师“像学生那样看学科”，潜心进入儿童世界，回塑、重建儿童心智的同时，教师的思维也不可避免地受到儿童的影响，一定程度上被儿童所同化。换句话说，“教学相长”也表现为师生间的相互同化。这一教师职业生涯的必然现象，是教师专业发展绕不过的客观规律。小学数学教师在图形与几何以及代数知识的教学中，容易出现纰漏，从表面看似乎是中学数学知识的遗忘，但实质上大多可以归因为“童化”。深入研究表明，在各种“童化”现象中，以学科思维的退化居多。案例4：一道练习题有一根表面积是138平方厘米的长方体木料，相对的两个面是正方形，从中锯下一个最大的正方体后，剩下部分的表面积为98平方厘米。锯下的正方体的表面积是多少平方厘米？这是一道很多教师在使用的拓展练习题，据说多本教辅书籍中有该题，差别只是数据。网上也有不同地区的老师在征询答案。绝大多数教师认为正确解答是：（13898）4660（平方厘米）。图5图7如图5，长方体木料的表面积，比剩下部分的表面积，多了四个正方形的面积，即13898的差是正方体上下、前后四个面面积的和。个别教师认为此题有两解，另一解如图6。因此，要保证只有一解，应将“从中锯下”改为“从一端锯下”。图6事实上，原题还存在其他情况（如图7） 感兴趣的老师可以继续思考：根据原题，还有其他情况吗？各种情况下的答案是什么？你会发现，原来这是一道很有意思的习题。因此，要保证只有唯一解，还应增补说明。如：一根表面积是138平方厘米的长方体木料，有两个相对的面是正方形，正方形的边长小于长方体的长。从木料一端锯下一个最大的正方体，剩下部分的表面积为98平方厘米，求锯下的正方体表面积。为什么教师普遍考虑欠周？主要原因是长期教小学，习惯于一题一解，形成了思维定势。透析诸如此类的案例，职前的不足（特别是数学素养的培养不被重视）与职后“童化”规律的作用，叠加在一起，是小学数学教师学科知识迷失的根本原因。五、学科知识迷失的对策建议1.学习数学，增强自我监控意识最简单的对策，缺什么，补什么。带着问题、针对困惑学，自然容易见效。例如，摩天轮座舱的运动问题。中学物理教材给出的答案是“平动”，数学该怎样回答呢？在数学中，当我们把图形看作点的集合之后，图形的变换就可以通过点的变换来刻画。依据平移的基本特征“图形移动前后每一点与它对应点之间的连线互相平行（或者重合），并且相等”，画出运动过程中任意两个位置上座仓上下部中点的连线（如图8），它们平行并且相等，所以是平移。原来，摩天轮在旋转时，地球引力使得挂在吊钩上的座仓始终保持铅直方向，并使座仓上的每个点都移动相同的距离。 图8 图9进一步追问：座仓是否在旋转呢？依据旋转的基本特征“图形旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，不妨画出座仓下部中点与摩天轮旋转中心的连线（如图9），它们的长不相等，所以不是旋转。然而，这些知识只能保证教师给出正确的答案。课堂上面向全体学生，不宜展开说明，又该怎样应对个别学生的疑问呢？同样可以依据数学的特点：把座仓看成一个点，或不考虑座仓，观察摩天轮的运动，无疑它在旋转。要知道舍去无关属性，抽象出研究对象，恰是数学最本原的研究方法。由于前述“童化”现象的存在，在从备课到上课的整个过程中，还必须唤醒自我监控意识，关注教学的科学性，