13.4 课题学习 最短路径问题.doc

13.4 课题学习 最短路径问题商丘市梁园区谢集二中 郭白云【课的类型】新授课。【教学目标】 1、知识与技能：通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短。2、过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想和方法。3、情感态度与价值观：在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系。【教学重点】运用所学知识解决最短路径问题。【教学难点】选择合理的方法解决问题。【教学方法】讨论法、讲解法。【教学用具】多媒体课件。【教学过程】一、引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”和“建桥问题” 二、探索新知（一）将军饮马问题问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来称为“将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图） 问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ 追问1对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ 追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？ 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C则点C 即为所求 问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短追问1证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？ 追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ （二）建桥问题多媒体出示问题教材第86页例题。思考：1、要保证路径最短，就要使哪些线段的和最小？2、无论点M在什么位置，MN的长度是否发生变化？为什么？学生讨论，教师点评。展示图13.4-9的证明过程。归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问