2013高一级数学竞赛试题.doc

三水中学20122013学年度高一级数学竞赛（决赛）试题1、 选择题 （本大题共6题，每小题5分，共30分，符合条件的选项有且只有一个）yxO1.如图中，给出的函数y=x2+ax+a的图像与x轴只有一个公共点，则a为( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）42.下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递增的函数是（ ）A B C D 3.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D 4.在中，若为锐角，则实数的取值范围是( )A BC D5.函数的图象是（） 6.已知函数满足，则 的值为 ( )A3 B2 C1 D2、 填空题（本大题共6题，每小题8分，共48分）7.已知，则 8. 已知点,点为抛物线的顶点，点为抛物线上任意一点，则的最小值为 9.若任意的，则，就称是“和谐”集合，则在集合的所有非空子集中，“和谐”集合的个数是_个10.已知的三边长分别为3、4、5.则这个三角形内切圆的面积为 11.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，且最大值是2，则的解析式是 12.已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是 三、解答题（本大题共6题，共72分）13.（本题满分10分）已知函数，（1）求函数在内的单调递减区间；（2）若函数在处取到最大值，求的值14.（本题满分10分）如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、，设，其中，求表达式的值. 15.（本题满分13分）已知函数 （1）求的最小正周期和的值域；（2）若为的一个零点，求的值16.（本题满分13分）已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.17.（本题满分13分）已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：1 对任意的，总有；2 ；3 当，且时，有成立，就称为“友谊函数”，请解答下列各题：(1)若为“友谊函数”，求的值；(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且， 求证：.18.（本题满分13分） 已知正实数满足，且，求的最小值 三水中学20122013学年度高一级数学竞赛（决赛）试题答案一、(每题5分，共30分) DCB DAC二、填空题（本大题共6题，每小题8分，共48分）7. 4/5， 8. 7/4 ， 9. 7个10. 11. 12. 三、解答题13. 解：（1）函数在内的单调递减区间为：；5分（注：开区间也给分）（2）由已知得：当时，函数取到最大值2；此时有，解得；6分 故，.7分.8分9分故有=.10分14. 解：如图延长AG交BC与F，G为ABC的中心F为BC的中点，则有 .2分，.4分即.6分D、G、E三点共线 故 3 .10分15.解： .4分5分所以的最小正周期.6分由，得的值域为.7分，由题设知，由，结合知，.8分可得.9分，.12分13分（注:有其他解法只要运算正确也给分）16. 解 （1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故. .2分又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故4分因此，的解析式为. 5分（2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，7分从而，即.10分注意到43是质数，且，所以有解得12分因此函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）13分17.解：（1）取得，又由，得 2分（2）显然在上满足1 ；2 3分若，且，则有 故满足条件1、2、3，所以为友谊函数6分(3)由 3知任给其中，且有，不妨设则必有：所以：9分所以：.依题意必有,下面用反证法证明：假设，则有或10分(1) 若，则，这与矛盾；11分(2) 若，则，这与矛盾；12分 故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有，证毕.