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几何不等式测试题1在ABC中,M为BC边的中点,B=2C,C的平分线交AM于D。证明:MDC45。2设NS是圆O的直径,弦ABNS于M,P为弧上异与N的任一点,PS交AB于R,PM的延长线交圆O于Q,求证:RSMQ。3在ABC中,设A,B,C的平分线交外接圆于P、Q、R。证明:AP+BQ+CRBC+CA+AB。4过ABC内一点O引三边的平行线,DEBC,FGCA,HIAB,点D、E、F、G、I都在ABC的边上,表示六边形DGHEFI的面积,表示ABC的面积。求证:。5求证:ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍。6凸四边形ABCD具有性质:(1)AB=AD+BC,(2)在其内部有点P,P点到CD的距离为h,并使AP=h+AD,BP=h+BC,求证:。7设H为锐角ABC的垂心,A1,B1,C1,分别为AH,BH,CH与ABC外接圆的交点。求证:。其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立。8一凸四边形内接于半径为1的圆。证明:四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0uAC,直线EF交BC于P,过点D且平行于EF的直线分别交AC、AB于Q、R。N是BC上的一点,且NQP+NRP180,求证:BNCN。参考答案【同步达纲练习】1设B的平分线交AC于E,易证EMBC作EFAB于F,则有EF=EM,AEEF=EM,从而EMAEAM,即90-AMBEAM。又2MDC=2(MAC+ACD)=2MAC+ACM=MAC+AMB,90AMD+MAC=2MDC,MDC45。2连结NQ交AB于C,连结SC、SQ。易知C、Q、S、M四点共圆,且CS是该圆的直径,于是CSMQ。再证RtSMCRtSMR,从而CS=RS,故有RSMQ.3设的内心为I,由IA+IBAB,IB+ICBC,即2(AP-IP+BQ-IQ+CR-IR)AB+BC+CA (1)连AR,AIR=IAR,IR=AR,又AR=BR,同理 (2)由(1)、(2)即得AP+BQ+CRAB+BC+CA。4如图8。设三边长分别为a、b、c,IF=x,EH=y,DG=z,则依题意有,(易知OE=CF)同理,所以,由柯西不等式,从而 于是5设G到各边距离为由(r为内切圆半径),得又(艾尔多斯莫德尔不等式)。故即AI+BI+CI2(r1+r2+r3)6分别以A、B、P为圆心,AD、BC、h为半径作圆,三圆两两外切,EF为A、B外公切线,P与EF相切时h最大,此时设AD=r,BC=R,P半径为m,则化简得,即由知命题成立。7由外接圆心O向BC作垂线OD于D,则AH=2OD,DOC=A,故HA=2OD=2RcosA。同理HB=2RcosB,HC=2RcosC,由BC是的垂直平分线,得同理。于是原不等式等价于而2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 故8如图,引进有关边长、对角线、角的记号,则a+de,d+cf,c+be,b+af,四式相加得a+b+c+de+
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