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几何不等式测试题1在ABC中，M为BC边的中点，B=2C，C的平分线交AM于D。证明：MDC45。2设NS是圆O的直径，弦ABNS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RSMQ。3在ABC中，设A，B，C的平分线交外接圆于P、Q、R。证明：AP+BQ+CRBC+CA+AB。4过ABC内一点O引三边的平行线，DEBC,FGCA,HIAB,点D、E、F、G、I都在ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示ABC的面积。求证：。5求证：ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍。6凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：。7设H为锐角ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与ABC外接圆的交点。求证：。其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立。8一凸四边形内接于半径为1的圆。证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0uAC，直线EF交BC于P，过点D且平行于EF的直线分别交AC、AB于Q、R。N是BC上的一点，且NQP+NRP180，求证：BNCN。参考答案【同步达纲练习】1设B的平分线交AC于E，易证EMBC作EFAB于F，则有EF=EM，AEEF=EM，从而EMAEAM,即90-AMBEAM。又2MDC=2（MAC+ACD）=2MAC+ACM=MAC+AMB，90AMD+MAC=2MDC，MDC45。2连结NQ交AB于C，连结SC、SQ。易知C、Q、S、M四点共圆，且CS是该圆的直径，于是CSMQ。再证RtSMCRtSMR，从而CS=RS，故有RSMQ.3设的内心为I，由IA+IBAB,IB+ICBC,即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）AB+BC+CA （1）连AR，AIR=IAR，IR=AR，又AR=BR，同理 （2）由（1）、（2）即得AP+BQ+CRAB+BC+CA。4如图8。设三边长分别为a、b、c，IF=x，EH=y，DG=z，则依题意有，（易知OE=CF）同理，所以，由柯西不等式，从而 于是5设G到各边距离为由（r为内切圆半径），得又（艾尔多斯莫德尔不等式）。故即AI+BI+CI2(r1+r2+r3)6分别以A、B、P为圆心，AD、BC、h为半径作圆，三圆两两外切，EF为A、B外公切线，P与EF相切时h最大，此时设AD=r,BC=R,P半径为m，则化简得，即由知命题成立。7由外接圆心O向BC作垂线OD于D，则AH=2OD，DOC=A，故HA=2OD=2RcosA。同理HB=2RcosB,HC=2RcosC,由BC是的垂直平分线，得同理。于是原不等式等价于而2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 故8如图，引进有关边长、对角线、角的记号，则a+de,d+cf,c+be,b+af,四式相加得a+b+c+de+
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