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文档简介

北师大版七年级下册数学完全平方公式导学案教学目标 (一)教学知识点 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何背景. (二)能力训练要求 1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解,有意识地培养他们有条理的思考和表达能力. (三)情感与价值观要求 1.了解数学的历史,激发学习数学兴趣. 2.鼓励学生自己探索算法的多样化,有意识地培养学生的创新能力. 教学重点 1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 2.完全平方公式的应用. 教学难点 1.完全平方公式的推导及其几何解释. 2.完全平方公式结构特点及其应用. 教学方法 自主探索法 学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理,揭示其结构特点,然后达到合理、熟练地应用. 教学过程 .创设问题情景,引入新课 师去年,一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示,将一块边长为a米的正方形农田改成试验田,种上了优质的杂交水稻,一年来,收益很大.今年,又一次“科技下乡”活动,使老农铁了心,要走科技兴农的路子,于是他想把原来的试验田,边长增加b米,形成四块试验田,种植不同的新品种. 同学们,谁来帮老农实现这个愿望呢? (同学们开始动手在练习本上画图,寻求解决的途径) 生我能帮这位爷爷. 师你能把你的结果展示给大家吗? 生可以.出示图展示,这就是我改造后的试验田,可以种植四种不同的新品种.师你能用不同的方式表示试验田的面积吗? 生改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形,因此,试验田的总面积应为(a+b)2. 生也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积,边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2. 师很好!同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积,进行比较,你发现了什么? 生可以发现它们虽形式不同,但都表示同一块试验田的面积,因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2 师我们这节课就来研究上面这个公式完全平方公式. .讲授新课 1.推导完全平方公式 师我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实,据有关资料表明,古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢? 想一想: (1)(a+b)2等于什么?你能用多项式乘法法则说明理由吗? (2)(ab)2等于什么?你是怎样想的. (同学们可先在自己的练习本上推导,教师巡视推导的情况,对较困难的学生以启示) 生用多项式乘法法则可得 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1) 师上面的几何解释和代数推导各有什么利弊? 生几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识,但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a0且b0; 代数推导完全平方公式虽然不直观,但在推导的过程中,a,b可以是正数,可以是负数,零,也可以是单项式,多项式. 师同学们分析得很有道理.接下来,我们来完成第(2)问. 生也可利用多项式乘法法则,则(ab)2=(ab)(ab)=a2abba+b2=a22ab+b2. 生我是这样想的,因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(ab)2=a+(b)2. 师这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义,你能继续沿着这个思路做下去吗?我们一块试一下. 师生共析(ab)2=a+(b)2=a2+2a(b)+(b)2 (a +b)2=a2+2ab+b2 =a22ab+b2. 于是,我们得到又一个公式: (ab)2=a22ab+b2 (2) 师你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗? 生公式(1)用语言描述为:两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和;公式(2)用语言描述为:两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便. 2.应用、升华 例1利用完全平方公式计算: (1)(2x3)2;(2)(4x+5y)2; (3)(mna)2. 分析:利用完全平方公式计算,第一步先选择公式;第二步,准确代入公式;第三步化简. 解:(1)方法一: 例2利用完全平方公式计算 (1)(x+2y)2;(2)(xy)2; (3)(x+yz)2;(4)(x+y)2(xy)2; (5)(2x3y)2(2x+3y)2. 分析:此题需灵活运用完全平方公式,(1)题可转化为(2yx)2或(x2y)2,再运用平方差公式;(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式;(3)题利用加法结合律变形为(x+y)z2(或x+(yz)2、(xz)+y2),再用完全平方公式计算;(4)题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形,再用平方差公式和完全平方公式. 解:(1)方法一:(x+2y)2=(2yx)2 =4y24xy+x2; 方法二:(x+2y)2=(x2y)2=(x2y)2=x24xy+4y2. (2)(xy)2=(x+y)2=(x+y)2=x2+2xy+y2. (3)(x+yz)2=(x+y)z2=(x+y)22(x+y)z+z2 =x2+y2+z2+2xy2zx2yz. (4)方法一:(x+y)2(xy)2 =(x2+2xy+y2)(x22xy+y2) =4xy. 方法二:(x+y)2(xy)2 =(x+y)+(xy)(x+y)(xy)=4xy. (5)(2x3y)2(2x+3y)2 =(2x3y)(2x+3y)2 =4x29y22 =16x472x2y2+81y4. .随堂练习 课本P34,1.计算: (1)( x2y)2;(2)(2xy+ x)2; (3)(n+1)2n2. 解:(1)( x2y)2=( x)22 x2y+(2y)2= x22xy+4y2 (2)(2xy+ x)2=(2xy)2+22xy x+

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