湖北省2013年高考压轴卷数学文试题(解析版).doc

2013湖北省高考压轴卷文科数学（解析见后）本试卷共22题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则如图所示阴影部分表示的集合为（ ） 2.下列四个命题中真命题的个数是（ ） “”是“”的充分不必要条件； 命题“”的否定是“”； “若，则”的逆命题为真； 命题，命题，则为真 3.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示.他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为（ ） 4.已知函数（其中为自然对数的底数），则函数的大致图象为（ ）5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ） 6.已知变量满足则的取值范围是（ ） 7.如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为（ ） 8.如图，矩形中，点为边的中点，点为边的中点，和相交于点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于（ ） 9.已知双曲线右支上的一点到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ） 10.在中，是的内心，若,其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ） 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在题中横线上11.已知复数（是虚数单位），若为纯虚数，则实数的值是_.12. 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是13.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是_.14.如图为某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是_. （第13题图） 15.记，当时，观察下列等式：（第14题图） 可以推测_.16.已知不等式.（1）若，则不等式的解集为_;（2）若不等式的解集不是空集，则实数的取值范围为_.17.已知函数则（1）_;（2）下列三个命题中，所有真命题的序号是_. 函数是偶函数； 任取一个不为零的有理数,对任意的恒成立； 存在三个点，使得为等边三角形.三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分） 已知. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.在中，角的对边分别为，若，求的值.19. （本小题满分12分）已知等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）记，求证：；（3）求数列的前项和.20. （本小题满分13分） 如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，.（1） 证明：； （2）求四棱锥与圆柱的体积比； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值.21. （本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数与有相同极值点， 求实数的值；若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围.2013湖北省高考压轴卷文科数学答案解析1. 【解析】：对于，等价于，解得，所以集合表示函数的定义域，由，得，故，则阴影部分表示.故选.2. 【解析】：命题中，是不等式的解集的真子集，“”是“”的充分不必要条件，正确.命题显然正确.命题中，当时，其逆命题不成立，故错.命题中，为真，为假，所以为真，故正确.综上所述，真命题的个数为3.故选.3. 【解析】：本题考查茎叶图、平均数.甲的平均分为，设看不清楚的数字为，则乙的平均分为，解得，因为，所以，看不清楚的数字为0.故选.4. 【解析】据已知关系式可得作出其图象，再将所得图象向左平移1个单位即得函数的图象.故选.5. 【解析】：第一次循环结束时，；第二次循环结束时，；第三次循环结束时，此时，不满足，则输出.故选.6. 【解析】：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即的边界及其内部，又因为，而表示可行域内一点和点连线的斜率，由图可知，根据原不等式组解得,所以.故选.7. 【解析】：因为，令，则，所以.令，则当时，所以在上单调递增.又因为，所以在上有唯一零点，所以的值所在区间为.故选.8. 【解析】：设矩形的长，宽，涉及相关图形的面积问题，那么矩形的面积为.如图所示，过点作/交于点，则有,即，亦即.又,即，可得，解得.那么的面积为. 由几何概型的概率公式，得所求的概率为.故选.9. 【解析】：因为双曲线右支上的一点到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为8，所以，又因为点到两条渐近线的距离之积为，双曲线的两渐近线方程分别为和，所以根据距离公式得，所以，即，又因为，所以，离心率.故选.10. 【解析】：根据向量加法的平行四边形法则得动点的轨迹是以为邻边的平行四边形，其面积为的面积的2倍.在中，由余弦定理可得，代入数据解得，设的内切圆的半径为，则，解得，所以，故动点的轨迹所覆盖的面积为.故选.二、填空题11. 【解析】：，因为为纯虚数，则且，解得.12. .【解析】：，得，即，解得，即得，参数分离得，因为（当且仅当，即时取等号，的解满足），所以.13.1 【解析】：如图所示，作抛物线的准线，延长交准线于点，由抛物线的定义可得（表示焦点到直线的距离）.14. 【解析】：由三视图知，该几何体由两个共底面的半圆锥构成（如图所示），两个半圆锥侧面积的和为，四边形由两个等边三角形构成，其面积为，故该几何体的表面积为.15. 【解析】：本题考查归纳推理问题.根据各式的规律，显然.令，则，代入得，所以.16.（1）（2） 【解析】：（1）当时，.若，则，舍去；若，则，；若，则.综上，不等式的解集为.（2）设，则，若不等式的解集不是空集，则，即的取值范围为.17.（1）1（2）【解析】：（1）依题意可知，当时，；当时，.因此.（2）对于，当时，此时；当时，此时，因此对任意的，都有，所以函数是偶函数，正确.对于，任取一个不为零的有理数，当时，,；当时，因此对任意的，都有，正确.对于，取点，易知点均在函数的图象上，且是等边三角形，正确.综上所述，所有真命题的序号是.三、解答题18.（1）.所以的最小正周期. （3分）又由，得，故的单调递减区间是. （6分）（2）由，得，所以，因为，所以，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，因为，所以，即，又，所以，由正弦定理，得. （12分）19.（1）因为是方程的两根，且数列的公差，所以，公差.所以. （2分） 又当时，有，所以.当时，有，所以.所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. （4分）（2）由（1）知，所以，所以. （8分）（3）因为，则， ，由-，得，整理，得. （12分）20.（1）如图，连接分别为的中点，是的中位线，且.又,故/且，四边形是平行四边形，即, 又. （4分）（2）如图，连接.由题知,且由（1）知， , . 是底面圆的直径，.又是圆柱的母线，,即为四棱锥的高. （7分）设圆柱高为,底面半径为，则，. （9分）（3）如图，作过的母线,连接,则是上底面圆的直径，连接,则,又,连接,则为直线与平面所成的角. （11分），在中，.直线与平面所成角的正弦值为. （13分）21.（1）依题意可设椭圆的方程为， 离心率， 又抛物线的焦点为， 所以， 椭圆的方程是. （5分）（2）若直线与轴重合，则以为直径的圆是，若直线垂直于轴，则以为直径的圆是.由解得即两圆相切于点.因此所求的点如果存在，只能是. （7分）事实上，点就是所求的点.证明如下：当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点.当直线不垂直于轴时，可设直线.由消去得.设，则 （10分）又因为， ,即以为直径的圆恒过点.故在坐标平面上存在一个定点满足条件. （14分）22.（1）， （1分） 由得；由得. 在上为增函数，在上为减函数. （3分） 函数的最大值为. （4分）（2