050直线与椭圆的位置关系(复习设计)(师).doc

专题050：直线与椭圆的位置关系（复习设计）考点要求：1.考查直线与椭圆的位置关系。2.直线与椭圆的弦长公式。3掌握常见的几种数学思想方法函数与方程、数形结合、转化与化归等体会解析几何的本质问题用代数的方法解决几何问题4.了解椭圆的准线方程和性质，并能利用椭圆的第二定义求一些最值。知识结构：1直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交（2）直线与椭圆相切（3）直线与椭圆相离，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。2.弦长公式 直线y=kx+b与椭圆1(ab0)相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则：弦长公式（k为直线斜率）基础自测：1椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么k等于(B)A1 B1 C. D2已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(B)A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线3过椭圆y21的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则|AB|()A4 B2 C1 D4解析：选C.y21中a24，b21，c23，右焦点坐标F(，0)，将x代入y21得，y，故|AB|1.4已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 (C)A9 B1C1或9 D以上都不对5已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是(C)A. B. C.1 D.例题选讲：1.椭圆的准线：例1：已知点A的坐标是(1,1)，F是椭圆的左焦点,点P在椭圆上移动，求的最小值并求取最小值时点P的坐标;分析：此题与椭圆的焦点有关，考虑到椭圆的离心率为，因此可以根据第二定义转化为点P到左准线的问题，解:由椭圆方程可知a=3,b=,则c=2,(1) 过P向椭圆的左准线作垂线，垂足为Q，,则据椭圆的第二定义知,.从而=.易知当A、P、Q在同一条线上时， 最小，最小值为，此时点P.学生练习1： 离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是2.直线与椭圆的位置关系：例2：判断直线与椭圆的位置关系解：由可得 （1）当时，直线与椭圆相交（2）当时，直线与椭圆相切（3）当时，直线与椭圆相离学生练习2：若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围解：由可得，即3.弦长问题例3：已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求ABF2的面积解法一：由题可知：直线方程为由可得，解法二：到直线AB的距离由可得，又解法三：令则，其中到直线AB的距离由可得，评述在利用弦长公式（k为直线斜率）或焦（左）半径公式时，应结合韦达定理解决问题。4.中点问题例4：已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程解法一：令椭圆方程为，由题得：，由可得，又即 椭圆方程为解法二：令椭圆方程为，由题得：，由作差得又即 椭圆方程为例5：已知直线yx2和椭圆1(ab0)相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)则得：.kAB.又kOM，由得a24b2.由得：x24x82b20，x1x24，x1x282b2.|AB|x1x2|2.解得：b24.故所求椭圆方程为：1.巩固作业：1直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是()A(，) B(，) C(，) D(，)解析：选C.由，消去y，得3x24x20，设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，中点坐标为(x中，y中)，则x1x2，x中 .从而y中x中11，中点坐标为(，)2在椭圆1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为(A)Ax4y50 Bx4y50C4xy50 D4xy503椭圆y21被直线xy10 所截得的弦长|AB|_.解析：由得交点为(0,1)，则|AB| .答案：4F1，F2是椭圆y21的两个焦点，过F2作倾斜角为的弦AB，则F1AB的面积为_解析：不妨设椭圆的右焦点为F2(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB的方程为yx1.由得3x24x0，x10，x2.根据弦长公式得|AB|x1x2|.椭圆的左焦点为F1(1,0)到直线AB的距离d，SF1ABd|AB|.答案：5.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是 6设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_15_7.若椭圆内有一点P（1,-1）,F为右焦点，椭圆上有一点M，使最小，则点M为8.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)方法一依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(5分)方法二依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且有解得b212或b23(舍去)从而a216.(3分)所以椭圆C的方程为1. (2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在9求椭圆y21上的点到直线xy60的距离的最小值解：设与直线xy60平行且与椭圆y21相切的直线方程为 xym0.由得4x26mx3m230，36m216(3m23)0，解得m2或m2，显然与直线xy60距离最近的直线为xy20，所以所求最小距离为d2.10在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)、(0，)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程；(2)设直线ykx1与C交于A、B两点，k为何值时？此时|的值是多少？解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，)，(0，)为焦点，长半轴为a2的椭圆，它的短半轴b1，故曲线C的方程为x21.(2)由消去y并整理得(k24)x22kx30，(2k)24(k24)(3)16(k2