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马尔可夫预测 马尔可夫链的基本原理马尔可夫预测方法及应用 1 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程 一 马尔可夫链 1 马尔可夫链的基本概念 2 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程 定义1若非负随机序列 X tn n N 满足条件 一 马尔可夫链 1 马尔可夫链的基本概念 则称随机序列 X tn 为马尔科夫链 简称马氏链 3 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程 定义1若非负随机序列 X tn n N 满足条件 无后效性指 将来 取什么值只与 现在 的取值有关 而与 过去 取什么值无关 一 马尔可夫链 1 马尔可夫链的基本概念 则称随机序列 X tn 为马尔科夫链 简称马氏链 4 二 状态转移概率矩阵 5 二 状态转移概率矩阵 当系统由一种状态变为另一种状态时 称为状态转移 6 二 状态转移概率矩阵 当系统由一种状态变为另一种状态时 称为状态转移 定义2一步状态转移概率 7 几个概念 8 几个概念 概率向量 对于任意的行向量 或列向量 如果其每个元素均非负且总和等于1 则称该向量为概率向量 9 几个概念 概率向量 对于任意的行向量 或列向量 如果其每个元素均非负且总和等于1 则称该向量为概率向量 10 几个概念 概率向量 对于任意的行向量 或列向量 如果其每个元素均非负且总和等于1 则称该向量为概率向量 概率向量 11 几个概念 概率向量 对于任意的行向量 或列向量 如果其每个元素均非负且总和等于1 则称该向量为概率向量 概率矩阵由概率向量作为行向量所构成的方阵称为概率矩阵 概率向量 12 概率矩阵的性质 如果A B皆是概率矩阵 则AB也是概率矩阵 如果A是概率矩阵 则A的任意次幂也是概率矩阵 13 概率矩阵的性质 如果A B皆是概率矩阵 则AB也是概率矩阵 如果A是概率矩阵 则A的任意次幂也是概率矩阵 一步状态转移概率矩阵 与n无关 假设 齐次性 14 k步状态转移概率 称为k步状态转移概率 为k步状态转移概率矩阵 15 马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由1步状态转移概率求出 16 马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由1步状态转移概率求出 全概率公式 17 马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由1步状态转移概率求出 P 一步状态转移概率矩阵 k步状态转移概率矩阵 全概率公式 18 三 平稳分布与稳态分布 19 三 平稳分布与稳态分布 1 平稳分布 20 三 平稳分布与稳态分布 1 平稳分布 如为一状态概率向量 P为状态转移概率矩阵 若 则称X为马尔可夫链的一个平稳分布 21 1 平稳分布 如为一状态概率向量 P为状态转移概率矩阵 若 则称X为马尔可夫链的一个平稳分布 若随机过程某时刻的状态概率向量为平稳分布 则称过程处于平衡状态 一旦过程处于平衡状态 则过程经过一步或多步状态转移之后 其状态概率分布保持不变 即 过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态 三 平稳分布与稳态分布 22 2 稳态分布 问题 对于系统的状态P m 当m趋于无穷时 是否存在极限 23 2 稳态分布 问题 对于系统的状态P m 当m趋于无穷时 是否存在极限 若存在 设其极限为 24 2 稳态分布 问题 对于系统的状态P m 当m趋于无穷时 是否存在极限 若存在 设其极限为 25 2 稳态分布 问题 对于系统的状态P m 当m趋于无穷时 是否存在极限 若存在 设其极限为 26 则称为稳态分布 定义对于概率向量 如对任意的 均有 27 则称为稳态分布 定义对于概率向量 如对任意的 均有 此时 不管初始状态概率向量如何 均有 这也是称为稳态分布的理由 28 设存在稳态分布 则由于下式恒成立 29 设存在稳态分布 则由于下式恒成立 令 得 30 设存在稳态分布 则由于下式恒成立 令 得 即 有限状态马尔可夫链的稳态分布如存在 那么它也是平稳分布 31 1 对非周期的马尔可夫链 稳态分布必存在 两个结论 2 对不可约非周期的马尔可夫链 稳态分布和平稳分布相同且均唯一 32 2 马尔可夫预测方法及应用 马尔可夫预测是应用随机过程中马尔可夫链的理论和方法 研究分析有关现象的变化规律并借此对未来进行预测的一种方法 市场占有率预测高速公路交通量分布预测期望利润预测 33 2 马尔可夫预测方法及应用 一 市场占有率预测 34 一 市场占有率预测 例公司A B C产品销售额的市场占有率分别为50 30 20 由于C公司实行了改善销售与服务方针的经营管理决策 使其产品销售额逐期稳定上升 而A公司却下降 通过市场调查发现三个公司间的顾客流动情况如表所示 其中产品销售周期是季度 问题 按照目前的趋势发展下去 A公司的产品销售额或客户转移的影响将严重到何种程度 更全面的 三个公司的产品销售额的占有率将如何变化 2 马尔可夫预测方法及应用 35 36 37 38 未来各期的市场占有率 39 未来各期的市场占有率 40 未来各期的市场占有率 41 未来各期的市场占有率 C 保销政策 C的市场份额不断增大 是否可以持续下去 42 稳态市场占有率 43 稳态市场占有率 44 稳态市场占有率 解得 45 46 上述结果对A厂不利 A厂制定两套方案 47 上述结果对A厂不利 A厂制定两套方案 甲方案保留策略 拉住老顾客 48 上述结果对A厂不利 A厂制定两套方案 甲方案保留策略 拉住老顾客 49 新的平衡状态下 三公司的市场占有率分别为31 6 26 3 42 1 公司的市场占有率从17 65 提高到31 6 50 新的平衡状态下 三公司的市场占有率分别为31 6 26 3 42 1 公司的市场占有率从17 65 提高到31 6 乙方案争取策略 挖客户 51 新的平衡状态下 三公司的市场占有率分别为31 6 26 3 42 1 公司的市场占有率从17 65 提高到31 6 乙方案争取策略 挖客户 在新的平衡状态下 三家公司的市场占有率分别为33 3 22 2 44 5 52 二 高速公路交通量分布预测 为研究高速公路收费标准调整对交通量的影响 我们选取京珠高速公路郑州十八里河至漯河陈桥段和与之平行的107国道2003年4月份 5月份和6月份的交通量 用车牌号调查法进行调查 得到数据如表1所示 53 可以算出 5月份的状态概率矩阵为P 5月 0 351 0 469 0 180 转移概率矩阵为 转移概率矩阵为 6月份的状态概率矩阵为P 6月 0 350 0 470 0 180 5月份与6月份的转移概率矩阵近似相等 因而系统可以近似看作是一个齐次马氏链 54 取初始状态概率为P 0 0 35 0 47 0 18 转移概率矩阵为 由初始状态概率和初始状态概率矩阵可以算出一个月后的状态概率为P 1 P 0 P 0 313 0 477 0 210 两个月后的状态概率为P 2 P 0 P2 0 290 0 481 0 229 55 同理可以算出几个月后的状态概率 如表2所示 56 从表2可以看出 高速公路在交通量分配中所占比例是在逐步降低 国道所占比例略有上升 交通量大多转移到了其它路线或其它运输方式 当时间充分大时 转移概率将趋于稳定 设稳定状态的概率矩阵为 P1 P2 P3 由遍历性定理得 解得P1 0 249 P2 0 481 P3 0 270 从上述分析可以看出 在各种情况都不改变的条件下 最终车流量的分布将稳定在高速公路占24 9 国道占48 1 其它占27 的比例 57 结论 交通量的大小决定高速公路效益的高低 当从起点到终点的运输方式和运输线路不唯一时 收费标准将直接影响到交通量的大小 收费率越高 用户选择高速公路机会就越低 从上面的研究结果可以看出高速公路在交通量分配中所占比例大约降低了10 58 三 期望利润预测 59 三 期望利润预测 设是状态空间为的齐次马氏链 其转移矩阵为 设r i 表示某周期系统处于状态i时获得的报酬 称如此的马尔可夫链是具有报酬的 r i 0时称为盈利 报酬 收益等 r i 0时称为亏损 费用等 60 有限时段期望总报酬 61 记表示初始状态为i的条件下 到第k步状态转移前所获得的期望总报酬 k 1 i S 有限时段期望总报酬 62 记表示初始状态为i的条件下 到第k步状态转移前所获得的期望总报酬 k 1 i S 有限时段期望总报酬 63 记 64 记 有 65 记 有 66 例某商品每月市场状况有畅销和滞销两种 如果产品畅销则获利50万元 滞销将亏损30万元 已知状态转移概率矩阵如下 试问 如当前月份该产品畅销 则第四月前所获得的期望总利润为多少 67 解 由题意知 68 解 由题意知 69 结果为 如当前月份该产品畅销 第四月前所获得的期望总利润为67 5万 解 由题意知 70 无限时段单位时间平均报酬 71 对i S 定义初始状态为i的无限时段单位时间平均报酬为 无限时段单位时间平均报酬 72 对i S 定义初始状态为i的无限时段单位时间平均报酬为 记 无限时段单位时间平均报酬 73 对i S 定义初始状态为i的无限时段单位时间平均报酬为 记 则 无限时段单位时间平均报酬 74 可以证明 75 可以证明 即 无限时段单位时间平均报酬与初始状态无关 均为 76 无限时段期望折扣总报酬 77 考虑资金的时间价值 无限时段期望折扣总报酬 78 如将钱存于银行 年息为 则与有如下关系 考虑资金的时间价值 无限时段期望折扣总报酬 称为折扣因子 79 对有报酬的马氏链 定义从状态i出发的无限时段期望折扣总报酬为 80 对有报酬的马氏链 定义从状态i出发的无限时段期望折扣总报酬为 于是 81 对有报酬的马氏链 定义从状态i出发的无限时段期望折扣总报酬为 于是 记 则 82 称为具有报酬的马氏链的三种目标函数 利用其中的任一个目标函数 可以讨论不同策略的优劣 例最佳维修策略的选择 研究一化工企业对循环泵进行季度维修的过程 每次检查中 把泵按其外壳及叶轮的腐蚀程度定为五种状态中的一种 这五种状态是 状态1 优秀状态 无任何故障或缺陷 状态2 良好状态 稍有腐蚀 状态3 及格状态 轻度腐蚀 状态4 可用状态 大面积腐蚀 状态5 不可运行状态 腐蚀严重 83 该公司可采用的维修策略有以下几种 单状态策略 泵处于状态5时才进行修理 每次修理费用为500元 两状态策略 泵处于状态4和5时进行修理 处于状态4时的修理费用每次为250元 处于状态5时的每次修理费用为500元 三状态策略 泵处于状态3 4 5时进行修理 处于状态3时的每次修理费用为200元 处于状态4和5时的修理费用同前 目前 该公司采用的维修策略为 单状态 策略 假定不管处于何种状态 只要进行修理 泵的状态都将恢复为状态1 已知在不进行任何修理时的