二次函数的图象性质应用结题报告.doc

研究性学习活动结题报告 学 科：数学 课 题：二次函数的图象性质应用班 级：高一（1,2）班指导教师：魏立珍研究性学习活动结题报告组长: 石大臻，姜海霞组员: 石大臻，姜海霞,于淼，潘雪梅，高玉萍，孟娇，刘兴强，赵婷婷，赵静，仲鑫指导老师:魏立珍摘要：二次函数是高考的重点内容，学习中学生能够熟练地对一般二次函数解析式配方、确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大（小）值等性质及其图像开口方向和顶点坐标，培养学生分类讨论的思想。渗透数学思想与方法（如化归、映射的思想，换元的方法）的学习，发展学生的思维能力。正文：二次函数的基本知识点的整理一、二次函数的解析式1.般式： y=ax+bx+c (a0)2.点式： y=a(x-h)+k (a0)3.根式：y=a(x-x1)(x-x2) (a0)二次函数可以用配方法转化为的形式：二、二次函数的表示方法及特点表示优点缺点表达式从“数”的角度来反映两个变量之间的关系，它可以比较全面、完整、简单地反映整个变化过程中自变量与函数的关系需要通过计算，才能得到所需结果表格清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系不能反映函数整体的变化情况图象从“形”的方面来反映两个变量之间的变化关系，能够通过图象的具体特征，直接地表示函数的变化过程和变化趋势函数值只能是近似值关系表达式是基础，是重点，表格是画图象的关键，图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.三、二次函数的图象的基本特征1.函数的顶点坐标：，对称轴为直线.2.当时，抛物线开口向上，当，随增大而减小；当，随增大而增大；当时，有最小值，.3.当时，抛物线开口向下，当，随增大而增大；当，随增大而减小；当时，有最大值，。四、二次函数的基本应用1.二次函数y=a（xh）2+k的图象性质及应用【例1】已知函数。（1）试确定函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）作出函数及的草图，并根据图象说出两者关系；（3）利用的图象观察取何值时，（4）利用的图象说出随变化的情况。分析：（1）利用配方法将转化为的形式即可作出正确的解答，进而可解。（2）（3）中可结合图形的形状和位置予以说明。解：（1）的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为。（2）在同一直角坐标系内作出及的图象由图可以看出，抛物线可以看作是抛物线向左平移6个单位长度后，再向下平移8个单位长度得到的，两条抛物线完全相同，只是位置不同。（3）当（4）当时， 随增大而减小，当时，随增大而增大2.用待定系数法求二次函数的表达式【例2】已知抛物线过A（2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点，求此抛物线的表达式。分析：A，B，C三点为抛物线上三点，所以可用一般式；另外，观察点A、B坐标可以看出，A（2，0）、B（1，0）都在轴上，所以对称轴是这两点连线的中垂线，可选用顶点式，也可选用两点式。解：方法1：设抛物线的表达式为，将A（2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点的坐标分别代入上式得：抛物线的表达式为方法2：抛物线过点A（2，0）、B（1，0）两点，抛物线的对称轴是两点连线的中垂线设抛物线的表达式为，将A，C两点坐标分别代入上式得解得抛物线的表达式为方法3：设抛物线的表达式为，是抛物线与轴交点的横坐标抛物线过点A（2，0）、B（1，0）把C（0，2）代入上式得抛物线的表达式为3.二次函数的最值的应用【例3】某旅馆有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满，该旅馆装修后提高租金，经市场调查，如果一间房的日租金提高5元，则客房每天的出租量就会减少6间，不考虑其它因素，该旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？分析：因条件为每间客房的日租金每增加5元，客房每天的出租量会减少6间，若设日租金提高5元，则客房每天的出租量会少6间，这时提高后的日租金为（50+5x）元，出租房间为（1206x），于是得到与之间的函数关系式。解：设该旅馆每间房的日租金提高5元，客房日租金总收入为元，由题意得整理得故该旅馆将每间房租金提高55=25元时，日租金的收入最高，为6750元比装修前的日租金总收入增加了675012050=750元。答：该旅馆将每间客房的日租金提高到75元时，客房日租金的总收入最高。比装修前的日租金总收入增加750元。小结：利用数形结合来学习二次函数的定义及其性质，对比二次函数的三种表达式的各自优点，用比较简单的方法解决问题，从而增强学生的数学应用意识，培养学生用数学知识分析问题、解决问题的能力。三个二次的关系一元二次方程、二次函数、一元二次不等式一元二次方程、一元二次不等式、二次函数简称为“三个二次”，它们互相联系、互相渗透，组成了一个特殊的知识板块，是一个有机的整体，利用转化化归的思想来解决有关“三个二次”之间的问题，能使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，起到化难为易、化生为熟、化繁为简，从而达到简易求解的效果一、一元二次不等式与一元二次方程及一元二次函数的关系三个二次x1x20x1= x2=00)图 象ax2+bx+c=0(a0)根x=x1 或x=x2x1=x2=无 解ax2+bx+c0(a0)解 集x|xx2x|x Rax2+bx+c0)解 集x|x1xx2注：这个表格，便于学生理顺三个二次之间的关系，也利于学生理清解题思路。1.一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系：(1)方程的解对应于函数图像与x轴的交点的横坐标；(2)不等式的解对应于函数图像与x轴上方（或下方）部分在x轴上的点。 2.解一元二次不等式的基本步骤：（1）把二次项系数化为正数；（2）确定对应方程是否有实根，如有实根则求出根；（3）根据对应的二次函数的大致图像以及不等号的方向，写出不等式的解集。 二、运用“三个二次的关系”解决问题例1.解不等式（1） x+23x2 （2）x2+2x3x0； 解：（1）原不等式等价于 3x2x20 解方程3x2x2=0得两根：原不等式的解集为（2）原不等式等价于 x2-2x+30,x1+x21时，设函数最大值记为，最小值记为，则有小组成员心得体会研究性学习是个集体项目，它不仅培养了我们的合作精神，而且也培养了大家的团结友爱，互助协作的精神。组成小组后，我们组就常常在一起讨论题目，等到讨论成熟后，就进行计算研究。俗话说，三个臭皮匠顶个诸葛亮。大家在一起如果做出一些东西来，就会有一种成就感，这是研究性学习带给我们的乐趣所在。研究性学习培养的是一种创新精神，以及快速解决问题的能力。参加研究性学习小组，给了我们一次简单的科学研究工作的体验。科学工作所需要的严谨，大胆都在这样活动中有着完整的体现。使我们体会到了科研工作的艰辛，这些将对我们今后的学习与工作产生积极的作用和深远的影响。研究性学习转变了我们的学习观念，改变学习方式。以我的小组而言吧，我们选择了似简单却又挺麻烦的课题二次函数图像特点的应用。说它简单，最终成果只是一个简单的结果。但是，真是搞起来，要多方面考虑，还要收集有关资料，再加以运用，这自然会遇到许多麻烦，它给我们很大创新空间和实践机会，转变我们对学习和生活缺少独立思考新发现的一些依赖观念，改变我们“死读书”的学习方式，创造另一种学习的风气，营造更优的学习环境。这对学习科学文化的学生来说也是一个运用科学知识解决问题的良好机会。研究性学习转变了我们的学习观念，改变学习方式。以我的小组而言吧，我们选择了似简单却又挺麻烦的课题二次函数图像特点的应用。说它简单，最终成果只是一个简单的结果。但是，真是搞起来，要多方面考虑，还要收集有关资料，再加以运用，这自然会遇到许多麻烦，它给我们很大创新空间和实践机会，转变我们对学习和生活缺少独立思考新发现的一些依赖观念，改变我们“死读书”的学习方式，创造另一种学习的风气，营造更优的学习环境。这对学习科学文化的学生来说也是一个运用科学知识解决问题的良好机会。教师评价研究性学习是一个崭新的课题，对于初初接触这个课题的新生来说，的确是件棘手的事情，一方面是因为以前没接触过，没什么经验，不知从何入手，另一方面是高中学习负担重，如何协调好学习和研究课题之间的比例关系，成了学生们烦恼的事。但是我们小组的