第22章一元二次方程.doc

主备教师：王万军 华东师大版 九年级（上） 第22章 一元二次方程 课 题一元二次方程课时 1 课 型新授课教学目标知识与技能 理解一元二次方程的概念。过程与方法 掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的项及系数。情感态度与价值观 进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。教学重点 一元二次方程概念及一般形式教学难点 正确认识一元二次方程中项和系数，会列一元二次方程。教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图情境导入：1、绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为 900 平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多 10 米,那么绿地的长和宽各为多少?2、学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明 年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.读一读学生读情境问题1、2，分析数量及关系试一试 1）设适当未知数，列问题1、2的方程，并整理方程。 2）观察方程结构特点（项及系数？），把方程归类。 3）学生交流、总结“一元二次方程”概念及条件？4）下列方程中哪些是一元二次方程？(1)4x2=81 ; (2)2(x1)=3y ;(3)5x21=4x ; (4)=0 ;(5)2x23x1 ; (6)3x(x1)=5(x2)(7)关于x的方程mx23x2=0 ; (8)关于y的方程(a21)y2(2a1)y5a=0(9)让学生通过列方程，感受有些问题用一元一次方程不能解决。 引导学生探究、发现一元二次方程的概念让学生明确判定一个方程是否是一元二次方程的方法与步骤。让学生明确确定各项系数的方法讲一讲： 1）引导、点拨所列方程特点，引入课题；2）一元二次方程的一般形式及结构练一练 1、判断下列方程是否是一元二次方程1）2x2y5=0 2） ax2bxc=0 3）4x27=0 4)2xx2=0 2、练习册5、记一记： 1）一元二次方程概念及条件； 2）一元二次方程的一般形式； 明确一元二次方程的定义识记概念、条件、一般形式作业设计：板书设计：一元二次方程；条件 ：1）整式方程；2）一个未知数；3）含未知数项的最高次数是2；一般形式：教与学的反思课 题一元二次方程的解法1）直接开平方法和因式分解法课时 2 课 型新授课教学目标知识与技能 理解并掌握直接开平方法和因式分解法过程与方法 能灵活运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程情感态度与价值观 学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强与他人交流的能力。教学重点 理解并掌握直接开平方法和因式分解法，并灵活运用解一元二次方程教学难点 直接开平方法和因式分解法的适当选用教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图情境导入： 自学指导认真看P2021的内容，完成做一做X2900=0读一读初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p0)的方程理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法试一试 解下列一元二次方程： 1）x2=4 2) (x1)(x1)=0 ;3) x21=0 4) x22=0 ; 5)16x225=0 学生自学感悟，初步理解直接开平方法和因式分解法 教师点讲方法讲一讲： 解下列方程：（1）x250; （2）4x290.练一练 解下列方程：1）3x22x=0 ;2) x2=3x课本：P23练习题解下列方程 学生板演记一记： 因式分解的三个公式。 教师讲一讲：呈现解法和合理化过程。学生练一练，感受不同结构选用适当解法。通过板演呈现解法过程，教师点析评价作业设计：板书设计： 直接开平方法解形如x2=a 或x2a=0 (a0); 因式分解法解形如公式结构形式的一元二次方程；教与学的反思课 题一元二次方程的解法1）直接开平方法和因式分解法课时 3 课 型新授课教学目标知识与技能 掌握直接开平方法和因式分解法过程与方法 灵活运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程情感态度与价值观 通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强与他人交流的能力教学重点 熟练掌握直接开平方法和因式分解法，并灵活运用解一元二次方程教学难点直接开平方法和因式分解法的适当选用教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图导入： 1）直接开平方法解形如x2=a 或x2a=0 (a0);解法依据？平方根 2）因式分解法的依据是什么？读一读学生阅读课本P23“读一读”什么时候两数的积为零试一试 1）（x2）23=0 ;2)x23x=03) (x1)24=0; 4)12(2x)29=0理解因式分解法解方程的依据 学生观察方程结构并选用合适的解法。讲一讲： 如果三角形的两边长分别是方程x28x15=0的两个根，那么连结这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是A 5.5 B 5 C 4.5 D 4练一练 解下列方程： 1）(x2)216=0;2)(2x3)225=0 ;3)4(13x)2=1 ; 4)3(x1)218=0阅读下题及解题过程，解方程x(2x1)=3(2x1)解：x(2x1)=3(2x1)方程两边都除以（2x1）,得 x=3试回答上述解题过程是否正确？若不正确，请写出你认为正确的解题过程。记一记： 通过板练规范合理化解法及过程。进一步熟练解一元二次方程。通过阅读题，让学生正确解一元二次方程，弄清易错及原因。作业设计：板书设计：直接开平方法解形如x2=a 或x2a=0 (a0); 因式分解法解形如公式结构形式的一元二次方程；教与学的反思课 题一元二次方程的解法（3）配方法课时 4 课 型新授课教学目标知识与技能 理解配方法，会用配方法解简单数字系数的一元二次方程。过程与方法经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会转化的数学思想，并熟练应用配方法解一元二次方程。情感态度与价值观 启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高分析问题、解决问题的能力教学重点理解并掌握配方法，能够运用配方法解一元二次方程。教学难点 用配方法解一元二次方程的过程。教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图导入： 复习回顾 能否将一个一元二次方程的一般形式ax2bxc=0转化成x2=k(k0)的形式，以便直接开平方法解。 教师点评学生练习情况。1、 巩固应用1）填空：（1）完全平方式是 项式，其中 是完全平方项， 是这两个数（或因式）乘积的2倍。 （2）x2mx9是完全平方式，则m= 2）解下列方程：（1）x2=2 ; (2)(x2)2=2 (3) X24x4=22、试一试 对下列各式配方： X28x =(x )2 X210x =(x )2 X25x =(x )2 X29x =(x )2 X2x =(x )2 解下列方程 1）X22x=5 ; 2）x24x1=0 ;3)4x212x1=0;方程（2）与（3）的关系，引发转化实质。将两个未知项凑成“完全平方式”。 理解配方实质、并熟悉完全平方公式尝试应用配方过程解感悟化为x2=k的过程。3、讲一讲： X2x1=0 ;3X22x3=04、练一练 课本书P27页练习12题5、记一记： 配方法的一般步骤“ 熟悉配方法解一元二次方程理解识记一般步骤作业设计：板书设计：ax2bxc=0如何转化成x2pxq=0形式，再 转化成x2=k(k0)的过程 ：化形化1移项配方直接开方。教与学的反思课 题一元二次方程解法3）公式法课时 5 课 型新授课教学目标知识与技能掌握一元二次方程求根公式的推导过程与方法会运用公式法解一元二次方程情感态度与价值观通过求根公式的推导，渗透分类的思想教学重点求根公式的推导及用公式法解一元二次方程教学难点对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图 回顾与复习用配方法解下列方程（1）x27x110；（2）9x212x14当二次项系数不为1时，如何应用配方法？1、 读一读用配方法解方程pxq0（0）的步骤？思考 如何用配方法解下列方程？（1） 412x10；（2）32x302、试一试 解一般形式的一元二次方程abxc0（a0）因为a0，方程两边都除以a，得移项，得配方，得，即因为a0，所以40，当4ac0时，直接开平方，得所以，即由以上研究的结果，得到了一元二次方程abxc0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的根这种解方程的方法叫做公式法议一议：4ac0？如果4ac0，会怎样呢？让学生观察结构，理解abxc0（a0）如何转化成pxq0？ 熟悉配方法解的步骤？尝试用配方法解一般形式，理解公式的来源。理解公式的使用条件？理解记忆公式的结构、使用条件。3、讲一讲： 4、练一练 用公式法解下列方程：1）6x10；2）2x63）2x60；4）4x2；5）54x120；6）44x1018x5、记一记： 一元二次方程的求根公式及使用条件？ 理解公式法解的一般步骤。作业设计：板书设计：一元二次方程 abxc0（a0）的求根公式及使用前提、解法步骤教与学的反思课 题一元二次方程的解法选用课时 6 课 型新授课教学目标知识与技能会根据不同的方程特点选用恰当的方法,使解题过程简单合理过程与方法能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点，,通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想方法。情感态度与价值观 教学重点 会根据不同的方程特点选用恰当的方法,使解题过程简单合理教学难点 通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图情境导入：用不同的方法解一元二次方程3x2 -5x-2=0(配方法,公式法,因式分解法)三种不同的解法体现了同样的解题思路：把一元二次方程降次转化为一元一次方程求解。读一读 1)直接开平方法：平方根的应用； 2）因式分解法：abxc0转化成（a1xm）(a2xn)=0 3）配方法实质：将abxc0化成X2=k 的形式；步骤 化形化1移项配方直接开方。4）公式法实质是“利用配方法”得出求根公式 步骤：先计算4ac的值，再判定一元二次方程根的情况，后代（否）公式求解。试一试 将下列方程化成一般形式,再选择恰当的方法求解。(1)3x2=x+4(2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2(3)(x+3)(x-4)=6(x+1)2-2(x-1)（4）X(x10)=900识记解法及实质； 观察结构，选择合适的解法。讲一讲：一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法。其中,公式法是一般方法,适用于解所有的一元二次方程,因式分解法是特殊方法,在解符合方程左边易因式分解,右边为0的特点的一元二次方程时,非常简便练一练 把下列方程的最简洁解法选填在括号内。(A)直接开平方法 (B) 配方法 (C) 公式法 (D)因式分解法(1)7x-3=2x2 ( )(2)4(9x-1)2=25 ( )(3)(x+2)(x-1)=20 ( )(4) 4x2+7x=2 ( )(5) x2+2x-4=0 ( )记一记：一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法。 使学生学会观察结构、选择合适的解法。作业设计：板书设计： 教与学的反思课 题一元二次方程根的判别式课时 7 课 型新授课教学目标知识与技能了解什么是一元二次方程根的判别式；知道一元二次方程根的判别式的应用过程与方法 abxc0（a0）公式的产生，判别式的来源，分类讨论的结论及应用情感态度与价值观学生通过观察、分析、讨论、相互交流、培养与他人交流的能力，通过观察、分析、感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。教学重点 如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况教学难点根的判别式的发现及变式应用。教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图情境导入：师生共同回顾：一元二次方程的解法 1）直接开平方法； 20因式分解法； 3）配方法； 4）公式法读一读一元二次方程 abxc0（a0）试一试 解下列一元二次方程。（1）x2 -1=0 （2）x2-2x = -1（3）(x+1)2- 4=0 （4）x2+2x+2=0根的判别式的来源 学生观察讨论为什么会出现无解？解法巩固讲一讲： 4ac叫做一元二次方程的根的判别式说明不论m取什么值时，关于x的一元二次方程（x-1）(x-2)=m2,不论m取代的值都有几个不相等的实根练一练 不解方程判定下列一元二次方程根的情况。1）x10 ；2）x10；3）3x2=5x2 ; 4)4x22x=05)4(y21)y=0记一记： 当4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当4ac0时，方程有两个相等的实数根 ；当4ac0时，方程没有实数根 识别a、b、c的值，应用4ac的值判定一元二次方程根的情况。作业设计：1、已知关于x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判别式是9，求m的值及方程的根板书设计：一元二次方程的根有三种情况：当4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当4ac0时，方程有两个相等的实数根 ；当4ac0时，方程没有实数根教与学的反思课 题一元二次方程根与系数的关系课时 8 课 型新授课教学目标知识与技能掌握一元二次方程根与系数的关系,能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数； 根据方程求代数式的值。过程与方法学生经历观察发现猜想证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问题的能力。情感态度与价值观 学生通过计算、观察、比较等的数学活动，增强自主探究及与他人交流的习惯教学重点能利用一元二次方程根与系数的关系解决一些简单的问题。教学难点运用韦达定理解决问题教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图情境导入：已知关于x的方程2x2(34k)x2k2k=01)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？2) 当k取何值时，方程有两个相等的实数根？3) 当k取何值时，方程没有实数根？读一读一元二次方程当4ac0 方程有两个不相等的实数根；当4ac0 方程有两个相等的实数根当4ac0 方程没有实数根2、试一试 求出一元二次方程1）x23x4=0，2）2x23x5=0的两根x1和x2，再计算1）x1 x2 = ；2）x1 x2= 用公式写出x2pxq=0 (p24q0)的两根，并计算x1 x2 和x1 x2 识记一元二次方程根的判别式 应用巩固由特殊到一般探究根与系数的关系3、讲一讲： abxc0（a0）的求根公式?4、练一练 不解方程，求出方程的两根之各与两根之积。1）x23x5=0 ；2）2x23x5=03）3x24x=0 ；4）3x2=4x ； 5）（x1）2=x 已知方程的两根为x1 和x2，求下列代数式的值：1） ;2) x12 x22.5、记一记：x1 x2= ; x1 x2= 学生回顾求根公式，并计算x1 x2= ; x1 x2= ;作业设计：若x=1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为 板书设计：abxc0（a0）的求根公式：x1 x2= ; x1 x2= ;教与学的反思课 题实践与探索（1）课时 9课 型新授课教学目标知识与技能使学生理解并掌握利用一元二次方程的知识解决实际问题的一般思路与步骤，学会将实际问题转化为数学模型，进一步体会方程是刻画现实问题的有效数学模型过程与方法阅读问题，分析数量关系，设适当未知数，列方程，解决实际问题，检验。情感态度与价值观通过合作交流等活动进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，以及与他人交流的能力。教学重点利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题教学难点寻找实际问题中的数量关系及等量关系式。教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图情境导入： 方案一：方案二？方案三？等宽平行曲线小路读一读学校生物小组有一块长,宽的矩形试验田,为了方便管理,准备沿平行于两边的方向纵,横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为,小道的宽应是多少？试一试 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。实际问题，分析已知信息与未知信息？学生交流设计方案？不同方案列的方程结构区别？相同点？讲一讲：引导学生阅读问题，分析数量及关系，找正确的等量关系式，设适当的未知数列方程。练一练 课本书P40页练习。记一记：列一元二次方程解实际问题一般步骤 （1）审题找出相等关系；（2）设出适当未知数列出方程；（3）解方程； （4）根据实际问题，方程解的取舍；（5）作答。 进一步熟悉列方程解实际问题的一般步骤，并掌握各类问题中的数量关系及如何找等量关系式，选择等量关系第列方程。作业设计：板书设计： 1、利用一元二次方程解实际问题的一般步骤：（1）审题找出相等关系；（2）设出适当未知数列出方程； （3）解方程； （4）根据实际问题，方程解的取舍；（5）作答。 2、注意点：利用一元二次方程解实际问题时，解所列方程求出的未知数的值，必须检验。教与学的反思课 题一元二次方程实践与探索（2）课时10课 型新授课教学目标知识与技能 学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际问题进行数学建模，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。过程与方法让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。情感态度与价值观学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。教学重点 利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。教学难点 学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设计 意 图情境导入：解方程x270x+825 = 0，并叙述解一元二次方程的解法。学生呈现：边长为10cm的正方形硬纸片的四周剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子。不同学生剪去的小正方形边长不同，折叠成的长方体盒子不同。读一读小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？试一试 增长率问题 某式厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？探索：如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍等，那么这两年中的平均年增长率分别就调整为多少？1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？讲一讲：解：设剪去的正方形边长为xcm题意得：(10x)2 = 81，练一练 课本：P42页练习题记一记： 通过练习进一步熟悉“审题分析数量关系选择等量关系式设适当未知数列方程解方程结论作业设计：板书设计：探索实际问题中，用方程模型经历审题分析数量关系选择等量关系式设适当未知数列方程解方程结论。解决实际问题教与学的反思课 题一元二次方程复习课（1）知识建构与双基应用课时 11 课 型新授课教学目标知识与技能通过复习一元二次方程的有关概念及其解法，归纳，总结出不同类型的一元二次方程应用不同的解法，通过对一元二次方程的根与系数关系复习，培养学生的知识应用能力。过程与方法 引导回顾建构应用迁移内化提高。情感态度与价值观 教学重点一元二次方程的解法以及根与系数的复习教学难点灵活运用一元二次方程的解法进行解题教学准备教学过程过程优化教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图情境导入： 某校团委准备举办学生绘画展览,为了美化画面,在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图）。求彩纸的宽度。读一读（1）定义：只含有_个未知数，且未知数的最高次数是_的整式方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式是_。其中_叫二次项，_是二次项系数；_叫一次项,_是一次项系数；_叫常数项。试一试 3、将方程 化为一元二次方程的一般形式是：_，它的二次项系数是_，一次项系数是_，常数项是_.4、在下列方程 中，是一元二次方程的有 ；（审题列式导入课题。） 建构一元二次方程的单元知识体系；同步练习应用，进行知识的迁移内化。讲一讲：复习根与系数的关系这执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，则这两年投入教育经费的年平均增长率为多少？练一练 用适当的方法求解下列方程（让学生观察题目，然后指明每一道题目的解法，再根据指定的解法解题。）(1) (2)(3) (4)若方程有两个根，那么这两个根与方程的系数有什么关系？，1)已知一元二次方