倒立摆系统的最优控制应用研究.docx

倒立摆系统的最优控制应用研究张弛1（1兰州理工大学机电工程学院 甘肃兰州，730050） 摘 要：针对倒立摆系统的不稳定性，对最优控制理论在倒立摆控制系统中的应用进行了分析, 设计L Q R 控制器，并在倒立摆实验装置上进行了实验。实验结果表明设计的控制器是有效的，对倒立摆系统的平衡稳定控制效果好，提高了系统的抗干扰能力。 关键词：倒立摆；最优控制；MATLAB仿真 Abstract: This paper reviews the applications of theory of optimal control for inverted pendulum, design a LQR Controller. Simulation and experiment show that the presented method is effective. and system has good stability and good robustness. Key words: Inverted pendulum ; Optimal control ; Matlab simulation中图分类号：TP130 引 言 倒立摆作为典型的快速、多变量、非线性、不确定系统, 一直是控制领域研究的热点。许多研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。其控制方法在军工、航天、机器人领域及一般工业过程中都有着广泛的应用。针对不稳定的倒立摆系统的平衡控制，应用最优控制理论设计控制器。1 线性二次最优控制LQR基本原理及分析 线性二次最优控制LQR基本原理，由系统方程：X=AX+Bu 确定下列最佳控制向量的矩阵K：ut=-K*X(t) 使得性能指标达到最小值：J=0(XTQX+uTRu)dt 式中，Q 为正定( 或正半定)厄米特或实对称阵；R 为正定厄米特或实对称阵。 方程右端第二项是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量u(t)是无约束的。 对线性系统：X=AX+buY=CX 根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr 就可以得到反馈矩阵K的值。K=lqr(A，B，Q，R) 改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q的值越大(在一定的范围之内)，系统抵抗干扰的能力越强，调整时间越短。但是Q不能过大。2 倒立摆LQR控制参数调节及仿真 针对直线型一级倒立摆系统应用LQR法设计与调节控制器，控制摆杆保持竖直向上平衡的同时，跟踪小车的位置，倒立摆最优控制LQR控制原理图如图1所示。图1 倒立摆最优控制LQR控制原理图 直线一级倒立摆系统的以小车加速度作为输入的系统状态方程：xx=0100000000010029.40xx+0103uy=x=10000010xx+00u 四个状态量x、x、分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出y 包括小车位置和摆杆角度。应用线性反馈控制器，设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。 假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K。在Matlab中得到最优控制器对应的K。Lqr 函数允许你选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。 最简单的情况是假设R=1，Q=CTC。当然，也可以通过改变Q矩阵中的非零元素来调节控制器以得到期望的响应。Q=CT*C=1000000000100000其中，Q1,1代表小车位置的权重，而Q3,3是摆杆角度的权重，输入的权重R是1 。Matlab 语句为K=lqr(A，B，Q，R)。求得K=-1 -1.7855 25.422 4.6849 在Simulink 中建立直线一级倒立摆的模型如图2所示。图2 直线一级倒立摆LQR控制仿真模型 得到如下仿真结果： LQR控制的阶跃响应如图3 所示，其中Cart Pos 为小车的位置曲线，Cart Spd 为小车的速度曲线，Pend Ang为摆杆角度曲线，Pend Spd为摆杆角速度曲线，从图中可以看出，闭环控制系统响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，我们可以通过增大控制量来缩短稳定时间和上升时间。图3 LQR控制的阶跃响应可以发现，Q 矩阵中，增加Q1,1使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。这里取Q1,1=1000，Q3,3=200。则K=-31.623 -20.151 72.718 13.155 输入参数，运行得到响应曲线如图4 所示图4 直线一级倒立摆响应曲线 从图中可以看出，系统响应时间有明显的改善，增大Q1, 1和Q3, 3，系统的响应还会更快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起系统振荡。3 直线一级倒立摆LQR实时控制 实时控制实验在MATALB Simulink 环境下进行，直线一级倒立摆L Q R 实时控制模块如图5所示。图5 L Q R 实时控制模块 实时控制模块“Real Control”模块如图6 所示。图6 Real Control 模块内部结构其中“Pendulum”模块为倒立摆系统输入输出模块，输入为小车的速度“V e l ”和“A c c ”，输出为小车的位置“Pos”和摆杆的角度“Angle”。“Pendulum”模块内部结构如图7 所示。图7“Pendulum”模块内部结构 其中“Set Carts Acc and Vel”模块的作用是设置小车运动的速度和加速度，“Get Carts Position”模块的作用是读取小车当前的实际位置，“Get Pends Angle”的作用是读取摆杆当前的实际角度。4 结 论输入参数K值：K=-31.623 -20.151 72.718 13.155，运行结果如图8 所示图8 直线一级倒立摆LQR控制实时控制结果 其中图片上半部分为小车的位置曲线，下半部分为摆杆角度的变化曲线，从图中可以看出，在给定外界干扰后，小车可以在1 . 5 秒内回到平衡位置。达到了较好的控制效果。参考文献1 Fan Xingzhe, Cheng Ning, Zhang Naiyao. Two Fuzzy Cascade Control Schemes of a Trip le Inverted PendulumA.Proceedings of the 3 th World Congress on Intelligent Control and Automation: Vol 3 C.Hefei: IEEE, 2000,1721-1726.2薛安克, 王惠姣. 基于鲁棒L Q 控制的倒立摆系统分析和设计J.上海交通大学学报,2002,36(增刊)1-7.3王正林,王胜开.MATLAB/Simulink与控制系统仿真M.北京:电子工业出版社,2005.4薛安克,吕应权,孙优贤