2014届高三数学实验班假期作业(二).doc

20142014 届高三数学实验班假期作业 二 届高三数学实验班假期作业 二 班级 姓名 学号 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 1 已知集合 A 1 1 2 3 B 1 0 2 则 A B 2 是 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分1x 2 1x 也不必要 3 设复数 z 满足 i z 1 3 2i i 为虚数单位 则 z 的实部是 4 一组样本数据 8 12 10 11 9 的方差为 5 若一个长方体的长 宽 高分别为 1 则它的外接球的表面积是 32 6 如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲 乙两名选手打出的分数的茎叶图 其中 m 为数字 0 9 中的一个 去掉一个最高分和一个最低分后 甲 乙两名选手得分的平均数分别为 则的yx yx 大小关系是 填 yxyxyx 7 在区间 内随机取两个数分别记为 a b 则使得函数 有零点的概 22 2 f xxaxb 率为 ZXXK 8 公差不为零的等差数列的第二 三及第六项构成等比数列 则 n a 642 531 aaa aaa 9 若 2 3 2 cos 3 1 6 sin 则的值为 10 在平面直角坐标系中 双曲线的左顶点为 过双曲线的右焦xOy 22 22 1 0 0 xy Eab ab AE 点作与实轴垂直的直线交双曲线于 两点 若为直角三角形 则双曲线的离心FEBCABC E 率为 11 在平面区域上恒有 则动点所形成平面区域的面积为 1 1x yxy 22axby P a b 12 已知关于的不等式 恰好有一解 则 的最小值x12 2 baxx 0 aRbRa 2 1 a b 为 13 设函数在 R 上存在导数 对任意的有 且在 上 xf x f Rx 2 xxfxf 0 若则实数的取值范围为 xxf 22 2 aafaf a 14 已知为的三个内角 向量 如果当最CBA ABC 2 sin3 2 cos BABA 2 C 大时 存在动点 使得成等差数列 则最大值是 M MBABMA AB MC 二 解答题 本大题共 6 道题 共计 90 分 15 本小题满分 14 分 已知函数 cos sincos 2 sin xxxxxf 求函数 xf的单调递增区间 在中 若为锐角 且 Af 1 3 求边的长 ABC A2 BC BAC 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为直角梯形 AD BC PB 平面 ABCD CD BD PB AB AD 1 点 E 在线段 PA 上 且满足 PE 2EA 1 求三棱锥 E BAD 的体积 2 求证 PC 平面 BDE P A B C D 第 16 题 E 17 本小题满分 14 分 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元 辆 出厂价为 13 万元 辆 年销售量为 5000 辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适当增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比 例为x 0 x 1 则出厂价相应提高的比例为 0 7x 年销售量也相应增加 已知年利润 每辆车的 出厂价 每辆车的投入成本 年销售量 1 若年销售量增加的比例为 0 4x 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例 x应在什么范围内 2 年销售量关于x的函数为 3 5 2 3240 2 xxy 则当x为何值时 本年度的年利润最大 最大 利润为多少 18 本小题满分 16 分 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在x轴上 离心率为 2 1 短轴长为 43 求椭圆 C 的标准方程 2 nP 2 nQ 是椭圆 C 上两个定点 A B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧的动点 若直线 AB 的斜率为 2 1 求四边形 APBQ 面积的最大值 当 A B 两点在椭圆上运动 且满足 APQ BPQ 时 直线 AB 的斜率是否为定值 说明理由 19 本小题满分 16 分 已知函数 ln xx f xeax g xex e是自然对数的底数 1 当时 曲线在1x 处取得极值 求实数a的值 0 a xfy 2 若对于任意 0 xf x R恒成立 试确定实数a的取值范围 3 当1a 时 是否存在 0 0 x 使曲线 Cyg xf x 在点 0 xx 处的切线斜率与 f x 在R上的最小值相等 若存在 求符合条件的 0 x的个数 若不存在 请说明理由 20 本小题满分 16 分 已知正项数列的前项和为 且 n an n S 2 4 nn n a a S n N 1 求的值及数列的通项公式 1 a n a 2 求证 3333 123 11115 32 n aaaa n N 3 是否存在非零整数 使不等式 1 12 1111 1 1 1 cos 21 n n n a aaaa 对一切都成立 若存在 求出的值 若不存在 说明理由 n N B A P Q O x y 18 题 20142014 届高三数学实验班假期作业 二 届高三数学实验班假期作业 二 附加题 附加题 1 本小题满分 10 分 已知矩阵 其中 若点 P 1 1 在矩阵 A 的变换下得到点 1 11 a ARa P 0 3 1 求实数的值 2 求矩阵 A 的特征值及特征向量a 2 本小题满分 10 分 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点 极轴与 x 轴的正半轴重合 曲线 C 的极坐标方程为 直线 l 的参数方程为 t 为参数 t R 试在曲线 C 上求一点 2222 cos3sin3 3 1 xt yt M 使它到直线 l 的距离最大 3 本小题满分10分 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面是以 ABC 为直角的等腰三角形 AC 2 BB1 3 D 为 A1C1的 中点 E 为 B1C 的中点 1 求直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦 2 在线段 AA1上取一点 F 问 AF 为何值时 CF 平面 B1DF 4 本小题满分 10 分 在一次运动会上 某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组成的代表队参加比赛 1 如果随机抽派 5 名队员上场比赛 将主力队员参加比赛的人数记为 X 求随机变量 X 的数学期望 2 若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤 不宜同时上场 替补队员中有 2 名队员身材相对 矮小 也不宜同时上场 那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力队员 教练员有多 少种组队方案 A BC C1 B1 A1 F E D 高三数学参考答案高三数学参考答案 1 11 一 填空题 1 2 充分不必要 3 1 4 2 5 6 7 8 9 2 1 6 yx 3 45 3 9 7 10 2 11 4 12 2 13 14 1 2 32 4 二 解答题 15 解 cos sincos 2 sin xxxxxf xxxcossincos2 2 分 2 1 4 2sin 2 2 12cos2 sin 2 1 2sin 2 1 cos2 xxxxx 3 分 令Zkkxk 2 24 22 2 所以函数 xf的单调增区间为 Zk k k 8 8 3 6 分 因为 Af 1 所以1 2 1 4 2sin 2 2 A所以 2 2 4 2sin A 因为 A 为锐角 所以 4 5 4 2 4 A 8 分 所以 4 3 4 2 A 所以 4 A 9 分 在 ABC 中 由正弦定理得 3 sin 4 sin 2 sinsin AC B AC A BC 即 12 分 解得6 AC 14 分 16 本题满分 本题满分 14 分 分 1 过作 垂足为 E EFABF 因为平面 PBABCD 所以平面平面 PABABCD 又平面平面 PABABCDAB 平面 EFPAB 所以平面 EFABCD 即为三棱锥的高 3 分EFBADE 由平面得 PBABCDABPB 故 EFPB 因为且EAPE2 1 PB 故 5 分 3 1 EF 因为所以在直角梯形中 BDCD ABCD 90oBAD 因为所以 1 ADAB 2 1 BAD S 从而 8 分 18 1 3 1 EFSV BADBADE 2 连结交于 连结 ACBDGEG 因为在直角梯形中 又因为ABCD 90oBAD 1 ADAB 所以从而 45 2 ABDBD 45 CBD 因为所以 10 分 BDCD 2 BC 因为 所以 1 2 ADBCBCAD 2 1 GCAG 又因为 所以 2EAPE EPAEGCAG 所以 12 分 PCEG 因为平面平面 PC EGBDE BDE 所以平面 14 分 PCBDE 17 解 1 由题意得 本年度每辆车的投入成本为 10 1 x 出厂价为 13 1 0 7x 年销售量为 5000 1 0 4x 2 分 因此本年度的利润为 13 10 7 10 1 5000 10 4 yxxx 30 9 5000 1 0 4 xx 即 2 1800150015000 01 yxxx 6 分 由 2 180015001500015000 xx 得 5 0 6 x 8 分 2 本年度的利润为 55 48 49 0 3240 3 5 2 3240 9 03 232 xxxxxxxf 则 3 59 972 5 46 97 2 3240 2 xxxxxf 10 分 由 3 9 5 0 xxxf或解得 当 0 9 5 0 xfxfx 时 是增函数 当 0 1 9 5 xfxfx 时 是减函数 当 9 5 x时 20000 9 5 fxf取极大值万元 12 分 因为 f x在 0 1 上只有一个极大值 所以它是最大值 14 分 所以当 9 5 x时 本年度的年利润最大 最大利润为 20000 万元 15 分 18 解 设 C 方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 由已知 b 32 离心率 222 2 1 cba a c e 得4 a 所以 椭圆 C 的方程为1 1216 22 yx 由 可求得占 P Q 的坐标为 3 2 P 3 2 Q 则6 PQ 设 A 11 yxB 22 y x 直线 AB 的方程为txy 2 1 代人1 1216 22 yx 得012 22 ttxx 由 0 解得44 t 由根与系数的关系得 12 2 21 21 txx txx 四边形 APBQ 的面积 2 21 34836 2 1 txxS 故 当312 0 max St APQ BPQ 时 PA PB 的斜率之和为 0 设直线 PA 的斜率为k 则 PB 的斜率为k PA 的直线方程为 2 3 xky与1 1216 22 yx 联立解得 048 23 4 23 8 43 222 kkxkxk 2 1 43 32 8 2 k kk x 同理 PB 的直线方程 2 3 xky 可得 2 2 43 32 8 2 k kk x 所以 2 21 2 2 21 43 48 43 1216 k k xx k k xx 21 21 21 21 3 2 3 2 xx xkxk xx yy kAB 2 1 48 24 43 48 43 16121216 4 2 2 33 21 21 k k k k k kkkk xx kxxk 所以直线 AB 的斜率为定值 2 1 19 解 1 由在1x 处取得极值得 0 aexf x xfy aef 1 经检验是的极小值点 ea ea xf 2 x fxea 当0a 时 0 fxf x 在R上单调递增 且当x 时 0 x eax f x 故 0f x 不恒成立 所以0a 不合题意 6 分 当0a 时 0 x f xe 对xR 恒成立 所以0a 符合题意 当0a 时令 0 x fxea 得ln xa 当 ln xa 时 0fx 当 ln xa 时 0fx 故 f x在 ln a 上是单调递减 在 ln a 上是单调 递增 所以 min ln ln 0 f xfaaaaae 又0a 0 ae 综上 0 ae 10 分 3 当1a 时 由 2 知 min ln ln 1f xfaaaa 设 ln xx h xg xf xexex 则 11 ln1 ln1 1 xxxx h xexeeex xx 假设存在实数 0 0 x 使曲线 Cyg xf x 在点 0 xx 处的切线斜率与 f x在R上的最 小值相等 0 x即为方程的解 13 分 令 1h x 得 1 ln1 0 x ex x 因为0 x e 所以 1 ln10 x x 令 1 ln1xx x 则 22 111 x x xxx 当01x 是 0 x 当1x 时 0 x 所以 1 ln1xx x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 1 0 x 故方程 1 ln1 0 x ex x 有唯一解为 1 所以存在符合条件的 0 x 且仅有一个 0 1x 16 分 20 1 由 2 4 nn n a a S 当时 解得或 舍去 2 分1n 11 11 2 4 a a aS 1 2a 1 0a 当时 2n 由 11 1 2 2 44 nnnn nnn a aaa aSS 22 11 2 nnnn aaaa 则 0 n a 1 0 nn aa 1 2 nn aa 是首项为 2 公差为 2 的等差数列 故 4 分 n a2 n an 2 证法一 证法一 3322 11111 2 88 1 8 1 1 n ann nn nnn n 4 分 111 2 16 1 1 n nnn n 当时 2n 33333333 123 11111111 246 2 n aaaan 3 11111111 216 1 22 32 33 4 1 1 nnn n 7 分 11 111115 816 2 1 816232n n 当时 不等式左边显然成立 8 分1n 3 1 115 832a 证法二 证法二 322 4 1 44 2 0nn nn nnn n 3 4 1 nn n 4 分 333 1111111 2 832 1 321 n annn nnn 2 n 当时 2n 33333333 123 11111111 246 2 n aaaan 7 分 3 1111111111115 1 1 232223183283232nnn 当时 不等式左边显然成立 8 分1n 3 1 115 832a 3 由 得 2 n an 1 1 coscos 1 1 2 n n a n 设 则不等式等价于 12 1 111 1 1 1 1 n n n b a aaa 1 1 n n b 9 1 1 1 12122 1 21 23 1 123 11 22 n n n n n abnn bnn n a n a 2 2 484 1 483 nn nn 分 数列单调递增 10 分0 n b 1nn bb n b 假设存在这样的实数 使得不等式对一切都成立 则 1 1 n n b n N 当为奇数时 得 11 分n min1 2 3 3 n bb 当为偶数时 得 即 12 分n min2 8 5 15 n bb 8 5 15 综上 由是非零整数 知存在满足条件 14 分 8 5 2 3 153 1 附加题答案 1 解 1 4 a 2 特征值 3 对应特征向量为 特征值 1 对应特征向量为 2 1 2 1 2 解解 曲线 C 的普通方程是 2 2 1 3 x y 直线 l 的普通方程是 330 xy 设点 M 的直角坐标是 则点 M 到直线 l 的距离是 3cos sin 3cos3sin3 2 d 32sin 1 4 2 因为 所以22sin 2 4 当 即 sin 1 4 2 42 kk Z 即Z 时 d 取得最大值 3 2 4 kk 此时 62 3cos sin 22 综上 点 M 的极坐标为时 该点到直线 l 的距离最大 7 2 6 注注 凡给出点 M 的直角坐标为 不扣分 62 22 3 1 因为直三棱柱 ABC A1B1C1中 BB1 面 ABC ABC 2 以 B 点为原点 BA BC BB1分别为 x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系 因为 AC 2 ABC 90 所以 AB BC 2 从而 B 0 0 0 A 0 0 C 0 0 22 B1 0 0 3 A1 0 3 C1 0 3 22 D 3 E 0 2 2 2 2 2 2 3 2 所以 CA1 r 2