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第七章 微积分的数值计算方法,Numerical Analysis,7.3 高斯型求积公式,问题: 是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式 更高代数精度的求积公式? 最高能达到多大?,度,5,为具有一般性，研究带权积分,求积公式为,为不依赖于 的求积系数.,(1),为求积节点，,可适当选取,使（1）具有 次代数精度.,问题,如果求积公式(1) 具有 次代数精度，,则称其节点 为高斯点，相应公式(1)称为高斯求积公式.,定义,如何构造高斯求积公式？,根据定义要使(1) 具有 次代数精度，只要对,令(1)精确成立，,可以由上式求出,试构造下列积分的高斯求积公式：,例,令公式(1)对于 准确成立，,由于非线性方程组，通常 就很难求解.,而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.,高斯点的基本特性,尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。,高斯点与正交多项式的零点,（2）,11,因,即有,故(2)成立.,充分性.,用 除 ，,记商为,余式为,即 ,其中 .,对于,由(2)可得,证明,必要性.,设,则,（3）,12,由于求积公式(1)是插值型的，它对于 是精确的，,即,再注意到,知,从而由(3)有,13,可见求积公式(1)对一切次数不超过 的多项式均精确成立. 因此， 为高斯点.,定理表明在 上带权 的 次正交多项式的零点就是求积公式(1)的高斯点.,有了求积节点 ，再利用,对 成立，,解此方程则得,14,Gauss型求积公式的构造方法,(1)求出区间a,b上权函数为 正交多项式pn+1(x) .,(2)求出pn+1(x)的n个零点x0 , x1 , xn 即为Gauss点.,(3)计算积分系数 。,常见的正交多项式及高斯求积公式,勒让德多项式(Legendre)切比雪夫多项式(Chebyshev)拉盖尔多项式(Laguerre)埃尔米特多项式 (Hermite ),高斯-勒让德求积公式,2. Legendre多项式的性质:,19,令它对 准确成立，即可定出,这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式,是中矩形公式.,若取 的零点 作为节点构造求积公式,再取 的两个零点 构造求积公式,20,令它对 都准确成立，有,由此解出,三点高斯-勒让德公式的形式是,列出了高斯-勒让德求积公式的节点和系数.,从而得到两点高斯-勒让德求积公式,高斯-切比雪夫求积公式,2. Chebyshev多项式的性质:,一般积分区间a,b的处理,高斯积分公式的数值稳定性,27,Gauss求积公式的余项：,/* 设P为f 的过x0 xn的插值多项式 */,插值
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