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高中数学二轮复习高中数学二轮复习 数数 列列 一 知识点再回顾一 知识点再回顾 1 等差数列等差数列 an 中 中 an a1 n 1 d an am n m d d an am n m 若 m n p q 2t 则 am an ap aq 2at Sn na1 d n n 1 2 n a1 an 2 Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n 组成等差数列 新公差为 2 dn d 11 22 n nn nSnaSaSaSSa 中奇中中奇中偶偶 为奇数时 2 nd nSS 奇偶 为偶数时 n S n 为等差数列 00 0 dd d 单调性 为递增数列 为递减数列 为常数列 2 等比数列等比数列 an 中 中 an a1qn 1 an am qn m 若 m n p q 2t 则 am an ap aq a 2 t Sn Error 要注意 q 单调性 当或时 为递增数列 当 或时 为递减数列 当 1 0 01 a q 1 0 1 a q 1 0 1 a q 1 0 01 a q 时 为摆动数列 当时 为常数列 0q 1q 3 3 an与与 Sn的关系式的关系式 an Error 4 4 等差数列的判定方法主要有以下几种 等差数列的判定方法主要有以下几种 1 1 2 nnn aad nda 为常数是等差数列 2 2an an 1 an 1 n 2 an 是等差数列 3 an kn b k b 为常数 an 是等差数列 4 Sn An2 Bn A B 为常数 an 是等差数列 5 等比数列的判定方法主要有以下几种 等比数列的判定方法主要有以下几种 1 利用定义常数 1 n n a a 2 利用等比中项 2 11 2 nnn aaannN 且 3 an kqn k q 是不为 0 的常数 an 是等比数列 4 Sn A Aqn 是不为 0 的常数 an 是等比数列 1 1 a A q 0 1qq 6 求数列通项公式的常用方法求数列通项公式的常用方法 公式法 利用 累加法 累乘法 构造等比 迭代法 1 2 1 1 nn SSn S n n a 1nn apaq 7 7 求数列前求数列前 n n 项和的常用方法项和的常用方法 1 错位相减法 2 倒序相加法 3 裂项相消发 4 分组求和法 二 考点分析二 考点分析 考点一 等差等比数列的性质及运算考点一 等差等比数列的性质及运算 例例 1 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a2 6 6a1 a3 30 求 an和 Sn 例例 2 设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 若 a1 1 公差 d 2 Sk 2 Sk 24 则 k 例例 3 若等比数列 an 满足 anan 1 16n 则公比为 例例 4 4 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为 Sn 若 Sn 2 S3n 14 则 S4n等于 考点二 由递推关系求数列通项考点二 由递推关系求数列通项 1 对 Sn求 an或 Tn a1 a2 a3 an求 an一定要注意分 n 1 n 2 两步 2 对于由数列的递推公式求数列通项 an的问题 一般有以下几种模型 1 递推模型 an 1 can d 可以通过待定系数法 an 1 c an 化为等比数列 2 递推模型 an 1 an f n 与 an 1 f n an 可以分别通过叠加 叠乘方法求得通项 3 递推模型 可以通过取倒数 化为等差数列 1 1 n n n a a c a 1 11 nn c aa 例例 1 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 2 求通项公式 an n 3 例例 2 已知数列中 n a 11 2 21 nnn aaaa 求 例例 3 已知数列中 n a 11 1 1 nnn n aaaa n 求通项 考点三 数列求和考点三 数列求和 例例 1 已知等差数列 an 满足 a2 0 a6 a8 10 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列 的前 n 项和 an 2n 1 例例 2 等比数列 an 的各项均为正数 且 2a1 3a2 1 a 9a2a6 2 3 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 的前n项和 1 bn 练习题练习题 一 选择题一 选择题 1 设 n S为等比数列 n a的前n项和 25 80aa 则 5 2 S S A 11 B 5 C 8 D 11 2 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 3 设 n S为等比数列 n a的前n项和 已知 34 32Sa 23 32Sa 则公比q A 3 B 4 C 5 D 6 4 设 an 是有正数组成的等比数列 n S为其前 n 项和 已知 a2a4 1 3 7S 则 5 S A 15 2 B 31 4 C 33 4 D 17 2 5 如果等差数列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 6 等比数列 n a中 1 2a 8 a 4 函数 128 f xx xaxaxa 则 0f A 6 2 B 9 2 C 12 2 D 15 2 7 A B C 2 D 不存在 8 设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 9 在等差数列 n a中 19 10aa 则 5 a的值为 A 5 B 6 C 8 D 10 10 设 n s为等比数列 n a的前 n 项和 25 80aa 则 5 2 S S A 11 B 8 C 5 D 11 11 在等比数列 n a中 20102007 8aa 则公比 q 的值为 A 2 B 3 C 4 D 8 12 在等比数列 n a中 1 1a 公比1q 若 12345m aa a a a a 则 m A 9 B 10 C 11 D 12 13 已知数列 n a的首项 1 0a 其前n项的和为 n S 且 11 2 nn SSa 则lim n n n a S A 0 B 1 2 C 1 D 2 2 111 lim 1 333n x 5 3 3 2 14 已知 n a是首项为 1 的等比数列 n s是 n a的前 n 项和 且 36 9ss 则数列 1 n a 的前 5 项和为 A 15 8 或 5 B 31 16 或 5 C 31 16 D 15 8 15 已知 n a为等比数列 Sn是它的前 n 项和 若 231 2aaa 且 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 则 5 S A 35 B 33 C 31 D 29 16 已知各项均为正数的等比数列 n a 123 a a a 5 789 a a a 10 则 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 17 已知各项均为正数的等比数列 n a 中 123 a a a 5 789 a a a 10 则 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 18 设 n a是任意等比数列 它的前n项和 前2n项和与前3n项和分别为 X Y Z 则下列等式中恒成立的 是 A 2XZY B Y YXZ ZX C 2 YXZ D Y YXX ZX 19 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 1 11a 46 6aa 则当 n S取最小值时 n 等于 A 6 B 7 C 8 D 9 2 填空题填空题 1 设 11 2 2 3 23 nn nnNxx 2 012 n n aa xa xa x 将 0 k akn 的最小值记为 n T 则 2345 3355 1111 0 0 2323 n TTTTT 其中 n T 2 观察下列等式 13 23 1 2 2 13 23 33 1 2 3 2 13 23 33 43 1 2 3 4 2 根据上述规律 第四个等式为 3 设 n S为等差数列 n a的前n项和 若 36 324SS 则 9 a 4 已知数列 n a满足 11 33 2 nn aaan 则 n a n 的最小值为 5 设 an 是等比数列 公比2q Sn为 an 的前 n 项和 记 2 1 17 nn n n SS TnN a 设 0 n T为数列 n T 的 最大项 则 0 n 6 若数列 n a满足 对任意的nN 只有有限个正整数m使得 m an 成立 记这样的m的个数为 n a 则得到一个新数列 n a 例如 若数列 n a是1 2 3 n 则数列 n a 是0 1 2 1 n 已 知对任意的Nn 2 n an 则 5 a n a 7 在等比数列 n a中 若公比q 4 且前 3 项之和等于 21 则该数列的通项公式 n a 8 函数 y x2 x 0 的图像在点 ak ak2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak 1 k 为正整数 a1 16 则 a1 a3 a5 3 3 问答题问答题 1 已知点 1 3 1 是函数 0 aaxf x 且1 a 的图象上一点 等比数列 n a的前n项和为cnf 数 列 n b 0 n b的首项为c 且前n项和 n S满足 n S 1 n S n S 1 n S 2n 1 求数列 n a和 n b的通项公式 2 若数列 1 1 nnb b 前n项和为 n T 问 n T 2009 1000 的最小正整数n是多少 2 在数列 n a中 11 11 1 1 2 nn n n aaa n I 设 n n a b n 求数列 n b的通项公式 II 求数列 n a的前n项和 n S 3 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 1 a 1 42 nn Sa I 设 1 2 nnn baa 证明数列 n b是等比数列 II 求数列 n a的通项公式 4 已知数列 n a满足 1 12 12 2 nn n aa aaanN 2 令 1nnn baa 证明 n b是等比数列 求 n a的通项公式 5 设数列的前项和为 已知 n an n S 1 aa 1 3n nn aS n N 设 求数列的通项公式 3n nn bS n b 若 求的取值范围 1nn aa n Na 6 设数列的前项和为 已知 n an n S 21 n nn babS 证明 当时 是等比数列 2b 1 2n n an 求的通项公式 n a 7 在数列中 且 n a 1 1a 2 2a 11 1 nnn aq aqa 2 0nq 设 证明是等比数列 1nnn baa nN n b 求数列的通项公式 n a 若是与的等差中项 求的值 并证明 对任意的 是与的等差中项 3 a 6 a 9 aq nN n a 3n a 6n a 8 设数列满足 n a 21 123 333 3 n n n aaaa a N 求数列的通项 n a 设 求数列的前项和 n n n b a n bn n S 9 在数列中 n a 1 1a 1 22n nn aa 设 证明 数列是等差数列 1 2 n n n a b n b 求数列的前项和 n an n S 10 已知各项均为正数的数列 的前 n 项和满足 且 n a1 n S 2 1 6NnaaS nnn 1 求 的通项公式 n a 2 设数列 满足 并记为 的前 n 项和 求证 n b1 12 n b n a n T n b 2 3 log13NnaT nn 11 设数列的首项 n a 1 1 3 01 2 3 4 2 n n a aan 1 求的通项公式 n a 2 设 证明 其中为正整数 32 nnn baa 1nn bb n 12 数列 an 的前 n 项和记为 Sn 11 1 211 nn aaSn 1 求 an 的通项公式 2 等差数列 bn 的各项为正 其前 n 项和为 Tn 且 又成等比数列 3 15T 112233 ab ab ab 求 Tn 参考答案参考答案 1 1 选择题选择题 1 解析 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 代入所求式可知 答案选 D 2 解析 17 345441274 7 312 4 728 2 aa aaaaaaaaa 3 解析 两式相减得 343 3aaa 4 43 3 4 4 a aaq a 4 解析 由 a2a4 1 可得 24 1 1a q 因此 1 2 1 a q 又因为 2 31 1 7Saqq 联力两式有 11 3 2 0 qq 所以 q 1 2 所以 5 5 1 4 1 31 2 1 4 1 2 S 故选 B 5 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 6 解析 考虑到求导中 含有 x 项均取 0 则 0f只与函数 f x的一次项有关 得 412 123818 2a aaaa a 7 解析 考查等比数列求和与极限知识 解法一 先求和 然后对和取极限 1 1 3 3 lim 1 2 1 3 n n 8 解析 887 644915aSS 9 解析 由角标性质得 195 2aaa 所以 5 a 5 10 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入所求式可知答案 选 A 11 解析 8 3 2007 2010 q a a 2 q 12 答案 C 13 解析 由 11 2 nn SSa 且 211 2 nn SSa 作差得 an 2 2an 1 又 S2 2S1 a1 即 a2 a1 2a1 a1 a2 2a1 故 an 是公比为 2 的等比数列 Sn a1 2a1 22a1 2n 1a1 2n 1 a1则 1 1 1 21 limlim 21 2 n n n nn n aa Sa 14 显然 q 1 所以 36 3 9 1 q 1 12 1 q1 q qq q 所以 1 n a 是首项为 1 公比为 1 2 的等比数列 前 5 项和 5 5 1 1 31 2 1 16 1 2 T 15 C 设 n a 的公比为q 则由等比数列的性质知 23141 2aaa aa 即 4 2a 由 4 a与 2 7 a的等差中 项为 5 4 知 47 5 22 4 aa 即 74 15151 2 22 24244 aa 3 7 4 1 8 a q a 即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa 即 1 16a 16 解析 由等比数列的性质知 3 1231322 5a a aa aaa A 3 7897988 a a aa aaa A10 所以 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 17 18 分析 取等比数列1 2 4 令1n 得1 3 7XYZ 代入验算 只有选项 D 满足 方法技巧 对于含有较多字母的客观题 可以取满足条件的数字代替字母 代入验证 若能排除 3 个选项 剩下唯一正确的就一定正确 若不能完全排除 可以取其他数字验证继续排除 本题也可以首项 公比即项数 n 表示代入验证得结论 19 解析 设该数列的公差为d 则 461 282 11 86aaadd 解得2d 所以 22 1 11212 6 36 2 n n n Snnnn 所以当6n 时 n S取最小值 2 2 填空题填空题 2 解析 第 i 个等式左边为 1 到 i 1 的立方和 右边为 1 到 i 1 和的完全平方 所以第四个等式为 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 或 152 3 解析 填 15 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad 解得 1 1 2 a d 91 815 aad 4 解析 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2 1 2 n 1 33 33 n2 n 所以 33 1 n a n nn 设 f n 33 1n n 令 f n 2 33 10 n 则 f n在 33 上是单调递增 在 0 33 上是递减的 因为 n N 所以当 n 5 或 6 时 f n有最小值 又因为 5 53 55 a 6 6321 662 a 所以 n a n 的最小值为 6 21 62 a 5 解析 本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用 2 11 2 1 17 1 2 1 2 1 2 17 2 16 1212 2 12 2 nn nn n nn aa T a 116 2 17 12 2 n n 因 为 16 2 2 n n 8 当且仅当 2 n 4 即 n 4 时取等号 所以当 n0 4 时 Tn有最大值 6 7 解析 由题意知 111 41621aaa 解得 1 1a 所以通项 n a n 1 4 8 解析 在点 ak ak2 处的切线方程为 2 2 kkk yaaxa 当0y 时 解得 2 k a x 所以 1135 164 121 2 k k a aaaa 3 3 问答题问答题 4 1 解 解 1 1 1 3 fa Q 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc 2 21afcfc 2 9 3 2 32 27 afcfc 又数列 n a成等比数列 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a 所以 1c 又公比 2 1 1 3 a q a 所以 1 2 11 2 3 33 nn n a nN 1111nnnnnnnn SSSSSSSS Q 2n 又0 n b 0 n S 1 1 nn SS 数列 n S构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列 111 n Snn 2 n Sn 当2n 2 2 1 121 nnn bSSnnn 21 n bn nN 2 1 22 33 41 1111 n nn T bbb bb bb b L 1111 1 33 55 7 21 21nn K 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn K 11 1 22121 n nn 由 1000 212009 n n T n 得 1000 9 n 满足 1000 2009 n T 的最小正整数为 112 2 解 解 I 由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出数列 n b的通项公式 1 1 2 2 n n b nN II 由 I 知 1 2 2 n n n an n S 1 1 2 2 n k k k k 1 11 2 2 nn k kk k k 而 1 2 1 n k kn n 又 1 12 n k k k 是一个典型的错位相减法模型 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S 1 n n 1 2 4 2n n 3 解 I 由 1 1 a 及 1 42 nn Sa 有 121 42 aaa 21121 325 23aabaa 由 1 42 nn Sa 则当2n 时 有 1 42 nn Sa 得 1111 44 22 2 nnnnnnn aaaaaaa 又 1 2 nnn baa 1 2 nn bb n b 是首项 1 3b 公比为 的等比数列 II 由 I 可得 1 1 23 2n nnn baa 1 1 3 224 nn nn aa 数列 2 n n a 是首项为 1 2 公差为 3 4 的等比数 列 1331 1 22444 n n a nn 2 31 2n n an 4 解 解 1 证 121 1 baa 当2n 时 1 111 11 222 nn nnnnnnn aa baaaaab 所以 n b是以 1 为首项 1 2 为公比的等比数列 2 由 1 知 1 1 1 2 n nnn baa 当2n 时 121321 nnn aaaaaaaa 2 11 1 1 22 n 1 1 1 2 1 1 1 2 n 2 21 1 1 32 n 1 521 332 n 当1n 时 1 1 1 521 1 332 a 所以 1 521 332 n n anN 5 解 依题意 即 11 3n nnnn SSaS 1 23n nn SS 由此得 因此 所求通项公式为 1 1 32 3 nn nn SS 1 3 3 2 nn nn bSa n N 由 知 于是 当时 1 3 3 2 nn n Sa n N2n 1nnn aSS 112 3 3 23 3 2 nnnn aa 12 2 3 3 2 nn a 12 1 4 3 3 2 nn nn aaa 2 2 3 2123 2 n n a A 当时 2n 2 1 3 1230 2 n nn aaa A 9a 又 211 3aaa 综上 所求的的取值范围是 a 9 6 解 解 由题意知 且 1 2a 21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 两式相减得 即 11 21 n nnn b aaba 1 2n nn aba 当时 由 知2b 1 22n nn aa 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 所以是首项为 1 公比为 2 的等比数列 1 1 1 210 n a 1 2n n an 当时 由 知 即2b 11 22 nn n an 1 1 2n n an 当时 由由 得2b 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 7 解 解 证明 由题设 得 即 11 1 nnn aq aqa 2n 11 nnnn aaq aa 1nn bqb 2n 又 所以是首项为 1 公比为的等比数列 121 1baa 0q n bq 由 21 1aa 32 aaq 2 1nn aaq 2n 将以上各式相加 得 2 1 1 n n aaqq 2n 所以当时 2n 1 1 1 1 1 1 n n q q q a n q 上式对显然成立 1n 由 当时 显然不是与的等差中项 故 1q 3 a 6 a 9 a1q 由可得 由得 3693 aaaa 5228 qqqq 0q 36 11qq 整理得 解得或 舍去 于是 3 23 20qq 3 2q 3 1q 3 2q 另一方面 211 3 3 1 11 nnn nn qqq aaq qq 151 6 6 1 11 nnn nn qqq aaq qq 由 可得 36nnnn aaaa nN 所以对任意的 是与的等差中项 nN n a 3n a 6n a 8 解 I 21 123 33 3 3 n n n aaaa 22 1231 1 33 3 2 3 n n n aaaan 1 11 3 2 333 n n nn an 1 2 3 n n an 验证时也满足上式 1n 1 3 n n anN II 3n n bn 23 1 32 33 3 3n n Sn 231 233333 nn n Sn 2341 31 32 33 3 3n n Sn 1 1 33 23 1 3 n n n Sn 11 13 33 244 nn n n S 9 解 1 1 22n nn aa 1 1 1 22 nn nn aa 1 1 nn bb 则为等差数列 n b 1 1b n bn 1 2n n an 2 12210 22 1 232221 nn n nnS nn n nnS22 1 2322212 1321 两式相减 得 122222212 1210 nnnn n nnS 10 解 由 解得 a1 1 或 a1 2 由假设 a1 S1 1 因此 a1 2 2 1 6 1 1111 aaSa 又由 an 1 Sn 1 Sn 2 1 6 1 2 1 6 1 11 nnnn aaaa 得 an 1 an 3 0 或 an 1 an 因 an 0 故 an 1 an不成立 舍去 因此 an 1 an 3 0 从而 an 是公差为 3 首项为 2 的等差数列 故 an 的通项为 an 3n 2 证法一 由可解得 1 12 b n a 13 3 log 1 1log n n a b z n zz 从而 13 3 5 6 2 3 log 21 n n bbbT znn 因此 23n 2 13 3 5 6 2 3 log 3 log13 3 n n aT znzn 令 则 23n 2 13 3 5 6 2 3 3 n n xf 2 3 3 23 53 33 23n 33n 53 23 1 nn n n n nf nf 因 故 079 23 53 33 22 nnnn