数学北师大版九年级下册切线长定理（第一课时）.doc

第五章 圆5.7切线长定理1课时学习目标1. 能说出切线长的含义，并能在图形中指出相应的线段.2. 记住切线长定理的内容，会用几何语言表示它；能熟练运用切线长定理解决相应问题课前导学温故与预习课前热身1. 与三角形三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形，内切圆的圆心是三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形三边的距离相等.2. 已知线段a、b、c，且，则a=1，b=2，c=33. 如下左图已知等腰三角开ABC，AB=BC=5cm，AC=3cm，ED是AB边上的中垂线，则ADC的周长为8cm.4. 如上右图,在ABC中,AB=AC,BAC=120,A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则ADE等于60度自主学习 自学教材P94-95，尝试完成以下题目。1. 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长2. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.3. 已知四边形ABCE边AB、BC、CD、DA和O分别相切于L、M、N、P。则AB+CDAD+BC（填、）4. 已知PA，PB是O的切线，A，B为切点，O的半径为4cm，点P到圆心的距离为8cm,那么PA=PB=，两切线的夹角等于60度互动课堂 合作与探究探究点1. 切线长的定义及切线长定理 1 画一画。过O外一点P画圆的切线，与你的同桌交流一下，完成以下问题：通过画图，可以观察出过圆外一点可以画出圆的两条切线.一般地，过圆外一点画圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。试一试。如右图，PA和PB分别与O相切于点A、B，点P到O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？答：线段PA或线段PB想一想。切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线，不可以度量；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长，可以度量。注意：切线长的两个端点分别是切线上的已知点和切点。2 切线长定理。(1)动手操作，先画一画，从O外一点P画O的两条切线，切点分别为A、B，再折一折，看看这个图形是能否完全重合，最后量一量线段PA和PB的长度，APO和BPO的大小。你能发现什么？和同桌交流，由此你能得出什么规律?(2)发现规律，猜想结论：通过动手操作，我发现了：这个图形是轴对称图形.通过测量，我发现了：PA=PB，APO=BPO通过与同桌交流，我们猜想结论：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.(3)验证猜想是否正确: 请规范证明（写出已知、求证并证明）已知：如图，PA、PB是O的两条切线，切点分别是A、B求证：（1）PA=PB（2）OPA=OPB证明：连结OA、OBPA、PB与O相切，点A、B是切点OAAP，OBBPOAP=OBP=90OA=OB，OP=OPRtAOPRtBOPPA=PBOPA=OPB(4)定理剖析用几何语言表示定理：答：PA、PB分别是O的切线，点A、B分别为切点，（或者PA、PB分别与O相切于点A、B）PA=PB，APO=BPO.切线长定理的作用：提供了证明线段相等和角相等的方法。归纳圆的切线的六个性质：（）切线和圆只有一个公共点；（）切线和圆心的距离等于圆的半径；（）切线垂直于过切点的半径；（）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。（）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。探究点2. 圆的外切四边形的性质O已知：如图圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H1. 图中有哪些相等的线段答：DG=DH，AH=AE，BE=BF，CF=CG2. 猜想四边形的两组对边怎样的关系答：四边形的两组对边的和相等3. 完整证明上述结论已知：（如图）四边形ABCD的四边分别与O相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=BC+AD证明：AB、AD、BC、CD分别切O于点E、F、G、H AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DHAE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DHAB+CD=AD+BC.4. 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等5. 归纳圆的内接四边形与圆的外切四边形的性质圆的内接四边形的对角互补，这是角的关系圆的外切四边形的对边之和相等，这是边的关系小组合作展示：1. 已知：P为O外一点，PA、PB为O的切线，A、B为切点，BC是直径。求证：ACOP证明:连接ABPA、PB为O的切线，A、B为切点PA=PB,OP平分APBOPABBC是O的直径CAB90CAABACOP方法点睛：切线长定理为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据。常用的辅助线有：（1）分别连结圆心和切点、（2）连结两切点、（3）连结圆心和圆外一点。2. 已知：如图，O是RtABC的内切圆，C是直角，三边长分别是a，b，c.求O的半径r. 解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则ODAB，OEBC，OFAC O与RtABC的三边都相切ADAF,BEBD,CECF又 C是直角四边形OECF是正方形设AD= x , BE= y ,CEr则有解得结论： 方法点睛：方程（组）是解决几何计算题的有效方法。请同学们记住三角形内切圆半径的计算公式。如果RtABC的直角边为a、b，斜边为c，则RtABC的内切圆的半径r；如果ABC的三边为a、b、c，面积为S，则ABC的内切圆的半径r。自我展练1. 如图：过O直径AB端点分别作AE、BF切O于A、B，EF切O于C。求证：OEOF 证明： AD、BC、CD切O于A、B、E DO平分ADE，CO平分BCE 1=2=ADE，3=4=BCE AB是O的直径，AD、BC切O于A、B ABAD，ABBC AD/BC ADC+BCE=180 2+4=ADE+BCE=（ADE+BCE）=90 COD=90 OCOD2. 已知：ABC是O外切三角形，切点为D，E，F。若BC14cm，AC9cm，AB13cm。求AF，BD，CE。解：设AF=xcm,BD=ycm,CE=zcm则AE=AF=xcm,DC=BD=ycm,AE=EC=zcm依题意得方程组AF、BD、CE的长分别为4cm、9cm、5cm。当堂过关 以练助学探究点1. 切线长定理1. 如下左图已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到O的切线长为8cm，则PDE的周长为（ A ）A 16cm B. 14cm C. 12cm D. 8cm2. 如上右图PA、PB切圆于A、B两点，APB=50连结PO，则APO=25度，BAP=APB=65度。3.（如图）以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周长是否会因K点的变动而变化？为什么？答：不会。EF,AB,DC都是圆的切线EK=EB,FK=FCAE+EF+FD+AD=AE+EK+KF+FD+AD= AE+EB+CF+FD+AD=AB+CD+AD=3AD又AD=BC四边形AEFD的周长为3BC四边形AEFD的周长不会因K点的改变而改变探究点2. 圆的外切四边形1. 一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为522.四边形ABCD外切于O，（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4则n=5，（2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48则最长的边为16.3.已知梯形ABCD是圆的外切等腰梯形，ADBC，AB=DC，梯形的中位线长为3cm，求腰长. 解：梯形ABCD是圆的外切等腰梯形AD+BC=AB+DC=2ABAB=(AD+BC)=3=1.5（cm）等腰梯形ABCD的腰长为1.5cm.结论：圆外切等腰梯形的腰长等于中位线长。反思小结：1.知识要点：（1）圆的切线长定理，（2）圆的切线性质归纳，（3）三角形内切圆的半径公式。2.思想方法：（1）学会用基本图形解决问题，明白切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。（2）方程思想解决几何问题。3.数学定理学习方法：分清定理的题设、结论可以更好地理解和记忆定理，明白定理的作用。导学分级训练A级 基础过关训练 1. 给出下列命题:任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; 任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中真命题共有( C )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如下左图，PA、PB分别切O于点A、B，AC是O的直径，连结AB、BC、OP，则与PAB相等的角(不包括PAB本身)有 ( C ) A1个 B2个 C3个 D4个3. 如上中图，PA、PB分别与O相切于点A、B，写出图中相等的线段PA=PB、AC=BC、OA=OB=OD=OE，垂直关系OAPA、OBPB、OPAB，相等的弧=，=，点D是PAB的内心4. 如上右图，PA，PB是O是切线，A，B为切点，AC是O的直径，若P=46，则BAC=23度5.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( D ) A21 B20 C19 D186.如图，PA、PB是O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC=12，P=60o，求弦AB的长解：连接OPPA、PB是O的两条切线，切点分别为点A、BPA=PB,OP平分APBP=60oABP是等边三角形，OPA=30o直径AC=12, OA=6答题图在RtOAP中， AB=AB的长为。7. 如图，两同心圆O，PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点，求证：AC=BD。证明：连结PO PA、PB为大圆切线 PA=PB，APO=BPO又 PC、PD为小圆切线 PC=PD，CPO=DPO答题图 APC=APOCPO=BPODPO=BPD 在PAC和PBD中 PACPBD AC=BD8. 已知等边ABC和M.（1）如图，若M与BA的延长线AK及边AC均相切，求证：AMBC;图图（2）如图，若M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，求证：四边形ABCM是平行四边形证明：（1）连接AM，ABC是等边三角形，B=BAC=60。KAC=180BAC=120。M与BA的延长线AK及边AC均相切，KAM=CAM=KAC=120=60。KAM=B=60。AMBC。答题图（2）ABC是等边三角形，B=BAC=ACB=60。KAC=180BAC=120，FCA=120。M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，KAM=CAM=KAC=120=60，FCM=ACM=FCA=120=60。KAM=B=60，FCM=B=60。AMBC，CMAB，四边形ABCM是平行四边形。B级 能力提升训练 9.如图，RtABC的内切圆O与两直角边AB，BC分别相切与点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若O的半径为r，则RtMBN的周长为（C）A. r B. r C.2r D. r10.已知：如图，在ABC中，tanB=，AB=5，BC=6，则ABC内切圆O的半径r为.解：作ABC的高AD.解直角三角形可得AD=3，CD=2，AC=，由面积法，ABr+BCr+ACr=BCADr=ABC内切圆O的半径r为.11.如图，在ABC中，C=90,AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若O的圆心在线段BP上，且O与AB 、AC都相切，求O的半径。解：设O与AB相切于F，与AC相切于E，O的半径为r。连接OE，OF，AC=8，AB=10，BC=6,答题图AP=2，CP=6，CP=BC，BPC=45OP=r，由勾股定理知道：BP=，OB=由切线长定理知道：AF=AE=2+r，所以BF=10(2+r)=8r在RtOBF中有 解得r=1O的半径为1.12. 如图，RtABC中，C90,BC3,AC4, O为RtABC的内切圆.（1）求RtABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围. 解：（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。在RtABC中，BC3,AC4, AB5 O与RtABC的三边都相切ADAF,BEBF,CECD由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD设AD=x , BE= y ,CE r 答题图则有xr4yr3xy5解得r1 RtABC的内切圆的半径为1（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。OBBC3半径r的取值范围为0r3C级 拓展思维训练 13. （2014浙江金华，第16题4分）如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且AOB=120，折线NGGHHEEF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子A，B与楼梯两边相切，且AOGH.（1）如图2，若点H在线段OB上，则的值是（2）如果一级楼梯的高度，点H到线段OB的距离d满足条件，那么小轮子半径r的取值范围是14.如图，在四边形ABCD中，DAE=ABC