二面角的求法_ppt.ppt

二面角的求法 1 掌握二面角的定义法 2 掌握二面角的三垂线法 3 掌握二面角的垂面法 4 掌握二面角的射影面积法 学习目标 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 二面角的定义 复习 2 二面角的表示方法 二面角 AB 二面角 l 二面角C AB D 二面角C AB E 1 定义 二面角的平面角 二面角的平面角必须满足 二面角的平面角的范围 0 180 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 注意 与顶点位置无关 APB A1P1B1 例1 如上图 长方体AC1中 AB 3 BC 1 CC1 3 求 平面A1BC与平面ABCD 平面C1AB与平面ABCD所成二面角的大小 解 AB BC A1B BC 连接A1B D1C A1BA就是二面角A1 BC A的平面角 又 在Rt A1AB中tan A1BA A1A AB A1BA 30 二面角A1 BC A为30 连接C1B D1A BC AB BC1 AB C1BC就是二面角C1 AB C的平面角 又 在Rt A1AB中tan C1BC C1C BC C1BC 60 二面角A1 BC A为60 一 几何法 1 定义法 以二面角的棱a上任意一点O为端点 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA OB 则 AOB就是此二面角的平面角 2 射影面积法 如图所示 AD 平面M 设 AHD 是二面角A BC D的平面角 由cos AD AH可得 ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影 DBC以及两者所成的二面角 之间的关系 A B C D H M 练习1 已知在四棱锥P一ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD PA AD 1 AB 2 E F分别是AB PD的中点 1 求证 AF 平面PEC 2 求PC与平面ABCD所成角的大小 3 求二面角P一EC一D的大小 练习2 解 法一 1 如图 取CD中点O 连接OB OM 则OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 则MO 平面BCD 2分所以MO AB A B O M四点共面 延长AM BO相交于E 则 AEB就是AM与平面BCD所成的角 4分 2 CE是平面ACM与平面BCD的交线 由 1 知 O是BE的中点 则四边形BCED是菱形 作BF EC于F 连接AF 则AF EC AFB就是二面角A EC B的平面角 设为 8分 例2 已知二面角 l A为面 内一点 A到 的距离为2 到l的距离为4 求二面角 l 的大小 A D O 作业 如图 PAB是边长为2的正三角形 AD 平面PAB BC AD AD BC 又点N为线段AB的中点 点M在线段AD上 且MN PC 1 求线段AM的长 2 求二面角P MC N的大小 练习2 如图 在四面体ABCD中 平面ABC 平面ACD AB BC AC AD 2 BC CD 1 求四面体ABCD的体积 求二面角C AB D的平面角的正切值 解法一 I 如答 20 图1 过D作DF AC垂足为F 故由平面ABC 平面ACD 知DF 平面ABC 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高 设G为边CD的中点 则由AC AD 知AG CD 从而 故四面体ABCD的体积 例3 如图P为二面角 内一点 PA PB 且PA 5 PB 8 AB 7 求这二面角的度数 过PA PB的平面PAB与棱 交于O点 PA PA PB PB 平面PAB AOB为二面角 的平面角 又 PA 5 PB 8 AB 7 由余弦定理得 P 60 AOB 120 这二面角的度数为120 解 O 一 几何法 1 定义法 以二面角的棱a上任意一点O为端点 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA OB 则 AOB就是此二面角的平面角 在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB 垂足为B 再过点B向棱a作垂线BO 垂足为O 连结AO 则 AOB就是二面角的平面角 3 垂面法 过二面角内一点A作AB 于B 作AC 于C 面ABC交棱a于点O 则 BOC就是二面角的平面角 2 三垂线法 4 射影面积法 如图所示 AD 平面M 设 AHD 是二面角A BC D的平面角 由cos AD AH可得 ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影 DBC以及两者所成的二面角 之间的关系 A B C D H M 几点说明 定义法是选择一个平面内的一点 一般为这个面的一个顶点 向棱作垂线 再由垂足在另一个面内作棱的垂线 此法得出的平面角在任意三角形中 所以不好计算 不是我们首选的方法 三垂线法是从一个平面内选一点 一般为这个面的一个顶点 向另一个面作垂线 再由垂足向棱作垂线 连结这个点和棱上垂足 此法得出的平面角在直角三角形中 计算简便 所以我们常用此法 垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线 因为这一点不好选择 所以此法一般