高中数学三角函数知识点及例题.doc

2010 高中数学竞赛标准讲义 三角函数高中数学竞赛标准讲义 三角函数 一 基础知识一 基础知识 定义 1 角 一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角 若旋转方向为逆时针方向 则 角为正角 若旋转方向为顺时针方向 则角为负角 若不旋转则为零角 角的大小是任意的 定义 2 角度制 把一周角 360 等分 每一等价为一度 弧度制 把等于半径长的圆弧所对 的圆心角叫做一弧度 360 度 2 弧度 若圆心角的弧长为 L 则其弧度数的绝对值 r L 其中 r 是圆的半径 定义 3 三角函数 在直角坐标平面内 把角 的顶点放在原点 始边与 x 轴的正半轴重 合 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P 设它的坐标为 x y 到原点的距离为 r 则正弦函数 sin r y 余弦函数 cos r x 正切函数 tan x y 余切函数 cot y x 正割函数 sec x r 余割函数 csc y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 商数关系 tan sin cos cot cos sin 乘积关系 tan cos sin cot sin cos 平方关系 sin2 cos2 1 tan2 1 sec2 cot2 1 csc2 定理 2 诱导公式 sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot 奇变偶不变 符号看象限 定理 3 正弦函数的性质 根据图象可得 y sinx x R 的性质如下 单调区间 在区间 2 2 2 2 kk上为增函数 在区间 2 3 2 2 2kk上为减函数 最小正周期为 2 奇偶数 有界性 当且仅当 x 2kx 2 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 3k 2 时 y 取最小值 1 对称性 直线 x k 2 均为其对称轴 点 k 0 均为其对称中心 值域为 1 1 这 里 k Z 定理 4 余弦函数的性质 根据图象可得 y cosx x R 的性质 单调区间 在区间 2k 2k 上单调递减 在区间 2k 2k 上单调递增 最小正周期为 2 奇偶性 偶函数 对 称性 直线 x k 均为其对称轴 点 0 2 k均为其对称中心 有界性 当且仅当 x 2k 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 2k 时 y 取最小值 1 值域为 1 1 这里 k Z 定理 5 正切函数的性质 由图象知奇函数 y tanx x k 2 在开区间 k 2 k 2 上为增函 数 最小正周期为 值域为 点 k 0 k 2 0 均为其对称中心 定理 6 两角和与差的基本关系式 cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tantan1 tan tan 定理 7 和差化积与积化和差公式 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2sin 2 cos 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 sin cos 2 1 sin sin cos sin 2 1 sin sin cos cos 2 1 cos cos sin sin 2 1 cos cos 定理 8 倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 tan1 tan2 2 定理 9 半角公式 sin 2 2 cos1 cos 2 2 cos1 tan 2 cos1 cos1 sin cos1 cos1 sin 定理 10 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 辅助角公式 如果 a b 是实数且 a2 b2 0 则取始边在 x 轴正半轴 终边经过点 a b 的一个角为 则 sin 22 ba b cos 22 ba a 对任意的角 asin bcos 22 ba sin 定理 12 正弦定理 在任意 ABC 中有R C c B b A a 2 sinsinsin 其中 a b c 分别是角 A B C 的对边 R 为 ABC 外接圆半径 定理 13 余弦定理 在任意 ABC 中有 a2 b2 c2 2bcosA 其中 a b c 分别是角 A B C 的 对边 定理 14 图象之间的关系 y sinx 的图象经上下平移得 y sinx k 的图象 经左右平移得 y sin x 的图象 相位变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的 1 得到 y sinx 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变 换 y Asin x 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变换 y Asin x 0 A 叫作振幅 的图象向右平移 个单位得到 y Asin x 的图象 定义 4 函数 y sinx 2 2 x的反函数叫反正弦函数 记作 y arcsinx x 1 1 函数 y cosx x 0 的反函数叫反余弦函数 记作 y arccosx x 1 1 函数 y tanx 2 2 x的反函数叫反正切函数 记作 y arctanx x y cosx x 0 的反 函数称为反余切函数 记作 y arccotx x 定理 15 三角方程的解集 如果 a 1 1 方程 sinx a 的解集是 x x n 1 narcsina n Z 方程 cosx a 的解集是 x x 2kx arccosa k Z 如果 a R 方程 tanx a 的解集是 x x k arctana k Z 恒等式 arcsina arccosa 2 arctana arccota 2 定理 16 若 2 0 x 则 sinx x 1 所以 cos 0 2 x 所以 sin cosx 0 又 00 所以 cos sinx sin cosx 若 2 0 x 则因为 sinx cosx 2cos 2 2 sin 2 2 2 xx sinxcos 4 sin 4 cosx 2sin x 4 2 2 所以 0 sinx 2 cosxcos 2 cosx sin cosx 综上 当 x 0 时 总有 cos sinx 0 求证 2 sin cos sin cos x x 证明 若 2 则 x 0 由 2 0 得 cos cos 2 sin 所以 0 sin cos sin 2 cos 所以 0 sin cos 1 所以 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0 x x 若 2 则 x 0 由 0 2 cos 2 sin 0 所以 sin cos 1 又 0 sin 1 所以2 sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0 x x 得证 注 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式 值得注意的是角的讨论 3 最小正周期的确定 例 4 求函数 y sin 2cos x 的最小正周期 解 首先 T 2 是函数的周期 事实上 因为 cos x cosx 所以 co x cosx 其次 当且仅当 x k 2 时 y 0 因为 2cosx 2 所以若最小正周期为 T0 则 T0 m m N 又 sin 2cos0 sin2 sin 2cos 所以 T0 2 4 三角最值问题 例 5 已知函数 y sinx x 2 cos1 求函数的最大值与最小值 解法一 令 sinx 4 3 0 4 sin2cos1 cos2 2 x 则有 y 4 sin 2sin2cos2 因为 4 3 0 4 所以 42 所以 4 sin 0 1 所以当 4 3 即 x 2k 2 k Z 时 ymin 0 当 4 即 x 2k 2 k Z 时 ymax 2 解法二 因为 y sinx cos1 sin2cos1 222 xxx 2 因为 a b 2 2 a2 b2 且 sinx 1 x 2 cos1 所以 0 sinx x 2 cos1 2 所以当x 2 cos1 sinx 即 x 2k 2 k Z 时 ymax 2 当x 2 cos1 sinx 即 x 2k 2 k Z 时 ymin 0 例 6 设 0 求 sin cos1 2 的最大值 解 因为 0 0 cos 2 0 所以 sin 2 1 cos 2sin 2 cos2 2 2 cos 2 cos 2 sin22 222 3 222 3 2 cos 2 cos 2 sin2 2 9 34 27 16 当且仅当 2sin2 2 cos2 2 即 tan 2 2 2 2arctan 2 2 时 sin 2 1 cos 取得最大值 9 34 例 7 若 A B C 为 ABC 三个内角 试求 sinA sinB sinC 的最大值 解 因为 sinA sinB 2sin 2 BA cos 2 sin2 2 BABA sinC sin 2 3 sin2 2 3 cos 2 3 sin2 3 CCC 又因为 3 sin2 4 3 cos 4 3 sin2 2 3 sin 2 sin CBACBAC BA 由 得 sinA sinB sinC sin 3 4sin 3 所以 sinA sinB sinC 3sin 3 2 33 当 A B C 3 时 sinA sinB sinC max 2 33 注 三角函数的有界性 sinx 1 cosx 1 和差化积与积化和差公式 均值不等式 柯 西不等式 函数的单调性等是解三角最值的常用手段 5 换元法的使用 例 8 求 xx xx y cossin1 cossin 的值域 解 设 t sinx cosx 4 sin 2cos 2 2 sin 2 2 2 xxx 因为 1 4 sin 1 x 所以 22 t 又因为 t2 1 2sinxcosx 所以 sinxcosx 2 1 2 t 所以 2 1 1 2 1 2 t t x y 所以 2 12 2 12 y 因为 t 1 所以1 2 1 t 所以 y 1 所以函数值域为 2 12 11 2 12 y 例 9 已知 a0 1 an 1 1 121 n n a a n N 求证 an 2 2 n 证明 由题设 an 0 令 an tanan an 2 0 则 an tan 2 tan sin cos1 tan 1sec tan 1tan1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n a a a a a a a a 因为 2 1 n a an 2 0 所以 an 1 2 1 n a 所以 an 2 1 0 a n 又因为 a0 tana1 1 所以 a0 4 所以 n n a 2 1 4 又因为当 0 xx 所以 22 tan 22 nn n a 注 换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性 另外当 x 2 0 时 有 tanx x sinx 这是个熟知的结论 暂时不证明 学完导数后 证明 是很容易的 6 图象变换 y sinx x R 与 y Asin x A 0 由 y sinx 的图象向左平移 个单位 然后保持横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 然后 再保持纵坐标不变 横坐标变为原来的 1 得到 y Asin x 的图象 也可以由 y sinx 的 图象先保持横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 再保持纵坐标不变 横坐标变为原来的 1 最后向左平移 个单位 得到 y Asin x 的图象 例 10 例 10 已知 f x sin x 0 0 是 R 上的偶函数 其图象关于点 0 4 3 M对称 且在区间 2 0 上是单调函数 求 和 的值 解 由 f x 是偶函数 所以 f x f x 所以 sin sin x 所以 cos sinx 0 对任意 x R 成立 又 0 解得 2 因为 f x 图象关于 0 4 3 M对称 所以 4 3 4 3 xfxf 0 取 x 0 得 4 3 f 0 所以 sin 0 24 3 所以 24 3 k k Z 即 3 2 2k 1 k Z 又 0 取 k 0 时 此时 f x sin 2x 2 在 0 2 上是减函数 取 k 1 时 2 此时 f x sin 2x 2 在 0 2 上是减函数 取 k 2 时 3 10 此时 f x sin x 2 在 0 2 上不是单调函数 综上 3 2 或 2 7 三角公式的应用 例 11 已知 sin 13 5 sin 13 5 且 2 2 2 3 求 sin2 cos2 的值 解 因为 2 所以 cos 13 12 sin1 2 又因为 2 2 3 所以 cos 13 12 sin1 2 所以 sin2 sin sin cos cos sin 169 120 cos2 cos cos cos sin sin 1 例 12 已知 ABC 的三个内角 A B C 成等差数列 且 BCAcos 2 cos 1 cos 1 试求 2 cos CA 的值 解 因为 A 1200 C 所以 cos 2 CA cos 600 C 又由于 120cos cos cos 120cos cos 1 120cos 1 cos 1 cos 1 0 0 0 CC CC CCCA 22 2 1 2120cos 60cos 2 2120cos 120 cos 2 1 60cos 60cos2 0 0 00 00 C C C C 所以23 2 cos2 2 cos24 2 CACA 0 解得 2 2 2 cos CA 或 8 23 2 cos CA 又 2 cos CA 0 所以 2 2 2 cos CA 例 13 求证 tan20 4cos70 解 tan20 4cos70 20cos 20sin 4sin20 20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin 20cos 40sin10cos30sin2 20cos 40sin40sin20sin 3 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin 三 基础训练题三 基础训练题 1 已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为 2sin3 2cos3 则 x 的弧度数为 2 适合 x x x x cos1 cos1 cos1 cos1 2cscx 的角的集合为 3 给出下列命题 1 若 则 sin sin 2 若 sin sin 则 3 若 sin 0 则 为第一或第二象限角 4 若 为第一或第二象限角 则 sin 0 上述四个命 题中 正确的命题有 个 4 已知 sinx cosx 5 1 x 0 则 cotx 5 简谐振动 x1 Asin 3 t和 x2 Bsin 6 t叠加后得到的合振动是 x 6 已知 3sinx 4cosx 5sin x 1 5sin x 2 5cos x 3 5cos x 4 则 1 2 3 4分 别是第 象限角 7 满足 sin sinx x cos cosx x 的锐角 x 共有 个 8 已知 2 2 3 x 则xcos 2 1 2 1 2 1 2 1 9 40cos170sin 10tan31 50sin40cos 10 cot15 cos25 cot35 cot85 11 已知 0 tan 2 1 2 sin 13 5 求 cos 的值 12 已知函数 f x x xm cos sin2 在区间 2 0 上单调递减 试求实数 m 的取值范围 四 高考水平训练题 1 已知一扇形中心角是 a 所在圆半径为 R 若其周长为定值 c c 0 当扇形面积最大时 a 2 函数 f x 2sinx sinx cosx 的单调递减区间是 3 函数 x x y cos2 sin2 的值域为 4 方程xxlg 6 2sin2 0 的实根个数为 5 若 sina cosa tana a 2 0 则 3 a 填大小关系 6 1 tan1 1 tan2 1 tan44 1 tan45 7 若 0 y x0 k 1 求 f x 的单调区间 3 试求最小正整数 k 使得当 x 在任意两个整数 包括 整数本身 间变化时 函数 f x 至少取得一次最大值和一次最小值 五 联赛一试水平训练题 一 五 联赛一试水平训练题 一 1 若 x y R 则 z cosx2 cosy2 cosxy 的取值范围是 2 已知圆 x2 y2 k2至少盖住函数 f x k x sin3的一个最大值点与一个最小值点 则实数 k 的取值范围是 3 f 5 8cos 4cos2 cos3 的最小值为 4 方程 sinx 3cosx a 0 在 0 2 内有相异两实根 则 5 函数 f x tanx cotx 的单调递增区间是 6 设 sina 0 cosa 且 sin 3 a cos 3 a 则 3 a 的取值范围是 7 方程 tan5x tan3x 0 在 0 中有 个解 8 若 x y R 则 M cosx cosy 2cos x y 的最小值为 9 若 0 0 在一个最小正周期长的区间上的图象 与函数 g x 1 2 a的图象所围成的封闭图形的面积是 2 若 3 12 5 x 则 y tan 3 2 x tan 6 x cos 6 x的最大值是 3 在 ABC 中 记 BC a CA b AB c 若 9a2 9b2 19c2 0 则 BA C cotcot cot 4 设 f x x2 x arcsin 3 1 arctan 4 5 arccos 3 1 arccot 4 5 将 f f f f 从小到大排列为 5 logsin1cos1 a logsin1tan1 b logcos1sin1 c logcos1tan1 d 将 a b c d 从小到大排列为 6 在锐角 ABC 中