化归与转化的数学思想解题举例.doc

化归与转化的数学思想解题举例化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。化归与转化常遵循以下几个原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。运用化归与转化思想寻求解题思路时，常用如下几种策略一、正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为 。分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解略解：他四次射击未中1次的概率P1=0.14=0.14他至少射击击中目标1次的概率为1P1=10.14=0.9999例2：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x3)垂直平分.分析：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y= x2存在关于直线y=m(x3)对称的两点，求m的范围。略解：抛物线y=x2上存在两点（x1，x）和（x2，x）关于直线y=m(x3)对称，则 即 消去x2得存在 上述方程有解=00， 从而m因此，原问题的解为m|m二、一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。例1：设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=_.分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：成等差，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.略解： (a10)q=2或q=0（舍去）例2：已知平面上的直线l的方向向量，点(0，0)和A(1,2)在l上的射影分别为，若则为（ ）A B C2 D2分析：直线l的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，必为定值。可见直线l的变化不会影响的值。因此我们可取l为来求解的值。略解：设l: 则 可得 即，=2例3：设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC，则四棱锥BPAQC的体积为：AV BV CV DV分析：P、Q运动四棱锥BPAQC是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决略解：取P与A重合，Q与C重合的特殊情况三、主与次的转化利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。例1:（2006年四川卷文21题）已知函数其中是的的导函数。（）对满足的一切的值， 都有求实数的取值范围；（）（略）分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于0恒成立的问题。解：（）由题意 令 对，恒有，即 即 解得故时，对满足的一切的值，都有0对上恒成立，求实数a的取值范围.例2、对任何函数的值总大于0，则实数x的取值范围是：_分析：对于例2：我们也可以转化为例1的形式只需视为关于a的函数，问题就可以转化为例1的情况：略解：令为关于a的一次函数，由图像知 或x1或x3例3：设的实数，则的取值范围是：_分析：把看作是关于的二次方程，则利用0求解的范围。略解：把看作是关于的二次方程，因为的实数，所以方程有解。=0x | x-2或x3四、数与形的转化。数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求。o-2xy2例1：设对于任意实数,函数 总有意义，求实数的取值范围。解法一：有意义，有，即在时总成立，设，即当时，总成立。依抛物线的特征，将其定位， 有解得：解法二：不等式可化成oxy13510只要的最大值即可。设,的图象如图，可知的最大值为，故最小值为.故点评 通过数与形的转化，抓住了抛物线的特征，建立了实数的不等式组，从而求出的范围。解法二是通过分离参数的方法，再通过换元，利用函数的特征求其最值，同样体现了数形结合的特点。五、陌生与熟悉的转化把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则。例1：某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润与全年总投入的大小关系是 （ ）A. B. C. = D.无法确定分析：每月的利润组成一个等差数列，且公差，每月的投资额组成一个等比数列，且公比。，且，比较与的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式是关于的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式是关于的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出,则，即。 点评把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。例2：两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？ 分析:如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”和“漏”。然而我们对以下两题很熟悉： 以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少个？如果两条异面直线称为“一对”的话，任一三棱锥中有多少对异面直线？略解：故可把本题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应。由于的答案是个；的答案是3对，故本题答案为对。点评 直接寻找异面直线的对数很繁且易漏，而引入三棱锥通过计算三棱锥个数，使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应，从而使问题转化为我们所熟悉的问题。归纳小结：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有管种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法。数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。化归与转化思想在教学中应用