2010年高考专题讲座之立体几何.doc

2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 立体几何立体几何 2010 浙江理数 浙江理数 6 设 是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是lm A 若 则 B 若 则lm m l l lm m C 若 则 D 若 则l m lm l m lm 解析 选 B 可对选项进行逐个检查 本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理 也 蕴含了对定理公理综合运用能力的考察 属中档题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 11 与正方体 1111 ABCDABC D 的三条棱AB 1 CC 11 AD所在直线的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 答案 D 解析 直线上取一点 分别作垂直于于则 分别作 垂足分 别为 M N Q 连 PM PN PQ 由三垂线定理可得 PN PM PQ AB 由于正方体中各个表面 对 等角全等 所以 PM PN PQ 即 P 到三条棱 AB CC1 A1D1 所在直线的距离相等 所以有无穷多点满足条件 故选 D 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 9 已知正四棱锥SABCD 中 2 3SA 那么当该棱锥的体积最大时 它的高为 A 1 B 3 C 2 D 3 答案 C 命题意图 本试题主要考察椎体的体积 考察告辞函数的最值问题 解析 设底面边长为 a 则高所以体积 设 则 当 y 取最值时 解得 a 0 或 a 4 时 体积最大 此时 故选 C 2010 陕西文数 陕西文数 8 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 B A 2 B 1 C D 2 3 1 3 2 2 1 解析 本题考查立体图形三视图及体积公式 如图 该立体图形为直三棱柱 所以其体积为1221 2 1 20102010 辽宁文数 辽宁文数 11 已知是球表面上的点 S A B COSAABC 平面ABBC 1SAAB 则球的表面积等于2BC O A 4 B 3 C 2 D 解析 选 A 由已知 球的直径为 表面积为O22RSC 2 44 R 2010 辽宁理数 辽宁理数 12 12 有四根长都为 2 的直铁条 若再选两根长都为 a 的直铁条 使这六根铁条端点处相连 能够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a 的取值范围是 A 0 B 1 62 2 2 C D 0 62 62 2 2 答案 A 命题立意 本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力 解析 根据条件 四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架 有以下两种情况 1 地面是边长为 2 的正三角形 三条侧棱长为 2 a a 如图 此时 a 可以取最大值 可知 AD SD 3 则有 2 即 即有 a0 综上分析可知 a 0 62 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 11 与正方体 ABCD A1B1C1D1的三条棱 AB CC1 A1D1所在直线的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 解析解析 D 本 本题题考考查查了空了空间间想象能力想象能力 到三条两垂直的直到三条两垂直的直线线距离相等的点在以三条直距离相等的点在以三条直线为轴线为轴 以正方体 以正方体边长为边长为半径的半径的圆圆柱面上 柱面上 三个三个圆圆柱面有无数个交点 柱面有无数个交点 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 8 已知三棱锥中 底面为边长等于 2 的等边三角形 垂直于底面 SABC ABCSAABC 3 那么直线与平面所成角的正弦值为SAABSBC A B 3 4 5 4 C D 7 4 3 4 解析解析 D 本 本题题考考查查了立体几何的了立体几何的线线与面 面与面位置关系及直与面 面与面位置关系及直线线与平面所成角 与平面所成角 过过 A 作作 AE 垂直于垂直于 BC 交交 BC 于于 E 连结连结 SE 过过 A 作作 AF 垂直于垂直于 SE 交交 SE 于于 F 连连 BF 正三角形正三角形 ABC E 为为 BC 中中 点 点 BC AE SA BC BC 面面 SAE BC AF AF SE AF 面面 SBC ABF 为为直直线线 AB 与面与面 SBC 所成角 由正所成角 由正 三角形三角形边长边长 3 AS 3 SE AF 3AE 2 3 3 2 3 sin 4 ABF 20102010 江西理数 江西理数 10 过正方体的顶点 A 作直线 1111 ABCDABC D L 使 L 与棱 AB AD 所成的角都相等 这样的直线 L 可以作 1 AA A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 D 解析 考查空间感和线线夹角的计算和判断 重点考查学生分类 划归转化的能力 第一类 通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1 第二类 在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相等 有 3 条 合计 4 条 2010 安徽文数 安徽文数 9 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积是 A 372 B 360 C 292 D 280 9 B 解析 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等于下面长方体的全 面积加上面长方体的 4 个侧面积之和 2 10 8 10 28 2 2 6 88 2 360S 方法技巧 把三 视图转化为直观图是解决问题的关键 又三视图很容易知道是两个长方体的 组合体 画出直观图 得出各个棱的长度 把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之 和 2010 重庆文数 9 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 A 只有 1 个 B 恰有 3 个 C 恰有 4 个 D 有无穷多个 解析 放在正方体中研究 显然 线段 EF FG GH 1 OO HE 的中点到两垂直异面直线 AB CD 的距离都相等 所以排除 A B C 选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB CD 的距离相等 A B C S E F 2010 浙江文数 浙江文数 8 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 A cm3 352 3 B cm3 320 3 C cm3 224 3 D cm3 160 3 解析 选 B 本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的 识别以及几何体体积的计算 属容易题 2010 山东文数 山东文数 4 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 20102010 北京文数 北京文数 8 如图 正方体的棱长 1111 ABCD A B C D 为 2 动点 E F 在棱上 点 Q 是 CD 的中点 动点 11 A B P 在棱 AD 上 若 EF 1 DP x E y x y 大于零 1 A 则三棱锥 P EFQ 的体积 A 与 x y 都有关 B 与 x y 都无关 C 与 x 有关 与 y 无关 D 与 y 有关 与 x 无关 答案 C 20102010 北京文数 北京文数 5 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的 正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该 集合体的俯视图为 答案 C 20102010 北京理数 北京理数 8 如图 正方体 ABCD 的棱长为 1111 ABC D 2 动点 E F 在棱 上 动点 P Q 分别在棱 AD CD 上 若 11 AB B C D A N M O EF 1 E x DQ y D 大于零 则四面体 PE 的体积 1 A 与 都有关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 答案 D 20102010 北京理数 北京理数 3 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该几何体的俯视图为 答案 C 2010 四川理数 四川理数 11 半径为的球的直径垂直于平面 垂足为 ROAB B 是平面内边长为的正三角形 线段 分别BCDA RACAD 与球面交于点 M N 那么 M N 两点间的球面距离是 A B w w w k s 5 u c o m 17 arccos 25 R 18 arccos 25 R C D 1 3 R 4 15 R 解析 由已知 AB 2R BC R 故 tan BAC w w w k s 5 u c o m 1 2 cos BAC 2 5 5 连结 OM 则 OAM 为等腰三角形 AM 2AOcos BAC 同理 AN 且 MN CD w w w k s 5 u c o m 4 5 5 R 4 5 5 R 而 AC R CD R5 故 MN CD AN AC w w w k s 5 u c o m MN 4 5 R 连结 OM ON 有 OM ON R 于是 cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON A 所以 M N 两点间的球面距离是 w w w k s 5 u c o m 17 arccos 25 R 答案 A 2010 广东理数 广东理数 6 如图 1 ABC 为三角形 平面 ABC 且 3 AB 则 AA BB CC CC AA 3 2 BB CC 多面体 ABC 的正视图 也称主视图 是A B C 6 D 2010 广广东东文数 文数 20102010 福建文数 福建文数 3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则 其侧面积等于 A B 2 3 C D 62 3 答案 D 解析 由正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 所以底面积为 侧面积为 选 D 3 242 3 4 3 2 16 A B C D A1 B1 C1 D1 O 命题意图 本题考查立体几何中的三视图 考查同学们识图的能力 空间想象能力等基本能力 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最大 值为 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 12 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过球这个载体考查考生的空 间想象能力及推理运算能力 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为 则有h 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 22 max 2 212 3h max 4 3 3 V 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 9 正方体 中 与平面所成角的余弦值为ABCD 1111 ABC D 1 BB 1 ACD A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 9 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的求法 利用等体积转化求 出 D 到平面 AC的距离是解决本题的关键所在 这也是转化思想的具体体现 1 D 解析 1 因为 BB1 DD1 所以B与平面 AC所成角和DD1与平面 1 B 1 DAC所成角相等 设 1 D DO 平面AC 由等体积法得 即 1 D 11 D ACDDACD VV 设 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD DD1 a 则 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以 记 DD1与平面 AC所成 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 1 D 角为 则 所以 1 3 sin 3 DO DD 6 cos 3 解析 2 设上下底面的中心分别为 与平面AC所成角就是B与平面AC所成角 1 OO 1 O O 1 D 1 B 1 D 1 11 1 36 cos1 32 OO OOD OD 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 6 直三棱柱中 若 则异面直线 111 ABCA BC 90BAC 1 ABACAA 与所成的角等于 1 BA 1 AC A 30 B 45 C 60 D 90 6 C 命题意图 本小题主要考查直三棱柱的性质 异面直线所成的角 异面直线所成的角的求法 111 ABCA BC 解析 延长 CA 到 D 使得 则为平行四边形 就是异面直线ADAC 11 ADAC 1 DAB 与所成的角 又三角形为等边三角形 1 BA 1 AC 1 ADB 0 1 60DAB 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最大 值为 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 7 正方体 ABCD 中 B与平面AC所成角的余弦值为 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 2010 四川文数 四川文数 12 半径为的球的直径垂直于平面 垂足为 是平面内边长为的ROABaBBCD aR 正三角形 线段 分别与球面交于点 ACADM 那么 两NMN 点间的球面距离是高 考 资 源 网 A B 17 arccos 25 R 18 arccos 25 R C D 1 3 R 4 15 R 解析 由已知 AB 2R BC R 故 tan BAC 1 2 cos BAC w w w k s5 u c o m 2 5 5 连结 OM 则 OAM 为等腰三角形 AM 2AOcos BAC 同理 AN 且 MN CD 4 5 5 R 4 5 5 R 而 AC R CD R5 故 MN CD AN AC MN 4 5 R 连结 OM ON 有 OM ON R 于是 cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON A 所以 M N 两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 答案 A 2010 湖北文数 湖北文数 4 用 表示三条不同的直线 表示平面 给出下列命题 abcy 若 则 若 则 abbcacabbcac 若 则 若 则 aybyabaybyab A