湖北省13市州2015年中考数学分类解析专题9：三角形.doc

湖北13市州（14套）2015年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形1、 选择题1. （2015湖北荆门3分）下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是【 】 A B C D 【答案】B。【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定。【分析】根据勾股定理，AB=，BC=，AC=，ABC的三边之比为。A、三角形的三边分别为2，三边之比为，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，三边之比为，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，三边之比为2：3：，故本选项错误；D、三角形的三边分别为，4，三边之比为：4，故本选项错误故选B。2. （2015湖北荆门3分）如图，ABC是等边三角形，P是ABC的平分线BD上一点，PEAB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q若BF=2，则PE的长为【 】A 2 B 2 C D 3【答案】C。【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。【分析】ABC是等边三角形，点P是ABC的平分线，EBP=QBF=30，BF=2，FQBP，BQ=BFcos30=2。FQ是BP的垂直平分线，BP=2BQ=2。在RtBEF中，EBP=30，PE=BP=。故选C。3. （2015湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC若ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】A2 B3 C D【答案】A。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。【分析】延长BC至F点，使得CF=BD，ED=EC，EDB=ECF。EBDEFC（SAS）。B=F。ABC是等边三角形，B=ACB。ACB=F。ACEF。AE=CF=2。BD=AE=CF=2。故选A。4. （2015湖北宜昌3分）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为【 】A24米 B20米 C16米 D12米【答案】D。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】ABBC，BC=24米，ACB=27，AB=BCtan27。把BC=24米，tan270.5代入得，AB240.5=12米。故选D。5. （2015湖北荆州3分）下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是【 】 A B C D 6. （2015湖北荆州3分）如图，ABC是等边三角形，P是ABC的平分线BD上一点，PEAB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q若BF=2，则PE的长为【 】A 2 B 2 C D 3【答案】C。【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。【分析】ABC是等边三角形，点P是ABC的平分线，EBP=QBF=30，BF=2，FQBP，BQ=BFcos30=2。FQ是BP的垂直平分线，BP=2BQ=2。在RtBEF中，EBP=30，PE=BP=。故选C。7. （2015湖北孝感3分）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30，从C点向塔底B走100m到达D点，测出塔顶的仰角为45，则塔AB的高为【 】A50m B100m Cm Dm【答案】D。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。【分析】根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由BC=AB 和BC=AB+100求解即可求出答案：在RtABD中，ADB=45，BD=AB。在RtABC中，ACB=30，BC=AB。CD=100，BC=AB+100。AB+100=AB，解得AB=。故选D。8. （2015湖北孝感3分）如图，在ABC中，ABAC，A36，BD平分ABC交AC于点D若AC2，则AD的长是【 】A B C D【答案】C。【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】A=DBC=36，C公共，ABCBDC，且AD=BD=BC。设BD=x，则BC=x，CD=2x，整理得：x22x4=0，解得：。x为正数，。故选C。9. （2015湖北襄阳3分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60刻度线，则假山的高度为【 】A（4+1.6）m B（12+1.6）m C（4+1.6）m D4m【答案】A。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，作AKCD于点K，BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，AOE=60，DB=AK12米，AB=KD=1.6米，ACK=60。，。CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）（米）。故选A。二、填空题1. （2015湖北武汉3分）tan60 【答案】。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】直接根据特殊角的三角函数值得出结果：tan60。2. （2015湖北武汉3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC2设tanBOCm，则m的取值范围是 【答案】。【考点】锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】如图，设C点坐标为（）。 tanBOCm，即。 A的坐标为(3，0)，DA=。 又AC2由勾股定理，得， 即，整理得 由得。 tanBOCm0，。3. （2015湖北荆门3分）如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为 cm2（结果可保留根号）【答案】+360。【考点】由三视图判断几何体，解直角三角形。【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱， 其高为12cm，底面半径为5 cm，其侧面积为6512=360cm2。又密封纸盒的底面面积为：cm2，其全面积为：（+360）cm2。4. （2015湖北咸宁3分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是 cm【答案】210。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。【分析】过点B作BDAC于D，根据题意得：AD=230=60（cm），BD=183=54（cm），斜坡BC的坡度i=1：5，BD：CD=1：5。CD=5BD=554=270（cm）。AC=CDAD=27060=210（cm）。AC的长度是210cm。5. （2015湖北荆州3分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCOA，P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F已知A（2，0），B（1，2），则tanFDE= 【答案】。【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。 【分析】连接PB、PEP分别与OA、BC相切于点E、B，PBBC，PEOA。BCOA，B、P、E在一条直线上。A（2，0），B（1，2），AE=1，BE=2。EDF=ABE，tanFDE=。6. （2015湖北黄冈3分）如图，在 ABC 中，AB=AC，A=36 ，AB的垂直平分线交AC 于点E，垂足为点D，连接BE，则EBC 的度数为 .【答案】36。【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】DE是AB的垂直平分线，AE=BE。A=36 ，ABE=A=36。AB=AC，ABC=C=。EBC=ABCABE=7236=36。7. （2015湖北随州4分）如图,点D、E分别在AB、AC上，且ABC=AED.若DE=4，AE=5,BC=8；则AB的长为 .【答案】10。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】根据已知条件可知ABCAED，通过两三角形的相似比可求出AB的长：在ABC和AED中，ABC=AED，BAC=EAD，AEDABC。AB AE =BC ED 。又DE=4，AE=5，BC=8，AB=10。8. （2015湖北十堰3分）如图，RtABC中，ACB=90，B=30，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则图中阴影部分的面积为 cm2【答案】。【考点】含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。【分析】连接OD，OF。RtABC中，ACB=90，B=30，AB=12cm，AC=AB=6cm，BAC=60。E是AB的中点，CE=AB=AE。ACE是等边三角形。ECA=60。又OA=OD，AOD是等边三角形。DOA=60。COD=120。同理，COF=60。DOA=COE=60。，AD=CF。与弦AD围成的弓形的面积等于与弦CF围成的弓形的面积相等。AC是直径，CDA=90。又BAC=60，AC =6cm，。又OCD中CD边上的高=,.又，。9. （2015湖北孝感3分）计算：cos245tan30sin60 【答案】1。【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。【分析】。10. （2015湖北襄阳3分）在等腰ABC中，A=30，AB=8，则AB边上的高CD的长是 【答案】4或或。【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：（1）如图，当AB=AC时，A=30，CD=AC=8=4。（2）如图，当AB=BC时，则A=ACB=30。ACD=60。BCD=30CD=cosBCDBC=cos308=4。（3）如图，当AC=BC时，则AD=4。CD=tanAAD=tan304=。综上所述，AB边上的高CD的长是4或或。三、解答题1. （2015湖北武汉6分）如图CECB，CDCA，DCAECB，求证：DEAB【答案】证明：DCA=ECB，DCA+ACE=BCE+ACE。DCE=ACB。在DCE和ACB中，DC=AC，DCE=ACB，CE=CB，DCEACB（SAS）。DE=AB。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】求出DCE=ACB，根据SAS证DCEACB，根据全等三角形的性质即可推出答案。2. （2015湖北武汉10分）已知ABC中，AB，AC，BC6(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使AMN与ABC相似，求线段MN的长；(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的1010的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形请你在所给的网格中画出格点A1B1C1与ABC全等(画出一个即可，不需证明)；试直接写出所给的网格中与ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)【答案】解：（1）如图A，过点M作MNBC交AC于点N， 则AMNABC，M为AB中点，MN是ABC 的中位线。BC6，MN=3。如图B，过点M作AMN=ACB交AC于点N，则AMNACB，。BC=6，AC= ，AM=，解得MN=。综上所述，线段MN的长为3或。（2）如图所示：每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。【考点】网格问题，作图（相似变换），三角形中位线定理，相似三角形的性质。 【分析】（1）作MNBC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作AMN=B，利用相似可得MN的长。（2）A1B1为直角三角形斜边的两直角边长为2，4，A1C1为直角三角形斜边的两直角边长为4，8。以此，先作B1C16，画出A1B1C1。以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。3. （2015湖北黄石8分）如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2，并已知，。如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）。【答案】解：如图所示，过点A作AEBC，则，且。在RtADF中：，在RtEAF中, ，。又，。答：支架CD的高约为119cm 。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】过A作AEBC，则EAF=CBG=2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用1、2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可。4. （2015湖北黄石9分）如图1所示：等边ABC中，线段AD为其内角平分线，过D点的直线B1C1AC于C1交AB的延长线于B1.（1）请你探究：，是否成立?（2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断.（3）如图2所示RtABC中，ACB=900，AC=8,，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD与F.试求的值.【答案】解：（1）线段AD为等边ABC内角平分线，根据三线合一，得CD=DB。 。 过点D作DNAB于点H。 线段AD为等边ABC内角平分线，C1D=ND。 等边ABC中，B1C1AC，B1=300。 。，都成立。 （2）结论仍然成立。证明如下： 如图，ABC为任意三角形，过B点作BEAC交 AD的延长线于点G 。G=CAD=BAD，BG=AB。又GBDACD ，即。对任意三角形结论仍然成立。 3如图，连接ED。AD为ABC的内角角平分线，AC=8,，由（2）得， 。又AE=5，EB=ABAE=。DEAC。 DEFACF。5. （2015湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田7分）如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：）【答案】解：作BDAC于点D设BD=x海里，则 在RtABD中，AD=。在RtCBD中，CD=x。AC=ADCD=。AC=30=15，=15，解得x21.4。21.4海里15海里。货轮继续向北航行没有触礁的危险。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。【分析】作BDAC于点D，在RtABD和RtCBD中求得点B到AC的距离，从而能判断出有无危险。6. （2015湖北恩施8分）新闻链接，据侨报网讯外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2015年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去（见图1）解决问题如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间【答案】解：过点A作ADBC于点D，在RtABD中，AB=，B=60，AD=ABsin60=。在RtADC中，AD=，C=45，AC=AD=140。“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为=7小时。答：“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】过点A作ADBC于点D，在RtABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值，同理在RtADC中求出AC的值，再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可。7. （2015湖北黄冈8分）新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为4 米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2 米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为FAE15 和FAD=30 .司机距车头的水平距离为0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、D、C、B 四点在平行于斑马线的同一直线上.) (参考数据：tan15=2，sin15=cos15=1.732，1.414）【答案】解：FAE=15，FAD=30，EAD=15。AFBE，AED=FAE=15，ADB=FAD=30。设AB=x，则在RtAEB中，。ED=4，ED+BD=EB，BD=4。在RtADB中，即，解得x=2。BD=CD+BC=CD+0.8，CD= 0.821.7320.82.72，故符合标准。答：该旅游车停车符合规定的安全标准。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】由FAE=15，FAD=30可知EAD=15，根据AFBE可知AED=FAE=15，ADB=FAD=30，设AB=x，则在RtAEB中， ，在RtADB中， ，联立两式即可求出CD的值。19. 8. （2015湖北随州8分）如图,在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.求证：（1）ABDACD；(2)BE=CE【答案】证明：（1）D是BC的中点，BD=CD。 在ABD和ACD中，BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，ABCACD（SSS）。（2）由（1）知ABDACD，BAD=CAD，即BAE=CAE。在ABE和ACE中， AB=AC，BAE=CAD，AE=AE，ABEACE （SAS）。BE=CE（全等三角形的对应边相等）。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS可以证得ABDACD。（2）由（1）的全等三角形的对应角相等可以推知BAE=CAE；根据全等三角形的判定定理SAS推知ABEACE；由全等三角形的对应边相等知BE=CE。9. （2015湖北十堰6分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD求证：B=D【答案】证明：连接AC，在ABC和ADC中，AB=AD，CB=CD，AC=AC，ABCADC（SSS）。B=D。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，由SSS可证ABCADC，于是B=D。10. （2015湖北十堰8分）如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45，然后沿坡角为30的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30，求山AB的高度（参考数据：1.73）【答案】解：过D作DEBC于E，作DFAB于F，设AB=x，在RtDEC中，DCE=30，CD=100，DE=50，CE=50。在RtABC中，ACB=45，BC=x。则AF=ABBF=ABDE=x50，DF=BE=BCCE=x50。在RtAFD中，ADF=30，tan30=