线性代数课后参考答案.doc

第一章作业参考答案1-1. 求以下排列的逆序数：（1）134782695 （3）13(2n-1)(2n)(2n-2)2解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10 （2）t=0+0+0+2+4+6+2(n-1)=2(1+2+3+n-1)=1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？（1）解： 为偶数，故该项带正号。1-3. 用行列式的定义计算：（1） （3）解：（1） （3）1-4. 计算下列行列式：（1） （3） （5） （7）解：（1）（3）（5） （7）1-5. 证明：（1） （3）证明：（1） （3） 1-6. 计算下列行列式：（1） （3）解：（1） （3） 1-7. 解下列方程：（1）解：要使原方程有解，观察可知只有两种可能：当时，即时，当时，即时，综上所述，原方程的解为1，-1，2，-21-8. 设，试证：证明：根据拉普拉斯定理可知即1-9. 用Cramer法则解下列方程组：（1）解：该方程组的系数行列式为，常数向量 1-10. （1）问取何值时，下列齐次方程组有非零解？解：要使原方程有解，由定理1.8知解得或。附加题：计算：解：第二次作业参考答案2-1设,试求,并验证。解: ,2-2计算下列乘积：（1） （2） （3） （7）（n为正整数）解：(1) (2) (3) （7）令当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，；当n=5时，猜想下面用数学归纳法证明当n=1时显然成立假设当n=k时猜想成立即则当n=k+1时成立故2-4设A ,B都是n阶矩阵，问下列等式成立的条件是什么？（1） （2）（1）为使则即原等式成立的条件是（2）为使则即原等式成立的条件是2-6设,求所有与A可交换的矩阵解：若矩阵B与矩阵A可交换且A为22矩阵，按矩阵乘法的定义知B也必为22矩阵，不妨设则，由已知得即由此知所有与A可交换的矩阵为其中a,b为任意常数2-7已知A是对角元互不相同的n阶对角矩阵，即，当时，。证明：与A可交换的矩阵必是对角矩阵。证明：设与A可交换的矩阵B为，则有，即，比较相应元素得，由于，所以，即与A可交换的矩阵B只能是对角矩阵。2-8（1）证明：若A,B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。（2）设A是一实对称矩阵，且,证明：证明：（1）A,B均为n阶对称矩阵, 先证充分性：由于A与B可交换，则 即AB是对称矩阵再证必要性：由于AB是对称矩阵，则 即综上所述，若A,B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。（2）设，由于且, 所以2-9求下列方程的逆矩阵（1） （3）（5）（其中）注：其实一般不通过求伴随矩阵来求逆矩阵，因为比较麻烦，通过初等矩阵的推论来求会比较方便。但作为基础，还是要学会通过求伴随矩阵求逆矩阵。解：（1）令且知A可逆，(3)令且知A可逆， (5)令且易得，当时2-10设, 是A的伴随矩阵，求解：2-11解下列矩阵方程：（1）（3）解（1）：设，则。即，解得。解（3）：，2-12，设，求.解：，2-13,利用逆矩阵解下列线性方程组：（1） （2）解（1），故（2）, 故2-15，设方阵满足方程，证明可逆，并求其逆。解：，可逆且。2-17，分别写出下列矩阵的行阶梯形，行最简形和等价标准形。（1）（2）。（3）。2-18，设同为矩阵，证明：等价于当且仅当存在m阶可逆阵和n阶可逆阵，使。证明：必要性：先对进行有限次的初等行变换，相当于在的左边进行有限个m阶初等矩阵，即有限个m阶初等矩阵的乘积，可设为m阶可逆阵。再对进行有限次的初等列变换，相当于在的右边乘以有限次的初等矩阵的乘积，设为n阶可逆阵。可转换为，。充分性：，为m阶可逆阵，为n阶可逆阵，同为矩阵，相当于对进行有限次初等行变换和初等列变换得到，与等价。2-34.B一个一个选项代入计算即得2-51计算：（1），求.,V 3-15求下列各矩阵的秩：（1）（3）解：（1）故r=3（3）故r=3第三章作业参考答案3-2设，求，使满足下式：。解：化简上式可得：3-3求解下列向量方程：（1），其中；（2），其中解：（1） （2）3-4 设，证明：线性无关当且仅当。证明： ，充分性，令，因为，所以必有，故线性无关 必要性，（反证法）若，则存在不为零的实数k，满足，即线性相关，矛盾！故3-5 设，证明：线性相关当且仅当它们的分量成比例。证明：充分性，若的分量成比例，则必存在一个实数k（），即，故存在，使得，即线性相关。 必要性，若线性相关，则必存在不全为0的使得，不妨设，得，即的分量成比例3-6 任取，又记，证明：必线性相关。证明： ，因此线性相关。3-9设线性无关，任取s-1个数，令证明仍线性无关。证明：令，即因为线性无关，所以我们有, 系数行列式，故，因此，线性无关。3-10 设可由线性表示，举反例说明：若向量组线性相关，则表示式必不唯一。解：反例，不妨设，则，又有，显然，若向量组线性相关，则表示式必不唯一3-12若向量组（）可由向量组（）线性表示为试将向量组（）由向量组（）表示出来。解：由于原方程组较为简单，不妨直接求解可得即3-13 求下列各向量组的秩及一个极大无关组，并以之表示同组其余向量：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）由可知，其中，为一个极大无关组，（2）由可知，其中，自身即为一个极大无关组（3）由可知，其中，即为一个极大无关组，（4）由可知，其中，即为一个极大无关组，3-16 设,其中为n阶可逆阵，A、C均为矩阵，试证明,并问：与，与关系如何？证明：设A的行向量为，C的行向量为，由已知得，由于为n阶可逆阵，因此可以由线性表出同理两边同乘 得 ，即可以由线性表出综上所述与等价，即故故即第四章作业参考答案4-1.在下列各题中，将向量表为其他向量的线性组合：（1）（2）解：（1）令，则，易解得，即（2）令，则，易解得，即4-3.确定a使下列方程组有解，并求出解来：解：由题意得，要使原方程组有解，则，即将代入原方程组，则原方程组变为，令，解这个方程得，,4-5.用初等变换解下列方程组；（1） （2） （4）解：（1）,即原方程组的解为（2）,故即原方程组无解（4），令，解这个方程组得，即，其中，4-6.求下列齐次线性方程组的基础解系：（1） （3）解：（1），易解得，故，该方程组的基础解系为（3），即，所以该方程组无基础解系4-7.选择p,q使下列方程有解，并求其解：（1） （2）解：（1）当且时，有唯一解当时，代入原方程组，易解得，其中，当时，代入原方程组，得原方程组无解（2）显然，当或时，原方程组无解当且时代入原方程组，的原方程组的解为，其中，4-10已知是齐次方程组的一个基础解系，记，问是否也可以作为的基础解系？证明：为了证明也可以作为的基础解系，要证明三个方面。第一，要证明也是的解，第二，要证明线性无关，第三，的解空间最大线性无关组的秩为3.首先证明也可以作为的基础解系，同理可得，因此也是的解其次，令，即，所以线性无关最后由于是齐次方程组的一个基础解系，显然，的解空间最大线性无关组的秩为3综上所述，也可以作为的基础解系4-11.设A是矩阵，B是矩阵，X是n维列向量。证明：若齐次方程组与同解，则有.证明：设的解空间为,的解空间为， 由得，由得，又由若齐次方程组与同解，得，所以4-12设A，B都是n阶方阵，证明：若，则。进而证明：若将条件放宽为分别为矩阵，此结论仍成立。证明：若设A，B都是n阶方阵，记，由,知是方程组的解，于是秩（B）=秩（）秩（A），即若将条件放宽为分别为矩阵，对分块矩阵作初等变换，有则而所以,本题中，因此4-15.设为非齐次线性方程组，为其导出组，则下列命题中正确的有（）（a）若有非零解，则必有无穷多解；（b）若有无穷多解，则必有非零解；（c）若只有唯一零解，则也只有唯一解；（d）若只有唯一解，则只有唯一零解；（e）若无解，则只有唯一零解。（正确的请证明，不正确的请举出反例）正确：b,d(a)反例：若，显然有非零解，但无解(b)证明：由于有无穷多解，因此，故，所以，必有非零解(c)反例：若，显然只有唯一零解，但无解(d)证明：由于只有唯一解，因此，故，所以，只有唯一零解(e)反例：若，显然，无解，但有非零解。例5.设.（1）a,b取何值时，能用线性表示？表示为？（2）a,b取何值时，不能用线性表示？解：（1）不妨令，即，解上述方程组，易得，而为了使原方程组有解，则将上述a,b值代入原方程组得，令，解得，所以（2）由（1）式知若时，不能用线性表示当时，若则不能用线性表示当时，显然，不能用线性表示第五章作业参考答案5-2试证：是的一组基，并求向量在这组基之下的坐标。证明：要证线性无关，即证满足方程的只能均是0.联立方程得 计算此方程系数的行列式故该方程只有零解，即，因此，是的一组基设在这组基下的坐标为，在这组基下的坐标为，由已知得代入易解得即为，在这组基下的坐标。5-5设，求：（1）及的范数；（2）与都正交的所有向量。解（1） （2）设与都正交的向量为，则 解得令得令得则有，其中为任意实数，即为所求向量。5-6证明：若与向量组中的每一个向量都正交，则它也与的任何线性组合正交。证明：令为的线性组合，则，由题意知则原命题得证。5-7用施密特正交化方法将正交规范化。解：同理可得综上所述，正交规范的结果为5-9已知，试由它出发构造的一组规范正交基。这样的基唯一吗？解：令为的一组规范正交基，由已知得都与正交，应满足方程，设，故 的基础解系所以为的一组规范正交基，但这样的基不唯一。5-10已知矩阵为正交阵，求的值解：由为正交阵得解上述方程组得第六章作业参考答案6-1求下列矩阵的特征值和特征向量：（1）； （4）解：（1）,解得特征值为将其代入则，当时，解得则特征向量当时，同理可得特征向量（4）方法同（1）可以计算得特征值为，代入得当时，特征向量为当时，特征向量为当时，特征向量为6-2设，其特征值为，求。解：由其特征值为,与上式对比发现 解得6-5设是的属于不同特征值的特征向量，证明不是的特征向量。证明：利用反证法求解，假设是的特征向量设的特征值为，的特征值为，的特征值为，由已知得而与题设矛盾。所以假设不成立，即不是的特征向量6-7若n阶方阵满足关系,就称为对合矩阵（自逆阵）（参见题4-53）。证明：对合矩阵的特征值只能是1或-1.证明：任取的一个特征值为，特征向量即对合矩阵的特征值只能是1或-16-9若为n阶正交阵，证明的特征值只能是1或-1.证明：任取的一个特征值，特征向量 两端同乘得而由于，故，即，亦即的特征值只能是1或-1.6-13已知，求解：由定义知必存在与同阶的可逆矩阵P满足由定理6.06（5）知6-14已知,求解：记为对角阵即显然是的同阶可逆阵，易得,即6-16证明：若,则证明： 必存在与A、B同阶的可逆阵，满足,同理与均为可逆阵且6-18证明：主对角元素互不相同的上（下）三角阵必可对角化。证明：先证主对角元素互不相同的上三角阵必可对角化设上三角阵为，则即，由于主对角元素互不相同，即互不相同因此n阶方阵A由n个不同的特征值，即A必可对角化同理可证，主对角元素互不相同的下三角阵必可对角化。6-19求的特征值和特征向量，并用正交变换将它对角化。解：解得：当时，解得特征向量，将其单位化得同理，当时，单位化得则正交阵为可验证6-20用正交变换将下列实对称阵对角化：（1） （2）解（