向量在中学几何中的应用.doc

向量在中学几何中的应用 所谓向量法，就是利用向量的运算来研究图形性质的方法。几何学的主要内容是研究空间或平面图形的性质，而空间或平面图形可以看成是点的集合。由于向量的几何性质，又由于向量、点、序偶之间的对应关系，可以把图形的基本结构转为向量的关系，这实质就是几何问题的代数化处理。这样，几何中的添线、补图等技巧让位于代数中的解法。运用向量方法处理中学数学中有关问题能开阔解题思路，化难为易，使之更简捷地得到解决。下面举例题来说明向量在中学几何中的应用。一、利用向量射影公式求两异面直线间的距离利用向量射影公式求两异面直线间的距离，对数量积公式=|变形，可得向量射影公式| =，求两异面直线间的距离，可转化为先求得两直线的公垂线的方向，然后在两直线上各取一点，得到以这两点为起点和终点的向量，最后利用向量射影公式求出该向量在公垂线的方向上的射影长就是两异面直线间的距离。 例1、已知长方体中， =4，=3， =2，若、分别是、的中点，求异面直线与间的距离。 解；以点为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，则有：， ， ， ， 图1所以=，=，。 设=，且, 解得： 取y=3，则设向量在向量上的射影长为,则 即为异面直线间的距离，所以=|=二、利用向量求点到面的距离 点到平面的距离，可转化为求以该点为端点的斜线段所成的向量到该平面的法向量上的射影长。例2、如图2，在棱长为1的正方体- 中，、分别是、的中点，求点到截面的距离. 解：以为原点，如图建立空间直角坐标系，则, ,所以, , 设面的法向量为= ,则有：， 图2 所以 令x=1,则y=2,z=-1，所以。又，所以点到截面的距离为=。对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解。所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理的应用。三、利用向量求两条异面直线所成的角在计算异面直线所成角时，转化为求向量的夹角。利用公式。例3、在长方体- 中，已知 =3, =,求：异面直线与所成的角。解：如图3，以为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，则有：, , , 所以, ,所以 = 图3 (点评：计算两条直线所成的角是向量运算的基本功能，应重点掌握)四、利用向量求二面角求二面角的大小问题可以转化为二面角两个面所对应的法向量与法向量夹角的问题、避免了寻找两个面的平面角的麻烦，一般步骤如下：（1）求平面，平面的法向量，（2）求的大小（3）利用二面角与其法向量夹角关系，得出二面角的大小为或-。其中的大小可以计算得出，但确定二面角的大小是还是-呢？可根据定理：若、分别为二面角的两个半平面上二点，且,，、分别为平面，平面的法向量，则当与符号相同时，二面角的大小与相等，当与符号相反时，二面角的大小与互补，概括为“同号相等，异号相反”。例4、已知正方体- 中，、分别为棱、的中点。求平面与平面所成的二面角大小。解：如图4，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2,则，。， ， 设平面的法向量。=0， =0 ，令z=-2， 图4 则同理，可求得平面的一个法向量，=-,又由=-20，=20可知所求二面角与其法向量夹角互补。平面与平面所成的二面角大小为。五、利用向量求轨迹方程利用向量确定具有一定性质的点的轨迹，其过程一般是：（1）设置向量，建立适当的坐标系；（2）根据已知条件找出已知点或线段对应的向量，并把它们看作常量，找出动点表示的向量。例5、如图5，已知椭圆，直线是直线上一点，射线交椭圆于，又点在上且满足,当点在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解：由题意可设= （0） = （0） 、代入= 设、 、 图5 由、可得 ， 因为点、分别在已知直线和椭圆上，分别代入得： 由、可得： ，因此点的轨迹是椭圆，其轨迹方程为： （其中x、y不同时为零）。说明：这是几年前的一道全国高考题，是一道有难度的多动点轨迹问题。如果用解析几何常规方法求解，其过程曲折冗长，运算复杂。现在用向量求解，不仅减少运算量，其过程也变得平坦自然。在解题过程中，除了合理地构造向量外，另一关键点就是充分利用了共线向量的性质。 六、利用共线向量定理证明：两直线平行 例6、如图6，已知五边行，、分别是边、的中点，、分别是、的中点。求证：/且=。（分析：欲证两直线平行，只需证明分别在两直线上的非零向量共线即可）证明：任取一点，则=（+ ）=（+）=（+ ）=（+）=-=（-）= 图6故/且=七、利用向量证明垂直问题 例7、如图7，四面体中，=，=，点、分别是、的中点，求证：是、的公垂线。分析：要证，由向量垂直的充要条件可知，只要证,且即可，应用向量加法的法则，由得到， ，由得到， 图7 ，又由、分别是、的中点，化简即可得到，。证明：=，=, 点、分别是、的中点 化简 式得 化简 式得 - 得 = 由、得=0， 是、的公垂线。总之，几何对象的向量方法处理，既能反映对象间的数量关系，又能体现其位置关系，从而能数形相辅地用代数方法研究几何题。用向量工