2020年3月第二次在线大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学（含答案）.doc

2020年3月高三第二次在线大联考（新课标卷）理科数学（满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1已知集合，集合，则AB或CD2已知为虚数单位，若复数，则ABCD3设为等差数列的前项和，若，则ABCD4胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为ABCD5函数的图象大致为6年河北省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为ABCD7已知是边长为的正三角形，若，则ABCD8已知，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入ABCD9已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率ABCD10已知函数，则下列结论中正确的是函数的最小正周期为；函数的图象是轴对称图形；函数的极大值为；函数的最小值为ABCD11在棱长为的正方体中，为线段的中点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为ABCD12已知是函数的极大值点，则的取值范围是ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知，满足不等式组，则的取值范围为_14设为数列的前项和，若，且，则_15某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是_（填序号）；这名学生中数学成绩在分以下的人数为；这名学生数学成绩的中位数约为；这名学生数学成绩的平均数为16已知，为双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上存在点满足，则的最大值为_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）在中，角，的对边分别为，已知（1）若，成等差数列，求的值；（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，为的中点，点在线段上，且平面（1）求证：；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值19（本小题满分12分）某景点上山共有级台阶，寓意长长久久甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且（1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望；（2）证明：数列是等比数列；（3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率20（本小题满分12分）已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的标准方程；（2）设点的横坐标为，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值21（本小题满分12分）已知函数，其中，为自然对数的底数（1）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点；（2）当时，求证：请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值2020年3月高三第二次在线大联考（新课标卷）理科数学 全解全析123456789101112CBCDDBACBDCB1C 【解析】由可得，解得或，所以或，又，所以，故选C2B 【解析】由可得，所以，故选B3C 【解析】根据等差数列的性质可得，即，所以，故选C4D 【解析】设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以，该金字塔的侧棱长为，所以需要灯带的总长度约为，故选D5D 【解析】由题可得函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除选项B；又，所以排除选项A、C，故选D6B 【解析】甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B7A 【解析】由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A8C 【解析】由于中正项与负项交替出现，根据可排除选项A、B；执行第一次循环：，若图中空白框中填入，则，若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第二次循环：由均可得，若图中空白框中填入，则，若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第三次循环：由可得，符合题意，由可得，不符合题意，所以图中空白框中应填入，故选C9B 【解析】设，则，因为，所以若，则，所以，所以，不符合题意，所以，则，所以，所以，设，则，在中，易得，所以，解得（负值舍去），所以椭圆的离心率故选B10D 【解析】因为，所以不正确；因为，所以，所以，所以函数的图象是轴对称图形，正确；易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可当时，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，正确；因为，所以，所以函数的最小值为，正确故选D11C 【解析】分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，设的外心为，则，设球的球心为，半径为，则，所以，解得，所以，所以球的表面积为，故选C12B 【解析】方法一：令，则，当，时，单调递减，时，且，即在上单调递增，时，且，即在上单调递减，是函数的极大值点，满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，时，所以，这与是函数的极大值点矛盾综上，故选B方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，即；在的右侧附近，即易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B13 【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为14 【解析】由题可得，解得，所以，上述两式相减可得，即，因为，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以15 【解析】由频率分布直方图可知，解得，故不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故正确；这名学生数学成绩的平均数为，故不正确综上，说法正确的序号是16 【解析】设，由可得，整理得，即点在以为圆心，为半径的圆上又点到双曲线的渐近线的距离为，所以当双曲线的渐近线与圆相切时，取得最大值，此时，解得17（本小题满分12分）【解析】（1）因为，成等差数列，所以，（2分）由余弦定理可得，（4分）因为，所以，即，所以（6分）（2）若B为直角，则，由及正弦定理可得，（8分）所以，即，上式两边同时平方，可得，所以（*）（10分）又，所以，所以，与（*）矛盾，所以不存在满足为直角（12分）18（本小题满分12分）【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，则为的中点，因为为的中点，所以，又，所以，从而，四点共面（3分）因为平面，平面，平面平面，所以（5分）又，所以四边形为平行四边形，所以，所以（6分）（2）因为，为的中点，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，互相垂直，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，所以，（8分）设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以平面的一个法向量为设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以平面的一个法向量为，（10分）所以，（11分）所以平面与平面所成二面角的正弦值为（12分）19（本小题满分12分）【解析】（1）由题可得的所有可能取值为，（1分）且，（3分）所以的分布列为所以的数学期望（5分）（2）由题可得，所以，（7分）又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列（9分）（3）由（2）可得（12分）20（本小题满分12分）【解析】（1）设，则点到轴的距离为，因为圆被轴截得的弦长为，所以，（2分）又，所以，化简可得，所以曲线的标准方程为（4分）（2）设，因为直线的斜率，所以可设直线的方程为，由及，消去可得，所以，所以（6分）设线段的中点为，点的纵坐标为，则，所以直线的斜率为，所以，所以，所以（8分）易得圆心到直线的距离，由圆经过点，可得，所以，整理可得，（10分）解得或，所以或，又，所以（12分）21（本小题满分12分）【解析】（1）由题可得函数的定义域为，（1分）设，显然函数在上单调递增，当时，所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；当时，所以函数有且仅有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；（3分）当时，因为，所以，又，所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点综上，函数有且仅有一个零点（5分）（2）由（1）可得，当时，函数有且仅有一个零点，设，由（1）可得函数的最小值为（6分）由可得，即，所以，即，所以，所以，（8分）设，则，对于函数，（10分）设，则恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以（12分）22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）将代入，可得，所以曲线的直角坐标方程为（2分）由可得，将，代入上式，可得，整理可得，所以曲线的参数方程为为参数（5分）注：参数方程只要正确均给分.（2）由题可设，所以，（7