初三同步辅导材料(第4讲)一元二次方程.doc

初三同步辅导材料（第4讲）一元二次方程主讲：何炳均（南京市一中 高级教师）一、教学进度：第十二章 一元二次方程 12.3 一元二次方程的根的判别式12.4一元二次方程的根与系数的关系教学目标： 1. 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；2能根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值或取值范围和进行有关的证明； 3熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；4会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和；二、重点、难点剖析1一元二次方程的根的判别式是学习一元二次方程的主要内容之一一般地说，学习时的难度并不大，但有几个问题要弄清楚：(1) 对于方程ax2bxc0(a0)，代数式b4ac叫做根的判别式，用“b4ac”表示写出一个一元二次方程的根的判别式，首先要将一元二次方程化为标准形式，凡不是标准形式的一元二次方程，都应当通过去括号、移项、合并等步骤化为标准形式. 任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ，因此对于被开方数 来说，只需研究 为如下几种情况的方程的根。当 时，方程有两个不相等的实数根。即 当 时，方程有两个相等的实数根，即 。当 时，方程没有实数根。 (2)判别式的作用是可以由其值的情况确定一元二次方程根的情况，当判别式的值分别取正数、零和负数时，一元二次方程分别有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.必须指出的是： 判别式与判别式的值是有区别的，判别式是一个代数式，我们确定方程根的情况是用它的值去判定； 判别式的作用只是判别根的情况(指有无实数根)，而不能确定实数根的值如方程3x22x50，根据(2)43(5)460640，可确定此方程有两个不相等的实数根，至于这两个根是什么数，还是要通过解方程去求得虽然判别式不能确定方程的根的大小，但由于对方程根的情况清楚了，显然对解题是有帮助的，如对于整系数方程3x2x50由于64是一个完全平方数，因此可判断方程的根是有理数,因而我们解此方程时可以直接运用十字相乘方法把方程分解为两个一次方程：x10,或3x50，同样，如果0，那么方程axbxc0(a0)有两个相等的实数根，x1x2方程的根为x1x2其实,此时方程的左边可以化为一个完全平方式:22.由方程 ax2bxc0(a0)的求根公式 x1,2 (b24ac0)不难得到 x1x2 , x1x2 . 这就是一元二次方程的根与系数关系(也称韦达定理).在学习和应用上述定理时要注意以下几点:1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，在运用时需先将一元二次方程化为标准形式ax2bxc0(a0);2.运用韦达定理的前提是方程有实数根；3.韦达定理不仅可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根;两负根;一正根一负根等);4.要防止出现x1x2这样的错误.三、典型例题例1 m取什么值时，方程3x2(3m1)x3m10(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解 2(3m1)43(3m1)24m16 当24m160，即m时，方程有两个不相等的实数根； 当24m160，即m时，方程有两个相等的实数根； 当24m160，即m时，方程没有实数根 例2 已知方程x(3a)x(3ab)0有两个相等的实数根，求实数a与b的值 解 方程有两个相等的实数根， (3a)4(3ab) a6a912a4b(a3)4b0 由非负数的性质得a3,b0 (为求a、b值就要寻求关于a、b的等式，根据方程根的判别式的取值情况即可 得到等式或不等式，这里分析利用非负数的性质是解题的关键)例3 当a、b为何值时，方程x2(1a)x(3a4ab4b2)0有实数根?方程有实数根，这句话的含义，是指方程有不相等或相等的两个实数根，即0 解 方程有实数根，0，即 2(1a)4(3a4ab4b)0 整理后可得(1a)(a2b)20 (1a)20,(a2b)0， 上述不等式只能有成立，即 1a0且a2b0， 则a1,b 例4 判别下列关于x的二次方程2(m1)x4mx(2m1)0的根的情况 分析不难看出，这是与判别式有关的问题，但有两点应当引起注意： (1)二次方程的二次项系数不为零，即2(m1)0,m1； (2)根的情况还不知道，需要去探求，它取决于判别式的值是正数、零或是负数 解 (4m)42(m1)(2m1)8m8； 又2(m1)0，即m1；(1)当 8m80 m1， 即m1且m1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当 8m80 m1， 即m1时，方程有两个相等的实数根；(3)当 8m80 m1， 即m1时，方程没有实数根 提醒大家，(1)的解答中，且m1的条件是不可少的，因为数1在m1的范围内；而(2)、(3)的解答中，若在解答中写上“且m1”就不对了，因为m1不在m1的范围内 例5 当m为何值时，关于x的二次三项式x2(m4)xm6m2是完全平方式? 分析 我们已讲过，当0时,方程axbxc0(a0)有两个相等的实数根，也就是方程的左边axbxc是个完全平方式:a(x)2,因此这类问题仍然与判别式有关 解 当方程x2(m4)xm6m20有两个相等的实数根时，原二次三项式 是完全平方式 令2(m4)4(m6m2)0 整理后得 56m560 m1 则当m1时，原二次三次式是完全平方式 例6 求证：方程x(m1)x0必有两个不相等的实数根 解这类题时，常常会出现这样的错误： 0，(m1)40，即m10. 方程必有两个不相等实数根. 这是不可忽视的错误(实际是逻辑上的错误)，为什么这样做是错的呢?这是由于 0不是题中已经给出的明显条件，而是要你说出0的道理，只有把道理讲清楚，才能表明结论正确，这与几何的证明题是十分相似的 证明 (m1)2mm1 而不论m为任何实数，总有m0 则m10，即0, 原方程必有两个不相等的实数根.例7 已知a、b、c是ABC的三边，且方程b(x1)2axc(x1)0有两个相等的实数根，试判断ABC的形状 分析 这是一道代数、几何知识的综合题，解题前应当明确：(1) 从条件知，问题与判别式有关，又因原方程不是标准形式，所以必须先将方程 化为标准形式；(2) 判断ABC的形状常从边，或角的方面去考虑，从题设条件可知，本题应从边的关系去判断 解 将原方程化为 (cb)x2ax(cb)0. 方程有两个相等的实数根， (2a)4(cb)(cb)0； 即abc； ABC是直角三角形例8 已知一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b0,c0,则( ).(A)方程有两个正根 (B)方程有两个负根(C)方程的两根异号,且正根的绝对值较大 (D)方程的两根异号,且负根的绝对值较大解 a0,c0，ac0, b2ac0.故方程必有两个不等的实数根.由x1x20,知x 1、x2两根异号,故排除(A)、(B),又x1x20,故负根的绝对值较大, 选(D).评析 本例中，条件a0, c0是方程有实数根的隐含条件.这一点在解题时要引起重视,一般地,当ac0时,方程有一个正根和一个负根.(想一想,为什么?)例9 如果2是方程x24xc0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c的值. 解 设方程的另一个根为x1,根据根与系数关系,得 x1(2)4 x1(2)c 由得x12,则c(2)(2)1 方程的另一个根及c的值分别为2和1. 注：也可将x12代入方程求得c，再由或式求出x例10 设x1、x2是方程2x23x10的两根,不解方程,求的值.解 x1、x2是方程2x23x10的两根, x1x2, x1x2.则这类题是常见题,解题的规律是通过恒等变形把原代数式化为用二次方程两根和与积表示的代数式.如: x12x22(x1x2)22x1x2; ; ; (x1x2)2(x1x2)24x1x2;(x1m)(x2m) x1x2m(x1x2)m2等等.但不是任何一个代数式都能用两个根的和与积表示的,如x13x22.例11 k为何值时,方程x2(2k1)xk210有两个实数根,且两根互为倒数.分析 解这类问题,首先应当考虑二次方程是否有实数根,只有在有实数根的前提下,才能利用根与系数的关系.解 方程有实数根, (2k1)24(k21)0, 即 k.设方程的两实数根为x1、x2，则根据题意得x1x2k211 k.k不满足k,舍去.当k时,方程的两根互为倒数.例12 已知a、b是方程8x26mx2m10的两个实数根,且a2b21,求m的值.解 由根与系数关系得,abm, ab.由已知得 a2b2(ab)22ab1 即:(m)221整理后得 9m28m200. 解得 m12, m2.当m2时,原方程即8x212x50,其判别式1224850, m2舍去;当m时,原方程即72x260x110,其判别式602472110所求的m的值为. 例13 已知a2a10,b2b10(ab). 求a2bab2的值.分析 从已知条件可以看出，a、b是方程x2x10的两根，由于a2bab2ab(a b)，故而所求代数式系a、b两数积与两数和的积，这就容易联想到二次方程的根与系数的关系.解 由已知条件可知,a、 b是方程x2x10的两个不等的实数根,则 ab1,ab1故a2bab2ab(ab)（1）(1)1. 例14 已知方程3x22x40,不解方程，求作一个一元二次方程,使它的一根为原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方.解 设原方程的两根为x1、x2 . 则 x1x2，x1x2 . (这是原方程根与系数的关系) 设所求的方程为y2pyq 0，它的两根为y1、y2。 则p(y1y2)，qy1y2 . (设所求方程的二次项系数为1，是为了简化运算） 由已知,y1 y2(x1x2)2(x1x2)24x1x2 (这是解决问题的关键，用它沟通了所求方程的根与原方程根之间的联系.) 则 p(y1y2)( ), q y1y2, 所求的方程为y2y0. 即 18y2131y1560.巩固练习 一、选择题 1若关于x的一元二次方程2x(mx4)x60没有实数根，则m的最小整数值是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)42已知方程xpxm0(m0)有两个相等的实数根，则方程xpxm0的根的 情况是 ( ) (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定有无实数根3在下面三个方程中: 2xmx10；x2mx2m0;4x(m1)x m0无论m取任何实数根都永远有两个实数根的方程的个数是 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4如果方程2x2kx60一个根是3，另一根是x,则（ ） (A)x11,k4 (B)x11,k8 (C)x22,k1 (D)x22,k5 5.以 和为根的一元二次方程是（ ）(A)15x216x10 (B) 15x216x150 (C)15x216x150 (D) 15x216x150 6.已知一元二次方程的两根之和是，两根的倒数和是，这个一元二次方程是 ( ) (A）x2x0 (B) x2x0 (C) x2x0 (D) x2x0 7.不解方程，判断x2x10根的情况是（ ） （A）有一正根一负根 （B）有两个正根 （C）有两个负根 （D）没有实数根 8一元二次方程x2x10的根的情况是（ ） (A)两实数根的和等于两实数根的积 (B)两实数根的和与两实数根的积互为相反数 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 9若方程x2(k27)x1的两根之和是2，则实数k的值是（ ） （A） (B) (C) 3 (D) 2二、填空题 1不解方程,判断4x430的根的情况是_. 2不解方程,判断y（ ）y20的根的情况是_. 3.不解方程,判断x2xx20的根的情况是. 4.当m_时,方程32（3m）xm1没有实数根 5.当m_ 时，方程(m1)x22(m7)x2m20有两个相等的实数根. 6.若关于x的一元二次方程2kx2(8k1)x8k有两个实数根，则k的取值范围是_ 7.已知一元二次方程x23x10的两根为x1、x2,则 ， x12 x22 ,(x15)(x25) . 8.以2、2为两根的一元二次方程是 . 9.已知关于x的方程6x22xa0的一根比另一根大2,则a . 10.已知关于x的方程4x29x3(k1)0,当k 时,方程有一根为零, 当k 时,方程的两实数根互为倒数.三、解答题1m为何值时，方程mx23x20没有实数根2试判别一元二次方程x22xm0的根的情况 3求证：对于任何实数m，关于x的二次方程x2(m1)x(m1)0总有两个不 相等的实数根 4已知a、b、c是ABC的三边，且一元二次方程(cb)x22(ba)x(ab)0 有两个相等的实数根，试判断ABC的形状 5若a、b、c均为实数，试证明方程(xb)(xc)(xc)(xa)(xa)(xb) 0一定有实数根 6已知方程2x2kx2k10的两实数根的平方和为，求k的值. 7已知方程2x26x10的两根为、，不解方程，求作一个一元二次方程， 使它的两根分别为