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14 3空间直线与平面的位置关系 在日常生活中你见到最多的直线与平面垂直的情形是什么 请举例说明 1 如图1 阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么 随着太阳的移动 旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗 2 旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B C 的位置关系又是什么 依据是什么 由此得到什么结论 3 如图2 当旗杆AB倾斜时 还能保证AB与地面上的任一直线都垂直吗 问 定义这条直线和这个平面垂直 定义 一般地 若一条直线l与平面 上的任何直线都垂直 则称为直线l与平面 垂直 记作l 直线l叫做平面 的垂线 直线l与平面 的交点叫做垂足 a A 画法 辨析1 下列命题是否正确 为什么 1 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线 那么这条直线与这个平面垂直 2 如果一条直线垂直一个平面 那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线 符号表示 用定义判定直线与平面垂直是否方便 实验 过 ABC的顶点A翻折纸片 得到折痕AD 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 BD DC与桌面接触 问题4 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直 由此你能得到什么结论 定理2若直线l与平面 上的两条相交直线a b都垂直 则直线l与平面 垂直 这个定理可由公理等证明 这里不作要求 即证明略 正方体ABCD A B C D 中 AC 平面BB D D吗 为什么 事实上 验证旗杆是否与地面垂直 只需验证旗杆与地面上两条相交直线的垂直 在平面几何中 我们学习了点到点的距离 点到直线的距离的计算 下面将定义空间图形中的有关距离 1 点到平面的距离 点M是平面 外一点 过点M作平面 的垂线 垂足为N 则线段MN的长叫做点M到平面 的距离 定义 若一条直线l和一个平面 没有公共点 则叫做直线l与平面 平行 记作l 2 直线到平面的距离 设直线l平行于平面 在直线l上任取一点M 则点M到平面 的距离叫做直线l到平面 的距离 该距离与点M的取法有关吗 3 平面到平面的距离 设平面 平行于平面 在平面 上任取一点M 则点M到平面 的距离叫做平面 到平面 的距离 该距离与点M的取法有关吗 4 异面直线的距离 设直线a与直线b是异面直线 当点M N分别在a b上 且直线MN既垂直于直线a 又垂直于直线b时 则 直线MN叫做异面直线a和b的公垂线 线段MN的长叫做异面直线a和b的距离 观察 取一块边长为a的正方形的纸板ABCD E F分别为AB CD的中点 将纸板沿EF折起 如图 则直线AE与CF的距离是多少 例1如图 长方体ABCD A B C D 中 AA 3cm AB 4cm AD 5cm 1 求点A 到点C的距离 2 求点A 到BC的距离 3 求棱AB到平面A B C D 的距离 4 求异面直线AD和A B 的距离 1 直线与平面垂直的定义 2 直线与平面垂直的判定与性质 关于直线与平面的垂直的小结 思考 如图 空间四边形ABCD中 求异面直
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