力学第十二章.doc

第十二章 用能量法计算弹性位移第十二章 用能量法计算弹性位移习 题121 两根杆拉伸刚度均为EA，长度相同，承受荷载如图所示，分布荷载集度q=F/l，试求这两根杆的应变能，并作比较。习题121图Flqlm习题122图解：，122 试求图示受扭圆轴内所积蓄的应变能，杆长为，直径为，材料的剪变模量为。解：123 试计算下列梁内所积蓄的应变能，略去剪力的影响。ql/2AB（a）EIl/2习题123图q0l（b）ABMEIAFlB(c)EIClql/2(d)EIAB解：（a）先求支座反力： 以A为坐标原点，x1以向右为正，AC段的弯矩方程为：以B为坐标原点，x2以向左为正，BC段的弯矩方程为：梁的变形能为：(b) 以B为坐标原点，x以向左为正，AB段的弯矩方程为：梁的变形能为：(c) 以B为坐标原点，x以向左为正，AB段的弯矩方程为：梁的变形能为：(d) 先求支座反力： 以A为坐标原点，x1以向右为正，AB段的弯矩方程为： （0x1l）以C为坐标原点，x2以向左为正，BC段的弯矩方程为： （0x2l/2）梁的变形能为： 124 试求图示结构中的弹性变形能。lAF习题125图DIlClBEAB习题124图lEIAF2l/3Cl/2 解：由得：，所以则CD杆的变形能为：由得：(方向向下)以A为坐标原点，x1以向右为正，AD段的弯矩方程为：以B为坐标原点，x2以向左为正，BD段的弯矩方程为：则梁AB的变形能为：所以整个结构的变形能为：125 图示桁架各杆弹性模量均为E，截面面积均为A，试求在图示荷载作用下桁架的弹性变形能，并求C点水平位移。解：由结点平衡，求得各杆件的轴力如下：则结构的变形能为：由：,得：126 用卡氏定理求图示梁C点的挠度。梁的弯曲刚度为EI。题126图CqAl/2l/2(b)Al/2Fl/2(a)C解：（a）AC段弯矩方程为：梁的变形能为：所以(b) 在C点加一向下的力F，求得支座反力为：以A为原点，x1以向右为正，AC段的弯矩方程为：以B为原点，x2以向左为正，BC段的弯矩方程为：梁的变形能为：令F=0，则127 用卡氏定理求图示梁C截面的转角和挠度。EI为常数。习题127图Cll/2q 解：（）求C截面的转角。在C截面处加一顺时针力偶M，求出支座反力：以A为原点，x1以向右为正，AB段的弯矩方程为：以C为原点，x2以向左为正，BC段的弯矩方程为：梁的变形能为：令M=0，则（2）求C点的挠度。在C点处加一向下的力F，求出支座反力：以A为原点，x1以向右为正，AB段的弯矩方程为：以C为原点，x2以向左为正，BC段的弯矩方程为：梁的变形能为：令F=0，则128 用卡氏定理求图示刚架A点的水平位移和截面的转角。EI习题128图2EIqlABFEIlCD解：（）求A点的水平位移。求出支座反力：以A为原点，x1以向左为正，AC段的弯矩方程为(以内侧受拉为正)：以D为原点，x2以向上为正，CD段的弯矩方程为(以内侧受拉为正)：梁的变形能为：（2）求B截面的转角。在B截面处加一逆时针的力偶M，求出支座反力：以B为原点，x1以向上为正，AB段的弯矩方程为(以内侧受拉为正)：以C为原点，x2以向右为正，AC段的弯矩方程为：以D为原点，x3以向上为正，CD段的弯矩方程为：梁的变形能为：令M=0，则129 用卡氏定理求图示梁截面的转角和竖向位移。EI为常数。AllCB习题129图M解：(1) 求C截面的转角：在C截面处加一顺时针的力偶MC，以C为原点，x1以向左为正，BC段的弯矩方程为(以下侧受拉为正)：以B为原点，x2以向左为正，AB段的弯矩方程为：梁的变形能为：令MC=0，则（2）求C点的竖向位移。在C点处加一向下的力F，以C为原点，x1以向左为正，BC段的弯矩方程为(以下侧受拉为正)：以B为原点，x2以向左为正，AB段的弯矩方程为：梁的变形能为：令F=0，则1210 用莫尔积分法求下列梁的。EI为常数。EICll/2(b)FEICll/2(a)q题1210图解：()）求C点的竖向位移。在C点处加一向下的单位力F=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：AB段：以A为原点，x1以向右为正，BC段：以C为原点，x2以向左为正，2）求C截面的转角。在C截面处加一顺时针方向的单位力偶M=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程：AB段：以A为原点，x1以向右为正，BC段：以C为原点，x2以向左为正，（b）求C点的竖向位移。在C点处加一向下的单位力F=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：AB段：以A为原点，x1以向右为正，BC段：以C为原点，x2以向左为正，2）求C截面的转角。在C截面处加一顺时针方向的单位力偶M=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程：AB段：以A为原点，x1以向右为正，BC段：以C为原点，x2以向左为正，1211 用莫尔积分法求图示变截面梁A截面的转角。EI为常数。BEIEI2EIC习题1211图FF2aaaDA解：在A截面处加一顺时针方向的单位力偶M=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程：AB段：以A为原点，x1以向右为正，BC段：以A为原点，x2以向右为正，CD段：以D为原点，x3以向左为正，EIBAql/2l/2C习题1212图1212 用莫尔积分法求图示悬臂梁自由端截面的转角和挠度。EI为常数。解：（）求自由端截面的转角。在C截面处加一顺时针方向的单位力偶M=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程：AB段：以B为原点，x1以向左为正，BC段：以C为原点，x2以向左为正，（2）求自由端的竖向位移。在C截面处加一向下的单位力F=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：AB段：以B为原点，x1以向左为正，BC段：以C为原点，x2以向左为正，1213 用莫尔积分法求图示外伸梁：（1）B截面的转角，挠度；（2）C截面的转角，挠度。EI为常数。BCl/2l/2习题1213图qM=ql2/8l/2AD解：(1) a)求B截面的转角。先求梁在荷载作用下的支座反力：在B截面处加一顺时针方向的单位力偶M=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程：AB段：以A为原点，x1以向右为正，BD段：以A为原点，x2以向右为正，CD段：以C为原点，x3以向左为正，b)求B点的挠度。在B点处加一向下的单位力F=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：AB段：以A为原点，x1以向右为正，BD段：以A为原点，x2以向右为正，CD段：以C为原点，x3以向左为正，(2) a)求C截面的转角。在C截面处加一顺时针方向的单位力偶M=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程：AD段：以A为原点，x1以向右为正，CD段：以C为原点，x3以向左为正，b)求C点的挠度。在C点处加一向下的单位力F=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：AD段：以A为原点，x1以向右为正，CD段：以C为原点，x2以向左为正，1214 用莫尔积分法求图示悬臂梁自由端截面的竖向位移。习题1214图EIBAql/2l/2C（a）EIBAFl/2l/2C（b）2EI解：（）在C点处加一向下的单位力F=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：CB段：以C为原点，x1以向左为正，AB段：以B为原点，x2以向左为正，（b）在C点处加一向下的单位力F=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：CB段：以C为原点，x1以向左为正，AB段：以B为原点，x2以向左为正，1215 试求图示桁架节点C的水平位移，设各杆EA为同一常数。习题1215图ACFllBD解：在C点处加一向右的单位力F=1作为虚拟状态。求出各杆件在荷载及单位力作用下的轴力：1216 试求图示刚架C点的水平位移和转角。（EI=常数）BAql习题1216图lC解：（）在C点处加一向右的单位力F=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程（外侧受拉为正）：CB段：以C为原点，x1以向左为正，AB段：以B为原点，x2以向下为正，（b）在C点处加一顺时针方向的单位力偶M=1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程（外侧受拉为正）：CB段：以C为原点，x1以向左为正，AB段：以B为原点，x2以向下为正，BCl/2l/2MP图ql2/8l/2ADql2/81217 试用图乘法求上述12131217题。解：1.题12-13画出荷载作用下的弯矩图：1)求B截面的转角：在B截面处加一单位力偶，并作单位弯矩图：BCl/2l/2图1l/2AD1/21/2BCl/2l/2图1l/2ADl/42)求B点的挠度：在B点处加一单位力，并作单位弯矩图：BCl/2l/2图1l/2AD13)求C截面的转角：在C截面处加一单位力偶，并作单位弯矩图：BCl/2l/2图1l/2ADl/24)求C点的挠度：在C点处加一单位力，并作单位弯矩图：BAql2/8l/2l/2C3ql2/8MP图2.题12-14(a) 画出荷载作用下的弯矩图：在C截面处加一单位力，并作单位弯矩图：MP图EIBAFl/2l/2C2EIFlBA1l/2l/2Cl图(b) 画出荷载作用下的弯矩图：在C截面处加一单位力，并作单位弯矩图：MP图BAql2/2C图EIBA1l/2l/2C2EIl3.题12-16画出荷载作用下的弯矩图BA1C1图BAlC11)求C点的水平位移：在C点处加一单位力，并作单位弯矩图：2) 求C截面的转角：在C截面处加一单位力偶，并作单位弯矩图：1218 用图乘法求B截面的转角及C点的竖向位移。（EI=常数）All/2(b)qF=ql/2l(a)qMe=ql2习题1218图lCABBCAlql2lCBql2/2MP图解：（a）求B截面的转角。作出荷载作用下的弯矩图：在B截面处加一单位力偶，作出弯矩图：图A1B1图A1Bl/2C求C点的竖向位移：在C点处加以单位力，作出弯矩图：ql2/4ABCql2/8MP图（b）求B截面的转角。作出荷载作用下的弯矩图：在B截面处加一单位力偶，作出弯矩图：1ABC1图求C点的竖向位移：在C点处加以单位力，作出弯矩图：BC1Al/2图1219 用图乘法计算图示结构