《数制与编码》PPT课件.ppt

数字逻辑与数字电路 彭太乐 淮北煤炭师范学院计算机专业课程 淮北煤炭师范学院计算机科学与技术学院 tailepeng 在你深入学习 数字逻辑 课程的核心内容之前 首先应该掌握有关基本概念 以及计算机和其它数字系统中数据的表示形式 第一章知识要点 数字系统的基本概念 常用计数制 二进制 八进制 十进制 十六进制 及其转换 带符号二进制数的代码表示 机器数 真值 原码 补码 反码等概念 常用的几种编码 BCD码 可靠性编码 引言 什么是数字系统 简单地说 数字系统是一个能对数字信号进行加工 传递和存储的实体 它由实现各种功能的数字逻辑电路相互连接而成 例如 数字计算机就是一种最具代表性的数字系统 什么是数字逻辑电路 用来处理数字信号的电子线路称为数字电路 由于数字电路的各种功能是通过逻辑运算和逻辑判断来实现的 所以数字电路又称为数字逻辑电路或者逻辑电路 如 1 在日常通常采用的是十进制计数制 计数规则 逢十进一 例 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 99 100 所谓 数制 即用一组统一的符号和规则表示数的方法 2 在计算机中多用的是二进制计数制 因为其物理器件的输入 输出是用逻辑电平的两个状态表示 它是 逢二进一 1 1进位计数制 例 十进制数12345 67809 按权展开表示法将并列式按 权 展开为按权展开式 称为多项式表示法 如下例 10410310210110010 110 210 310 410 5 如上所示 处在不同位置的数字具有不同的 权 Weight 并列计数法 也称位置表示法 万千百十个位位位位位 十百千万十万分分分分分位位位位位 位置记数表示法 12345 67809 1 104 2 103 3 102 4 101 5 100 6 10 1 7 10 2 8 10 3 0 10 4 9 10 5 由此推出 任意一个十进制数N可以表示成 位置记数表示法 N 10 Kn 1Kn 2 K1K0 K 1K 2 K m 10 0 Ki 9 i m n 1 N 10 Kn 1 10n 1 Kn 2 10n 2 K1 101 K0 100 K 1 10 1 K 2 10 2 K m 10 m 10 Ki 10i 0 Ki 9 按权展开表示法 对于一个任意进制R的数N 有 1 特点 1 R个有序的数字符号 0 1 R 1 2 小数点符号 3 逢R进一 的计数规则其中 R 为进位基数或基数 例 R 2 二进制 数字符号有0 1 逢二进一 R 3 三进制 数字符号有0 1 2 逢三进一 R 8 八进制 数字符号有0 1 2 3 4 5 6 7 逢八进一 R 16 十六进制 数字符号有0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 必须用单字符表示 逢十六进一 2 表示法 位置记数表示法 N R An 1An 2 A1A0 A 1A 2 A m R 0 Ai R 1 按权展开表示法 N R An 1 Rn 1 An 2 Rn 2 A1 R1 A0 R0 A 1 R 1 A 2 R 2 A m R m R i m n 1 Ai Ri R 其中 n整数位数 m小数位数 0 Ai R 1 R为进位基数 当R 10时 则括号及括号外的基数R可以省略 一 二进制 基数R 2的进位计数制称为二进制 二进制数中只有0和1两个基本数字符号 进位规律是 逢二进一 二进制数的位权是2的整数次幂 任意一个二进制数N可以表示成 其中 n为整数位数 m为小数位数 Ki为0或者1 m i n 1 例如 一个二进制数1011 01可以表示成 1011 01 2 1 23 0 22 1 21 1 20 0 2 1 1 2 2 二进制的优点 运算简单 物理实现容易 存储和传送方便 可靠 因为二进制中只有0和1两个数字符号 可以用电子器件的两种不同状态来表示一位二进制数 例如 可以用晶体管的截止和导通表示1和0 或者用电平的高和低表示1和0等 所以 在数字系统中普遍采用二进制 见书上P3 P4 二进制的缺点 数的位数太长且字符单调 使得书写 记忆和阅读不方便 为了克服二进制的缺点 人们在进行指令书写 程序输入和输出等工作时 通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写 二 八进制 基数R 8的进位计数制称为八进制 八进制有0 1 7共8个基本数字符号 进位规律是 逢八进一 八进制数的位权是8的整数次幂 其中 n为整数位数 m为小数位数 Ki表示0 7中的任何一个字符 m i n 1 三 十六进制 基数R 16的进位计数制称为十六进制 十六进制数中有0 1 9 A B C D E F共16个数字符号 其中 A F分别表示十进制数的10 15 进位规律为 逢十六进一 十六进制数的位权是16的整数次幂 任意一个十六进制数N可以表示成其中 n为整数位数 m为小数位数 Ki表示0 9及A F中的任何一个字符 m i n 1 表1 1十进制数与二 八 十六进制数对照表 1 2 数制转换 1 二进制数转换为十进制数 二进制数转换成十进制数时 只需将二进制数表示成按权展开式 并按十进制运算法则进行计算 所得结果即为该数对应的十进制数 数制转换是指将一个数从一种进位制转换成另一种进位制 从实际应用出发 要求掌握二进制数与十进制数 八进制数 以及十六进制数之间的相互转换 1 二进制数与十进制数之间的转换 例如 10110 101 2 1 24 1 22 1 21 1 2 1 1 2 3 16 4 2 0 5 0 125 22 625 10 2 十进制数转换为二进制数 十进制数转换成二进制数时 应对整数和小数分别进行处理 整数转换采用 除2取余 的方法 小数转换采用 乘2取整 的方法 整数部分采用基数连除法 先得到的余数为低位 后得到的余数为高位 小数部分采用基数连乘法 先得到的整数为高位 后得到的整数为低位 所以 44 375 10 101100 011 2 采用基数连除 连乘法 可将十进制数转换为任意的N进制数 注意 当十进制小数不能用有限位二进制小数精确表示时 可根据精度要求 求出相应的二进制位数近似地表示 一般当要求二进制数取m位小数时 可求出m 1位 然后对最低位作 0舍1入 处理 例如 将十进制小数0 323转换成二进制小数 保留4位小数 即 0 323 10 0 0101 2 另例题见书上P8 2 二进制数与八进制数 十六进制数之间的转换 1 二进制数转换为八进制数 将二进制数由小数点开始 整数部分向左 小数部分向右 每3位分成一组 不够3位补零 则每组二进制数便是一位八进制数 2 八进制数转换为二进制数 将每位八进制数用3位二进制数表示 例如 将八进制数56 7转换成二进制数 例如 将二进制数11100101 01转换成八进制数 即 11100101 01 2 345 2 8 即 56 7 8 101110 111 2 3 二进制数转换成十六进制数 以小数点为界 分别往高 往低每4位为一组 最后不足4位时用0补充 然后写出每组对应的十六进制字符即可 例如 将二进制数101110 011转换成十六进制数 即 101110 011 2 2E 6 16 4 十六进制数转换成二进制数 只需将每位十六进制数用4位二进制数表示 例如 将十六进制数5A B转换成二进制数 即 5A B 16 1011010 1011 2 1 3带符号的二进制数的代码表示1 3 1真值与机器数 在对数进行算术运算时 必然涉及到数的符号问题 人们通常在一个数的前面用 号表示正数 用 号表示负数 数字系统中如何处理呢 在数字系统中 符号和数值一样是用0和1来表示的 一般将数的最高位作为符号位 用0表示正 用1表示负 为了区分一般书写表示的带符号二进制数和数字系统中的带符号二进制数 通常将用 表示正 负的二进制数称为符号数的真值 而把将符号和数值一起编码表示的二进制数称为机器数或机器码 常用的机器码有原码 反码和补码三种 用原码表示带符号二进制数时 符号位用0表示正 1表示负 数值位保持不变 原码表示法又称为符号 数值表示法 设二进制整数X Xn 1Xn 2 X0 则其原码定义为设二进制小数X 0 X 1X 2 X m 则其原码定义为 1 3 2原码 例1 若X1 1101 X2 1101 则X1和X2的原码为 X1 原 01101 X2 原 24 1101 10000 1101 11101根据定义 整数 0 的原码也有两种形式 即00 0和10 0 例2 若X1 0 1011 X2 0 1011 则X1和X2的原码为 X1 原 0 1011 X2 原 1 0 1011 1 1011 同样 小数 0 的原码可以表示成0 0 0或1 0 0 总结见书上P11 用反码表示带符号的二进制数时 符号位与原码相同 即用0表示正 用1表示负 数值位与符号位相关 正数反码的数值位和真值的数值位相同 而负数反码的数值位是真值的数值位按位变反 设二进制整数X Xn 1Xn 2 X0 则其反码定义为设二进制小数X 0 X 1X 2 X m 则其反码定义为 1 3 3反码 例如 若X1 1001 X2 1001 则X1和X2的反码为 X1 反 01001 X2 反 25 1 X 100000 1 1001 11111 1001 10110整数 0 的反码也有两种形式 即00 0和11 1 例如 若X1 0 1011 X2 0 1011 则X1和X2的反码为 X1 反 0 1011 X2 反 2 2 4 X2 10 0000 0 0001 0 1011 1 0100小数 0 的反码有两种表示形式 即0 0 0和1 1 1 总结见书上P11 用补码表示带符号的二进制数时 符号位与原码 反码相同 即用0表示正 用1表示负 数值位与符号位相关 正数补码的数值位与原码 反码相同 而负数补码的数值位是真值的数值位按位变反 并在最低位加1 设二进制整数X Xn 1Xn 2 X0 则其补码定义为设二进制小数X 0 X 1X 2 X m 则其补码定义为 1 3 4补码 例如 若X1 1010 X2 1010 则X1和X2的补码为 X1 补 01010 X2 补 25 X 100000 1010 10110 整数 0 的补码也只有一种表示形式 即00 0 例 若X1 0 1011 X2 0 1011 则X1和X2的补码为 X1 补 0 1011 X2 补 2 X 10 0000 0 1011 1 0101 小数 0 的补码只有一种表示形式 即0 0 0 总结见书上P12 1 3 5机器数的加 减运算 1 原码运算 当进行两数加 减运算时 要根据运算及参加运算的两个数的符号来确定是加还是减 如果是做减法 还需根据两数的大小确定被减数和减数 以及运算结果的符号 例题见书上例1 7 2 补码运算 采用补码进行加 减运算时 可以将加 减运算均通过加法实现 运算规则如下 X1 X2 补 X1 补 X2 补 X1 X2 补 X1 补 X2 补 运算时 符号位和数值位一样参加运算 若符号位有进位产生 则应将进位丢掉后才得到正确结果 3 反码运算 采用反码进行加 减运算时 无论进行两数相加还是两数相减 均可通过加法实现 加 减运算规则如下 X1 X2 反 X1 反 X2 反 X1 X2 反 X1 反 X2 反 运算时 符号位和数值位一样参加运算 当符号位有进位产生时 应将进位加到运算结果的最低位 才能得到最后结果 1 3 6十进制数的补数 1 对10的补数 具体示例 2 对9的补数 具体示例 1 4数的定点表示和浮点表示 计算机中表示小数点的方法有两种 一种是定点表示法 另一种是浮点表示法 定点 Fixedpoint 表示法是指计算机中小数点位置是固定不变的 根据小数点位置的不同 又可分为定点整数及定点小数表示法 浮点 Floatingpoint 表示法是指计算机中的小数点位置不是固定的 而是 浮动 的 与浮点数相对应的表示方法为记阶表示法 任何一个二进制数N都可表示为 N 2 E S 1 5数码和字符的代码表示1 5 1十进制数的常用代码 十进制数的代码表示 既具有二进制数的形式 又具有十进制数的特点 即用四位二进制数表示一位十进制数 可按位直接相互转换 可按位直接运算 主要有 8421 码 BCD码Binarycodeddecimal 2421 码余3码 Excess 3 表1 2三种十进制数的代码表示法 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码 因各位的权值依次为8 4 2 1 故称8421BCD码 1010 1111这几个代码为无效码 2421码的权值依次为2 4 2 1 是一种对9自补码 即只要2421码自身按位求反 就能方便地得到其 对9的补数 的2421码 余3码由8421码加0011得到 对9自补码代码运算若直接按二进制数运算 则运算结果要修正 如图 1 5 2可靠性编码 目的 解决代码在形成或传输过程中可能会发生的错误 提高系统的安全性 作用 1 不易出错 2 若出错时易发现错误 3 出错时易查错且易纠错 1 格雷码 Gray 特点 任意两个相邻数的代码只有一位二进制数不同目的 解决代码生成时 顺序计数 发生的错误例 四位二进制加1计数器 工作时有如下情况出现 b0状态先变化 b1状态先变化 2奇偶校验码ParityCode 偶校验 校验位P的取值使校验码中 1 的个数是偶数 奇校验 校验