《数字特征》PPT课件.ppt

第四章 随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的概率分布 它完整地描述了随机变量的概率性质 而数字特征则是由概率分布所决定的常数 它刻划了随机变量的某一方面的性质 在许多实际问题中 分布往往不易求得或不需求得 而只需了解某些数字特征 而数字特征往往容易通过数理统计的方法得到 这一节先介绍随机变量的数学期望 在这些数字特征中 最常用的是 数学期望和方差 1数学期望 MathematicalExpectation 设从其中任取一件产品 其售价为 则是一个随机变量 且 由此可见 售价的平均值等于售价的各可能值与其概率之和 称这个平均值为随机变量的数学期望或均值 则该箱产品的平均售价为 定义 设离散型随机变量X的概率分布为 若级数 绝对收敛 则称之为X的数学期望 记为E X 即 一 离散型随机变量的数学期望 例1甲 乙两个人进行射击 所得的分数分别为 它们的分布律分别为 试评定他们成绩的好坏 解甲乙两个人得分的数学期望分别为 由于 故甲的成绩强于乙的成绩 例2设随机变量X服从参数为p的0 1分布 试求X的数学期望 解由题意知X的分布律为 故 例3设X服从参数为的泊松分布 求X的数学期望 解由于X的分布律为 故 二 连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量X的概率密度为f x 如果积分 绝对收敛 则称之为X的数学期望 记为E X 即 解由于X的概率密度为 故 例5 指数分布 例6设随机变量 求E X 解 令 则 练习 一种验血新技术 在一个人数很多的单位中普查某种疾病 N个人去验血 有两种方法 1 每个人的血分别化验 共需N次 2 把k个人的血样混在一起化验 如果结果是阴性 那么一次就够了 如果呈阳性 那么对这k个人的血样再逐次化验 共需k 1次 假定对所有人来说 呈阳性的概率为p 且相互独立 下面说明当p较小时 方法 2 能减少化验的次数 解 用方法 2 验血时 每个人需化验的次数X的概率分布为 用方法 2 验血时 每个人需化验的次数X的概率分布为 因此 N个人需化验的次数的数学期望为 例如 三 随机变量的函数的数学期望 1 若X是离散型随机变量 且X的概率分布为 2 若X是连续型随机变量 且其概率密度为f x 则 则 例7 解 设随机变量X的概率分布如下 例8 解 设随机变量X的概率密度为拉普拉斯分布 上述结论可推广到两个随机变量的函数的情况 1 若 X Y 是离散型随机变量 且其联合分布律为 则 2 若 X Y 是连续型随机变量 联合概率密度为f x y 则 例9已知二维随机变量 的联合分布律为 试求 解 的边缘分布律可以先求出来 然后再求E E 或者先求出的分布律 再求 的所有可能取值为0 1 2 例10 解 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 例10 解 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 例11一商店经销某种商品 每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量 且都服从区间 10 20 上的均匀分布 商品每售出一单位商品可得利润1000元 若需求量超过了进货量 商店可从其它商店调剂供应 这时每单位商品获利润为200元 试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值 解设Z表示每周的利润 则 因此 元 练习 解 易见X和Y的联合概率密度为 练习 解 易见X和Y的联合概率密度为 数学期望的性质 性质1E C C 其中C是常数 性质4设X Y独立 则E XY E X E Y 性质2若k是常数 则E kX kE X 性质3E X1 X2 E X1 E X2 诸Xi独立时 注意 由E XY E X E Y 不能推出X Y独立 推广 推广 例12一民航送客车载有20位旅客自机场开出 旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停车 以X表示停车的次数 求E X 设每位旅客在各个车站下车是等可能的 并设各旅客是否下车相互独立 解引入随机变量 则有 又由题意 有 所以 由数学期望的性质 得 定理 设随机变量相互独立且均服从参数为的0 1分布 则 证明设有一个n重伯努利试验 每次试验中成功的概率为p 引进随机变量 则Xi服从参数为p的0 1分布 2方差 Variance 随机变量X的数学期望 描述了随机变量X取值的集中趋势或平均水平 但是仅仅知道X的数学期望有时还不能完全刻划随机变量X的统计特征 比如 某厂生产一批元件 平均使用寿命E X 1000小时 仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏 因为有可能有一半的元件质量很高 寿命在1500小时以上 而另一半却质量很差 寿命不足500小时 从而反映出质量不稳定 可见应进一步考察元件寿命X对期望E X 的偏离程度 下面介绍的方差就是用来描述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的数量特征 一 方差的定义 定义 即 如果随机变量X的数学期望存在 称X E X 为随机变量X的离差 均方差 根方差 计算公式 1 若X是离散型随机变量 其概率分布为 则 具体计算公式 2 若X为连续型随机变量 其概率密度为f x 则 设X表示机床A一天生产的产品废品数 Y表示机床B一天生产的产品废品数 它们的概率分布如下 例1 解 问 两机床哪台质量好 设两台机床的日产量相等 均值相等 据此不能判断优劣 再求方差 均值相等 据此不能判断优劣 再求方差 由于D X D Y 因此机床A的波动较机床B的波动小 质量较稳定 解 例2设随机变量X的概率密度函数 求 EX DX 例3设X服从参数为p的0 1分布 则E X p又 故有 因此若X服从参数为p的0 1分布 则 例5设则 又 故 所以 例6 指数分布 方差的性质 1 若C为常数 则 2 注 其中C是常数 证 3 若X与Y相互独立 则D X Y D X D Y 因为相互独立 所以 一般的 若相互独立 则有 并且 其中为常数 于是 若与独立 则 注意 以下两个式子是等价的 即 4 的充分必要条件为 存在常数C 使 事实上 由于E X 0 所以 从而 例8二项分布的数字特征 则由数学期望与方差的性质 有 而 故 0 1分布 二项分布 均匀分布 指数分布 正态分布 泊松分布 几种常见分布的数学期望与方差 三 切比雪夫不等式 随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散程度的 因此我们希望用方差来估计随机变量与其期望值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界 定理 成立 证 设X是连续型随机变量 其概率密度为f x 则 定理 成立 上式可改写为 切比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值时 以数学期望E X 为中心的分散程度 不难看出 方差D X 越小 则随机变量X的取值越集中在数学期望E X 的附近 由此可以进一步体会到方差的概率意义 它刻划了随机变量的分散程度 如取 例3根据过去统计资料 某产品的次品率为p 0 05 试用切比雪夫不等式估计1000件产品中 次品数在40 60之间的概率 解 设X表示1000件产品中的次品数 则 由切比雪夫不等式 第三节协方差与相关系数 一 协方差 Covariance 为了刻划两个随机变量之间的关系 本节讨论两个重要的数字特征 协方差与相关系数 因此 若上式不成立 则X与Y必不相互独立 也就是说 当上式的左端不等于零时 两个随机变量之间就存在着某种关系 因此量E XY E X E Y 在某种程度上刻划了两个随机变量之间的关系 我们将其称之为协方差 具体定义如下 由前面的讨论知 若与相互独立 则有 定义设是二维随机变量 若 则E X E X Y E Y 称为X与Y的协方差 并记作 Cov X Y 即有 协方差也可以由下式计算 注 若两个随机变量相互独立 则它们的协方差等于0 对于任何的两个随机变量 有 类似地有 协方差的性质 1 对称性 3 由性质 2 有 因此 协方差的大小依赖于度量单位 这是它的一个明显缺陷 为了克服这个缺陷 我们引入相关系数的概念 由定义可知 二 相关系数 定义假设X Y的方差均存在 则称 为X与Y的相关系数 相关系数消除了量纲的影响 标准化随机变量消除了量纲的影响 可以验证 相关系数就是标准化随机变量的协方差 相关系数的性质 1 证明令 则 2 的充分必要条件是 存在常数a b 使得 即X与Y以概率1线性相关 取 即可 时可类似的证明 注意 相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量 参见如下的示意图 定义若X与Y的相关系数 则称X与Y不相关 注 若两个随机变量相互独立 则它们一定不相关 反之不然 即两个不相关的随机变量不一定相互独立 下列事实彼此等价 同理 例1设 X Y 服从单位圆上的均匀分布 则由前面的讨论知 X与Y不相互独立 下面我们求其相关系数 所以 即与不相关 事实上 此时 例2 解 设 X Y 的联合分布律为 例3 解 先求出边缘分布 PPT20 例4 设 X Y 的分布律为 所以 这表示X Y不存在线性关系 但 知X Y不独立 事实上 X Y具有非线性关系 思考设A B是二随机事件 试证明X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立 证明记 则 的可能取值为 1 1 并且 所以 因此 即与不相关的充分必要条件为与独立 矩协方差矩阵 定义1设X为随机变量 k为正整数 若存在 则称为X的k阶原点矩 若存在 则称为X的k阶中心矩 注 1 在k阶原点矩中 当k 1时