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2 2 1综合法和分析法 通过前面的学习我们知道 合情推理得出的结论我们需要加以证明 这正是数学区别于其他学科的显著特点 数学结论的正确性必须通过演绎推理 逻辑推理 的方式加以证明 本节我们来看一种基础的证明方法 直接证明 1 直接证明 直接证明包括两种最基本证明方法 综合法与分析法 综合法 syntheticalmethed 所谓综合法 是指 由因导果 的思想方法 即从已知条件出发 不断地展开思考 去探索结论的方法 综合法的可概括为下面形式 例1已知a b 0 求证 a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 b2 c2 2bc a 0 a b2 c2 2abc 同理 c2 a2 2ac b 0 b a2 c2 2abc a b2 c2 b c2 a2 4abc 练习 已知AD是 BAC的平分线 DE CA 且交AB于E 如图 求证 DE AE 分析 综合法是由因导果 立足于寻找已知条件合适的必要条件 适宜于表述 在解决实际问题时 经常要先作语言的变换 文字语言 图形语言 符号语言 然后在仔细分析题目的隐含条件 将隐含条件表示出来 通过教材P85例1发现 分析法 analyticalmethed 是指 由因导果 的思想方法 即从已知条件出发 不断地展开思考 去探索结论的方法 分析 从待证不等式不易发现证明的出发点 因此我们直接从待证不等式出发 分析其成立的充分条件 例3求证 证明 因为都是正数 所以要证 分析 练习 已知AD是 BAC的平分线 DE CA 且交AB于E 如图 求证 DE AE 1 由于分析法是执果索因 立足于寻找欲证结论的合适的充分条件 利于思考 而综合法是由因导果 立足于寻找已知条件合适的必要条件 适宜于表述 因此 对于一个新的问题 多半采取先用分析法寻求解法 后用综合法有条理地表述 2 实际证题过程 分析与综合是统一运用的 把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的 没有分析就没有综合 没有综合也没有分析 问题仅在于 在构建命题的证明路径时 有时分析法居主导地位 综合法伴随着它 有时却刚好相反 是综合法居主导地位 而分析法伴随着它 说明 分析 证明式中没有 因此我们要将 消掉 如何消掉 而且在条件中只有弦 而在证明结果里面只有切 因此我们要弦化切 1 综合法 sin cos 2 2sin cos 1 2sin 2 2sin2 1 4sin2 2sin2 1 2 cos2 sin2 cos2 sin2 即 2 分析法 要证 只要证 2 cos2 sin2 cos2 sin2 只要证 只要证 4sin2 2sin2 1 sin cos 2 2sin cos 1 只要证 这是三角函数的基本性质 三 巩固练习 1 设a b c是的 ABC三边 S是
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