2012年全国高中数学竞赛(四川预赛试题及其解答1).doc

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛试题及答案分析）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合，则=（ ） A、 B、 C、 D 、 2、正方体中与截面所成的角是（ ） A、 B、 C、D、 3、已知，则“”是“在上恒成立”的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设,，则=（ ）A 、 B 、 C、 D 、25、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）A 、 B 、 C、 D 、 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是 8、的展开式中的常数项是 （用具体数字作答）9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为 10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 11、已知锐角满足，则的最大值是 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数，（I）求函数在上的最大值与最小值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值14、已知，满足，（I）求的最小值；（II）当取最小值时，求的最大值15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和的中点，求直线在轴的截距的取值范围16、设函数在上的最大值为（）（I）求数列的通项公式；（II）求证：对任何正整数，都有成立；（III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立参考答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C 提示：2、A 提示：过作于点O,连BO,则是所求的角.因为,所以=3、A 提示：恒成立，即恒成立，于是有，即4、B 提示：这样一系列的三角形是相似三角形，相似比为，故面积成等比递缩数列，公比为，于是所以， 5、B 提示：由条件知,点坐标为，显然，则，当时等号成立，故的最大值为6、D 提示：如图为圆锥轴截面，球心为,为可得，设取出球后，水面高为.则因为所以二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、 提示：故=8、 提示：由条件知常数项是. 9、0 提示：由条件知解得。当时，由 知，所以，即所以或。因此，是以1为首项，-1为公比的等比数列，所以10、14 提示：设且只有三个正约数，则为质数的完全平方，。于是，即。 11、 提示：因为,因为等号当且仅当时成立。所以，的最大值为。 12、 提示：显然和中必有1个数字为5，由对称性，不妨设。显然;（1）若则是1，2，3的任意排列都满足，此时共有6种；（2）若则从而是1，2的任意排列都满足，此时共有2种；综上，满足条件的概率是.三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、解：（I）由条件知， （5分）由知，于是,所以时，有最小值；当时，有最大值 （10分）（II）由条件可知,对任意的恒成立， , （15分）由知或。若时，则由知，这与矛盾！若，则（舍去），解得所以，（20分）14、解：（I）因为 （5分） ，等号成立的条件是，当时，可取最小值2（10分）（II）当取最小值时，从而，即，令，则 （15分）从而或者（舍去）故在单减，所以在时，有最大值 （20分）15、解：将直线与双曲线方程联立得化简得（5分）由题设知方程有两负根，因此，解得（10分）设，则有，故的中点为，所以直线方程为，其在轴的截距，（15分）当时，其取值范围是所以的取值范围是 （20分）16、解：（I），当时，由知或者， （5分）当时，又，故；当时，又，故；当时，时，；时，；在处取得最大值，即综上所