北京市西城区上学期高三期末考试数学试卷（文科）.DOC

北京市西城区2011届上学期高三年级期末考试数学试卷（文科）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。第I卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合，那么集合A. B. C. D. 2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确的是A. B. C. D. 4. 命题“若，则”的逆否命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则 5. 设是等差数列，若，则数列的前10项和为A. 12B. 60C. 75D. 120 6. 阅读下面程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数x的取值范围是A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD，则下列结论正确的是A. B. BAC=90C. ADC是正三角形D. 四面体A-BCD的体积为 8. 设函数的零点分别为，则A. B. C. D. 第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9. i为虚数单位，则_。 10. 已知，则平面向量a与b夹角的大小为_。 11. 若实数x，y满足条件，则的最大值为_。 12. 在ABC中，若，则_。 13. 已知双曲线的离心率为2，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_。 14. 在平面直角坐标系中，定义为两点P（），Q（）之间的“折线距离”。在这个定义下，给出下列命题：到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线。其中正确的命题是_。（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分13分）已知函数。（I）求的值；（II）若，求的最大值和最小值。 16. （本小题满分13分）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，BAC=90，D为BC中点。（I）求证：/平面；（II）求证：。 17. （本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数。根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： （I）求出表中M，p及图中a的值；（II）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（III）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率。 18. （本小题满分13分）已知椭圆C：的右焦点坐标为（1，0），且长轴长是短轴长的倍。（I）求椭圆C的方程；（II）设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A，B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为-1，求OAB的面积。 19. （本小题满分14分）已知函数。（I）若，求曲线在处切线的斜率；（II）求的单调区间；（III）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围。 20. （本小题满分14分）已知数列的首项为1，对任意的，定义。（I）若求；（II）若，且。（i）当时，求数列的前3n项的和；（ii）当a时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次。【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. A2. D3. B4. C5. C6. B7. B8. A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9. 10. 6011. 412. 13. ，14. 注：13题第一问2分，第二问3分；14题选对其中两个得2分，选出错误的命题即得0分。三、解答题：本大题共6小题，共80分。若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分。 15. （本小题满分13分）解：（I）2分4分（II）6分8分因为，所以，10分所以11分所以的最大值为1，最小值为。13分 16. （本小题满分13分）证明：（I）连结，设交于点O，连结OD。2分因为为正方形，所以O为中点。又D为BC中点，所以OD为的中位线，所以。4分因为OD平面，所以。6分（II）由（I）可知：7分因为侧面是正方形，且所以平面。9分又，所以10分又因为，所以11分所以12分又，所以。13分 17. （本小题满分13分）解：（I）由分组内的频数是10，频率是0.25知，所以。2分因为频数之和为40，所以。3分4分因为a是对应分组的频率与组距的商，所以6分（II）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人。8分（III）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人。设在区间内的人为，在区间内的人为。则任选2人共有，（），15种情况。10分而两人都在内只能是一种。12分所以所求概率为。（约为0.93）13分 18. （本小题满分13分）解：（I）由题意得，2分又3分所以椭圆的方程为4分（II）设A（0，1），B（），P（），联立消去y得（*）6分解得，所以，8分因为直线OP的斜率为，所以，解得（满足（*）式判别式大于零）10分O到直线的距离为11分12分所以OAB的面积为13分 19. （本小题满分14分）解：（I）由已知2分故曲线在处切线的斜率为3。4分（II）5分当时，由于所以，的单调递增区间为6分当时，由。在区间上，在区间，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为。8分（III）依题意，问题转化为时，求a的取值范围。9分由已知10分由（II）知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意。（或者举出反例：存在，故不符合题意。）11分当时，上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，所以。13分综上，a的取值范围为14分 20. （本小题满分14分）（I）解：3分（II）（i）解：因为，所以，对任意的有，即数列各项的值重复出现，周期为6。5分又数列的前6项分别为1，2，2，1，且这六个数的和为7。设数列的前n项和为Sn，则，当时，当时，7分所以，当n为偶数时，；当n为奇数时，8分（ii）证明：由（i）知：对任意的有，又数列的前6项分别为1，b，b，1，且这六个数的和为。设，（其中i为常数且），所以。所以，数