2012届高三理科数学三角函数总复习教学案.doc

2012届高三理科数学三角函数总复习教学案高考导航考试要求重难点击命题展望 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysin x， ycos x ， ytan x的图象，了解三角函数的周期性.4.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在( , )上的单调性.5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1 ， tan x.6.了解函数yAsin(x)的物理意义，能画出函数yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响.7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，yAsin(x)(0)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明； 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题. 三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.知识网络5.1 任意角的三角函数的概念典例精析题型一 象限角与终边相同的角【例1】若是第二象限角，试分别确定2、 的终边所在的象限.【解析】因为是第二象限角，所以k 36090k 360180(kZ).因为2k 36018022k 360360(kZ)，故2是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.因为k 180452k 18090(kZ)，当k2n(nZ)时，n 360452n 36090，当k2n1(nZ)时，n 3602252n 360270.所以2是第一或第三象限角 .【点拨】已知角所在象限，应熟练地确定2所在象限.如果用1、2、3、4分别表示第一、二、三、四象限角，则12、22、32、42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三 象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2的终边在x轴上方，那么角是( )A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角【解析】由题意2k22k，kZ， 得kk2，kZ.当k是奇数时，是第三象限角.当k是偶数时，是第一象限角.故选C.题型二 弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，因为603，R10 cm，所以l103 cm， S弓S扇S121010312102sin 6050(332) cm2.(2)因为C2Rl2RR，所以RC2，S扇12R212(C2)2C22 244C22 144C216，当且仅当4时，即2(2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216.【点拨】用弧长公式l | R与扇形面积公式S12lR12R2|时，的单位必须是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值？并求出最小值.【解析】因为S12Rl，所以Rl2S，所以周长Cl2R22Rl24S4S，当且仅当l2R时，C4S，所以当lR2时，周长C有最小值4S.题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】(1)已知角的终边与函数y2x的图象重合，求sin ；(2)求满足sin x32的角x的集合.【解析】(1)由 交点为(55，255)或(55，255 )，所以sin 255.(2)找终边：在y轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角.画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.写集合：所求角x的集合是x|2k43x2k3，kZ.【点拨】三角函数是用角的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数ylg sin xcos x12的定义域为 .【解析】 2kx2k3，kZ.所以函数的定义域为x|2kx2k3，kZ.总结提高1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k 3603的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙. 5.2 同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一 三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练1】已知f(x)1x，(34，)，则f(sin 2)f(sin 2) .【解析】f(sin 2)f(sin 2)1sin 21sin 2(sin cos )2(sin cos )2|sin cos |sin cos |.因为(34，)，所以sin cos 0，sin cos 0.所以|sin cos |sin cos |sin cos sin cos 2cos .题型二 三角函数式的求值问题【例2】已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2).(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|，0，求 的值.【解析】(1)因为ab，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan 14.(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.从而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin(24)22.又由0知，42494，所以2454或2474.因此2或34.【变式训练2】已知tan 12，则2sin cos cos2等于( )A.45 B.85 C.65 D.2【解析】原式2sin cos cos2sin2cos22tan 11tan285.故选B.题型三 三角函数式的简单应用问题【例3】已知2x0且sin xcos x15，求：(1)sin xcos x的值；(2)sin3(2x)cos3(2x)的值.【解析】(1)由已知得2sin xcos x2425，且sin x0cos x，所以sin xcos x(sin xcos x)212sin xcos x1242575.(2)sin3(2x)cos3(2x)cos3xsin3x(cos xsin x)(cos2xcos xsin xsin2x)75(11225)91125.【点拨】求形如sin xcos x的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin xcos x取值符号.【变式训练3】化简1cos4sin41cos6sin6.【解析】原式1(cos2sin2)22sin2cos21(cos2sin2)(cos4sin4sin2cos2)2sin2cos21(cos2sin2)23sin2cos223.总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(2)cos2(2)1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.5.3 两角和与差、二倍角的三角函数典例精析 题型一 三角函数式的化简【例1】化简 (0).【解析】因为0，所以022，所以原式 cos .【点拨】先从角度统一入手，将化成2，然后再观察结构特征，如此题中sin22cos22cos .【变式训练1】化简2cos4x2cos2x122tan(4x)sin2(4x).【解析】原式12(2cos2x1)22tan(4x)cos2(4x)cos22x4cos(4x)sin(4x)cos22x2sin(22x)12cos 2x.题型二 三角函数式的求值【例2】已知sin x22cos x20.(1)求tan x的值；(2)求cos 2x2cos(4x)sin x的值.【解析】(1)由sin x22cos x20 tan x22，所以tan x 2212243.(2)原式cos2xsin2x2(22cos x22sin x)sin x(cos xsin x)(cos xsin x)(cos xsin x)sin xcos xsin xsin x1tan x1(34)114.【变式训练2】2cos 5sin 25sin 65 .【解析】原式2cos(3025)sin 25cos 253cos 25cos 253.题型三 已知三角函数值求解【例3】已知tan()12，tan 17，且，(0，)，求2的值.【解析】因为tan 2()2tan()1tan2()43， 所以tan(2)tan2()tan2()tan 1tan 2()tan 1，又tan tan()tan()tan 1tan()tan 13，因为(0，)，所以04，又2，所以20，所以234.【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练3】若与是两锐角，且sin()2sin ，则与的大小关系是( )A.B.C. D.以上都有可能【解析】方法一：因为2sin sin()1，所以sin 12，又是锐角，所以30.又当30，60时符合题意，故选B.方法二：因为2sin sin()sin cos cos sin sin sin ，所以sin sin .又因为、是锐角，所以，故选B.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3)掌握角的演变规律，如“2()()”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件. 5.4 三角恒等变换典例精析题型一 三角函数的求值【例1】已知04，04，3sin sin(2)，4tan 21tan22，求的值.【解析】由4tan 21tan22，得tan 12.由3sin sin(2)得3sin()sin()，所以3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ，即2sin()cos 4cos()sin ，所以tan()2 tan 1.又因为、(0，4)，所以4.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan()35，tan(4)14，那么tan(4)等于( )A.1318 B.1322 C.723 D.318【解析】因为4()(4)，所以tan(4)tan()(4)tan()tan(4)1tan()tan(4)723.故选C.题型二 等式的证明【例2】求证：sin sin sin(2)sin 2co s().【证明】证法一：右边sin ()2cos()sin sin sin()cos cos()sin sin sin ()sin sin sin 左边.证法二：sin(2)sin sin sin sin(2)sin sin 2cos()sin sin 2cos()，所以sin(2)sin 2cos()sin sin .【点拨】证法一将2写成()，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练2】已知5sin 3sin(2)，求证：tan()4tan 0.【证明】因为5sin 3sin(2)，所以5sin()3sin()，所以5sin()cos 5cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，所以2sin()cos 8cos()sin 0. 即tan()4tan 0.题型三 三角恒等变换的应用【例3】已知ABC是非直角三角形.(1)求证：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；(2)若AB且tan A2tan B，求证：tan Csin 2B3cos 2B；(3)在(2)的条件下，求tan C的最大值.【解析】(1)因为C(AB)，所以tan Ctan(AB)(tan Atan B)1tan Atan B，所以tan Ctan Atan Btan Ctan Atan B，即tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.(2)由(1)知tan C(tan Atan B)1tan Atan Btan B12tan2Bsin Bcos Bcos2B2sin2B sin 2B2(21cos 2B2)sin 2B3cos 2B.(3)由(2)知tan Ctan B12tan2B12tan B1tan B12224，当且仅当2tan B1tan B，即tan B22时，等号成立.所以tan C的最大值为24.【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.【变式训练3】在ABC中，tan Btan C3tan Btan C3，3tan A3tan B1tan Atan B，试判断ABC的形状.【解析】由已知得tan Btan C3(1tan Btan C)，3(tan Atan B)(1tan Atan B)，即tan Btan C1tan Btan C3，tan Atan B1tan Atan B33.所以tan(BC)3，tan(AB)33.因为0BC，0AB，所以BC3，AB56.又ABC，故A23，BC6.所以ABC是顶角为23的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：统一角度，即化为同一个角的三角函数；统一名称，即化为同一种三角函数；统一结构形式. 5.5 三角函数的图象和性质典例精析题型一 三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f(x)2sin x4cos x43cos x2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)令g(x)f(x3)，判断g(x)的奇偶性.【解析】(1)f(x)2sin x4cos x43cos x2sin x23cos x22sin(x23)，所以f(x)的最小正周期T2124.(2)g(x)f(x3)2sin12(x3)32sin(x22)2cos x2.所以g(x)为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练1】函数ysin2xsin xcos x的最小正周期T等于( )A.2 B. C.2 D.3【解析】y1cos 2x212sin 2x22(22sin 2x22cos 2x)1222sin(2x4)12，所以T22.故选B.题型二 求函数的值域【例2】求下列函数的值域：(1)f(x)sin 2xsin x1cos x；(2)f(x)2cos(3x)2cos x.【解析】(1)f(x)2sin xcos xsin x1cos x2cos x(1cos2x)1cos x2cos2x2cos x2(cos x12)212，当cos x1时，f(x)max4，但cos x1，所以f(x)4，当cos x12时，f(x)min12，所以函数的值域为12，4).(2)f(x)2(cos 3cos xsin 3sin x)2cos x3cos x3sin x23cos(x6)，所以函数的值域为23，23.【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.【变式训练2】求ysin xcos xsin xcos x的值域.【解析】令tsin xcos x，则有t212sin xcos x，即sin xcos xt212.所以yf(t)tt21212(t1)21.又tsin xcos x2sin(x4)，所以2t2.故yf(t)12(t1)21(2t2)，从而f(1)yf(2)，即1y212.所以函数的值域为1，212.题型三 三角函数的单调 性【例3】已知函数f(x)sin(x)(0，|)的部分图象如图所示.(1)求，的值； (2)设g(x)f(x)f(x4)，求函数g(x)的单调递增区间.【解析】(1)由图可知，T4(24)，2T2.又由f(2)1知，sin()1，又f(0)1，所以sin 1.因为|，所以2.(2)f(x)sin(2x2)cos 2x.所以g(x)(cos 2x)cos(2x2)cos 2xsin 2x12sin 4x.所以当2k24x2k2，即k28xk28(kZ)时g(x)单调递增.故函数g(x)的单调增区间为k28，k28(kZ).【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定的值，体现了数形结合的思想与方法.【变式训练3】使函数ysin(62x)(x0，)为增函数的区间是( )A.0，3 B.12，712C.3，56 D.56，【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性. 5.6 函数yAsin(x )的图象和性质典例精析题型一 “五点法”作函数图象【例1】设函数f(x)sin x3cos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f(x)sin x3cos x2(12sin x32cos x)2sin(x3)，又因为T，所以2，即2，所以f(x)2sin(2x3)，所以函数f(x)sin x3cos x(0)的振幅为2，初相为3.(2)列出下表，并描点画出图象如图所示. (3)把ysin x图象上的所有点向左平移3个单位，得到ysin(x3)的图象，再把ysin(x3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到ysin(2x3)的图象，然后把ysin(2x3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin(2x3)的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为yAsin(x)(A0，0)形式，再令x0，2，32，2求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如图所示，则( )A.k12，12，6B.k12，12，3C.k12，2，6D.k2，12，3【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T4(8353)4，故12.将点(53，0)代入解析式y2sin(12x)，得1253k，kZ，所以k56，kZ.结合各选项可知，选项A正确.题型二 三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f(x)sin2x3sin xsin(x2)2cos2x，xR(0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6.(1)求的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.【解析】(1)f(x)32sin 2x12cos 2x32sin(2x6)32.令2x62，将x6代入可得1.(2)由(1)得f(x)sin(2x6)32，经过题设的变化得到函数g(x)sin(12x6)32，当x4k43，kZ时，函数g(x)取得最大值52.令2k212x62k32，即4k43，4k103(kZ)为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y2sin(3x)的图象向右平移4个单位后得到的图象关于点(3，0)对称，则|的最小值是( )A.4B.3C.2D.34【解析】将函数y2sin(3x)的图象向右平移4个单位后得到y2sin3(x4)2sin(3x34)的图象.因为该函数的图象关于点(3，0)对称，所以2sin(3334)2sin(4)0，故有4k(kZ)，解得k4(kZ).当k0时，|取得最小值4，故选A.题型三 三角函数的综合应用【例3】已知函数yf(x)Asin2(x)(A0，0,02)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求的值；(2)求f(1)f(2)f(2 008).【解析】(1)yAsin2(x)A2A2cos(2x2)，因为yf(x)的最大值为2，又A0，所以A2A22，所以A2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，0，所以12222，所以4.所以f(x)2222cos(2x2)1cos(2x2)，因为yf(x)过点(1,2)，所以cos(22)1.所以222k(kZ)，解得k4(kZ)，又因为02，所以4.(2)方法一：因为4，所以y1cos(2x2)1sin 2x，所以f(1)f(2)f(3)f(4)21014，又因为yf(x)的周期为4,2 0084502.所以f(1)f(2)f(2 008)45022 008.方法二：因为f(x)2sin2(4x)，所以f(1)f(3)2sin2(4)2sin2(34)2，f(2)f(4)2sin2(2)2sin2()2，所以f(1)f(2)f(3)f(4)4，又因为yf(x)的周期为4,2 0084502.所以f(1)f(2)f(2 008)45022 008.【点拨】函数yAcos(x)的对称轴由xk，可得xk，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.【变式训练3】已知函数f(x)Acos2 x2(A0，0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)f(4)f(6)f(20) .【解析】f(x)Acos2x2A1cos 2x22Acos 2x2A22，则由题意知A26，228，所以A4，8，所以f(x)2cos 4x4，所以f(2)4，f(4)2，f(6)4，f(8)6，f(10)4，观察周期性规律可知f(2)f(4)f(20)2(4246)4238.总结提高1.用“五点法”作yAsin(x)的图象，关键是五个点的选取，一般令x0，2，32，2，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整x的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.3.在解决yAsin(x)的有关性质时，应将x视为一个整体x后再与基本函数ysin x的性质对应求解.5.7 正弦定理和余弦定理典例精析题型一 利用正、余弦定理解三角形【例1】在ABC中，AB2，BC1，cos C34.(1)求sin A的值；(2)求 的值.【解析】(1)由cos C34得sin C74.所以sin ABC sin CAB1742148.(2)由(1)知，cos A528.所以cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin 所以 ( ) 112cos B11232.【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识. 【变式训练1】在ABC中，已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为a2b2c24，则C .【解析】Sa2b2c2412absin C.所以sin Ca2b2c22abcos C.所以tan C1，又C(0，)，所以C4.题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2Asin(3B)sin(3B)sin2B.(1)求角A的值；(2)若 12，a27，求b，c(其中bc).【解析】(1)因为sin2A(32cos B12sin B)(32cos B12sin B)sin2B34cos2 B14sin2Bsin2B34，所以sin A32.又A为锐角，所以A3.(2)由 12可得cbcos A12.由( 1)知A3，所以cb24.由余弦定理知a2c2b22cbcos A，将a27及代入得c2b252.2，得(cb)2100，所以cb10.因此，c，b是一元二次方程t210t240的两个根.又bc，所以b4，c6. 【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.【变式训练2】在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(2ac)cos Bbcos C.(1)求角B的大小；(2)若b7，ac4，求ABC的面积.【解析】(1)在ABC中，由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入(2ac)cos Bbcos C，整理得2sin Acos Bsin Bcos Csin C cos B，即2sin Acos Bsin(BC)sin A，在ABC中，sin A0,2cos B1，因为B是三角形的内角，所以B60.(2)在ABC中，由余弦定理得b2a2c22ac cos B(ac)22ac2ac cos B，将b7，ac4代入整理，得ac3.故SABC12acsin B32sin 60334.题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2010陕西)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(33)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距203海里的C点的救 援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点需要多长时间？【解析】由题意知AB5(33)(海里)，DBA906030，DAB904545，所以ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理得DBsinDABABsinADB，所以DB 53(31)312103(海里).又DBCDBAABC30(9060)60，BC203海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BD BC cosDBC3001 200210320312900，所以CD30(海里)，则需要的时间t30301(小时).所以，救援船到达D点需要1小时.【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是：(1)根据题意，抽象地构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；(4)给出结论.【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件 时，该船没有触礁危险.【解析】由题可知，在ABM中，根据正弦定理得BMsin(90)msin()，解得BMmcos sin()，要使船 没有触礁危险需要BMsin(90)mcos cos sin()n.所以与的关系满足mcos cos nsin()时，船没有触礁危险.总结提高1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角AB与sin Asin B是一种等价关系.2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解. 5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一 利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形 停车场，使矩形的一个顶点P在 上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接AP，过P作PMAB于M.设PAM，02，则PM90sin ，AM90cos ，所以PQ10090cos ，PR10090sin ，于是S四边形PQCRPQ PR (10090cos )(10090sin ) 8 100sin cos 9 000(sin cos )10 000.设tsin cos ，则1t2，sin cos t212.S四边形PQCR8 100 t2129 000t10 0004 050(t109)2950 (1t2).当t2时，(S四边形PQCR)max14 0509 0002 m2；当t109时，(S四边形PQCR)min950 m2.【点拨】同时含有sin cos ，sin cos 的函数求最值时，可设sin cos t，把sin cos 用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.【变式训练1】若0x2，则4x与sin 3x的大小关系是( )A.4xsin 3xB.4xsin 3xC.4xsin 3xD.与x的值有关【解析】令f(x)4xsin 3x，则f(x)43cos 3x.因为f(x)43cos 3x0，所以f(x)为增函数.又0x2，所以f(x)f(0)0，即得4xsin 3x0.所以4xsin 3x.故选A. 题型二 函数yAsin(x)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb.(1)根据以上数据，求出函数yAcos tb的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1