2013届高三4月联考数学(理)试题(word版).doc

2013年稽阳联谊学校高三联考数学（理科）试题第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知是虚数单位，若 ，则复数对应的点在复平面的第（ ）象限.A.一 B.二 C.三 D. 四2.已知函数的图象的两相邻对称轴间的距离为，则（ ）A B. C. D. 3.若集合有且仅有2个子集， 则实数的值为（ ）A B或 C 或 D或4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为5，则判断 框内应填入（ ） A B. C D. 5.若为实数，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知数列满足，且，则（ ） A B. C D. 7.三个相同红球和一个白球放入4个不同盒子中（存放数量不限）的不同放法种数是（ ） A B. C. D. 8.圆的半径为2，是其内接三角形， ，则的最大值为（ ） A6 B.9 C10 D. 12 9.已知双曲线，是实轴顶点， 是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A B. C. D. 10.已知四面体中，为棱的中点，则过点与侧面和底面所在平面都成的平面共有（注：若二面角的大小为，则平面与平面所成的角也为）（ ） A个 B. 个 C个 D. 无数个第（II）卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.11.若函数 ,则的值域是 .12.实数满足条件，则的最小值为 .13.已知的展开式中没有常数项，且，则展开式中 含的系数是 . 14. 一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体 的体积是 .15.在这5个数字的所有排列中，记 为某一排列中满足条件的个数(如 排列记)，则随机变量的数学期望是 .16.过点和，并且与轴相切的圆有且只有一个，则 . 17.定义区间的长度均为已知实数 则满足不等式的构成的区间长度之和为 .三、解答题：本大题共5小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明给出或演算步骤.18.（本题满分14分）中，角对应的边分别为，若成等差数列，且.(I)求的值； (II)若，求的面积.19.（本题满分14分）已知数列的前项和为，满足，记 (I)求证：是等比数列，并求的前项和；(II)求20.（本题满分15分）如图,在矩形中， 为边上一点，以直线为折线将点折起至点并保持为锐角，连接取中点，若有平面(I)求线段的长；(II)当时（i）求证：平面平面；（ii）求平面与平面所成角的余弦值.21.（本题满分15分）已知离心率为的椭圆上有一点，直线与此椭圆交于两点（如图）， 若 (I)证明：四边形的对角线不可能垂直； (II)若直线与的倾斜角互补，记短轴端 点到的距离为，求的值.22.（本题满分14分）函数的图象记为(I)过一点作曲线的切线，这样的切线有且仅有两条，（i）求的值；（ii）若点在切线上，对任意的，求证：(II)若对恒成立，求的最大值.2013年稽阳联谊学校高三联考数学（理科）参考答案一、选择题（105=50）1. A 2. A 3. D 4. C 5. D 6. B 7.C 8.D 9.D 10. B 第10题提示：设平面ABC的法向量为，平面BCD的法向量为，因为二面角 的平面角的余弦值为，即平面角大约为，所以过点P与法向量都成的向量有4 个，所以过点P与侧面ABC和底面BCD所在平面都成的平面共有4个.二、填空题（74=28）11. 12. -6 13. -10 14. 15. 16.或1 17. 三、解答题（72）18解：（I）成等差数列， 由 ，而得，所以 7分 （II）由 ， ， ，得 ，又由 所以ABC的面积14分19. 解：（I）, ， 两式相减得，2分5分是等比数列. 7分（II）原式=9分 11分14分20. 解:（I）取的中点，连接， ，四点共面2分平面4分为平行四边形 5分（II）（i）证明：异面直线所成的角为， ，取CE中点O， 且， 同理所以8分 10分（ii）将该几何体补形成如图所示的长方体，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系， 12分 取平面PCE的一个法向量设平面PAD法向量为，由得，取，得14分平面PEC与平面MAB1所成角的余弦值为15分21. （I）解：设， 当时，所以椭圆方程为，联立直线可得由韦达定理可得，所以， ，故所以四边形OABP的对角线不可能垂直7分（II）与直线OP的倾斜角互补，则有，即，故因为在椭圆上，代入有：，故短轴端点到的距离即，15分22.解：（I）（i）设切点为，则切线方程为，将点代入得可化为设，的极值点为作曲线的切线，这样的切线有且仅有两条，4分（ii）因为点A在曲线E上，所以当时，左边=令函数，当时，函数在上单调递增，当即时，由得函数在上单调递减，在上单调递增；当时，左边=令函数，由得当时，即时，函数在上单调递减