3.1.1空间向量的线性运算.pptx

3 1 1空间向量的线性运算 学习目标 XUEXIMUBIAO 1 了解空间向量 向量的模 零向量 相反向量 相等向量 共线向量等的概念 2 会用平行四边形法则 三角形法则作出向量的和与差 了解向量加法的交换律和结合律 3 掌握数乘向量运算的意义及运算律 知识点一空间向量的概念1 在空间中 把具有和的量叫做空间向量 向量的大小叫做向量的或 大小 方向 长度 模 长度 2 几类特殊的空间向量 零向量 模为1 相等 相反 相同 相等 同向 等长 互相平行或重合 共线向量 平 行向量 2 空间向量加法交换律a b 空间向量加法结合律 a b c a b c 知识点二空间向量的加减运算及运算律1 类似于平面向量 可以定义空间向量的加法和减法运算 b a 知识点三数乘向量运算1 实数与向量的积与平面向量一样 实数 与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量 称为向量的数乘运算 记作 a 其长度和方向规定如下 1 a 2 当 0时 a与向量a方向相同 当 0时 a与向量a方向 当 0时 a 0 2 空间向量数乘运算满足以下运算律 1 a 2 a b a 相反 a a b 1 若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同 则终点也相同 2 零向量没有方向 3 两个有公共终点的向量 一定是共线向量 4 空间向量的数乘中 只决定向量的大小 不决定向量的方向 思考辨析判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 题型一空间向量的概念理解 例1 1 下列关于空间向量的说法中正确的是A 空间向量不满足加法结合律B 若 a b 则a b的长度相等而方向相同或相反D 相等向量其方向必相同 解析A中 空间向量满足加法结合律 B中 a b 只能说明a b的长度相等而方向不确定 C中 向量作为矢量不能比较大小 故选D 2 给出以下结论 两个空间向量相等 则它们的起点和终点分别相同 在正方体ABCD A1B1C1D1中 必有 若空间向量m n p满足m n n p 则m p 其中不正确的个数是A 0B 1C 2D 3 解析两个空间向量相等 它们的起点 终点不一定相同 故 不正确 显然正确 故选B 反思感悟在空间中 向量 向量的模 相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致 两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同 模相等 两向量互为相反向量的充要条件是大小相等 方向相反 A 1B 2C 3D 4 2 如图 在长方体ABCD A B C D 中 AB 3 AD 2 AA 1 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中 单位向量共有多少个 题型二空间向量的加减运算 例2如图 已知长方体ABCD A B C D 化简下列向量表达式 并在图中标出化简结果的向量 解结合加法运算 反思感悟空间向量加法 减法运算的两个技巧 1 巧用相反向量 向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法 减法运算的关键 灵活应用相反向量可使向量间首尾相接 2 巧用平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时 务必要注意和向量 差向量的方向 必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果 证明 平行六面体的六个面均为平行四边形 题型三数乘向量运算 例3如图所示 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 设 M N P分别是AA1 BC C1D1的中点 试用a b c表示以下各向量 反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧 1 数形结合 利